Theorem minveco 30847

Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace 𝑊 that minimizes the distance to an arbitrary vector 𝐴 in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
minveco	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minveco

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		minveco.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
3		minveco.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
4		minveco.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5		minveco.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
6		minveco.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
7		minveco.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		eqid 2729	. 2 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
9		eqid 2729	. 2 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))
10		oveq2 7361	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝐴𝑀𝑗) = (𝐴𝑀𝑦))
11	10	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
12	11	cbvmptv 5199	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
13	12	rneqi 5883	. 2 ⊢ ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))) = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
14		eqid 2729	. 2 ⊢ inf(ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))), ℝ, < )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14	minvecolem7 30846	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃!wreu 3343   ∩ cin 3904   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ran crn 5624  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  infcinf 9350  ℝcr 11027   < clt 11168   ≤ cle 11169  MetOpencmopn 21270  BaseSetcba 30549   −_𝑣 cnsb 30552  norm_CVcnmcv 30553  IndMetcims 30554  SubSpcss 30684  CPreHil_OLDccphlo 30775  CBanccbn 30825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13273  df-icc 13274  df-fl 13715  df-seq 13928  df-exp 13988  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-rest 17345  df-topgen 17366  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-fbas 21277  df-fg 21278  df-top 22798  df-topon 22815  df-bases 22850  df-cld 22923  df-ntr 22924  df-cls 22925  df-nei 23002  df-lm 23133  df-haus 23219  df-fil 23750  df-fm 23842  df-flim 23843  df-flf 23844  df-cfil 25172  df-cau 25173  df-cmet 25174  df-grpo 30456  df-gid 30457  df-ginv 30458  df-gdiv 30459  df-ablo 30508  df-vc 30522  df-nv 30555  df-va 30558  df-ba 30559  df-sm 30560  df-0v 30561  df-vs 30562  df-nmcv 30563  df-ims 30564  df-ssp 30685  df-ph 30776  df-cbn 30826

This theorem is referenced by:  pjhthlem2  31355