MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveco 30641
Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace π‘Š that minimizes the distance to an arbitrary vector 𝐴 in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
minveco (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑀   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minveco
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.x . 2 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 minveco.m . 2 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
3 minveco.n . 2 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
4 minveco.y . 2 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
5 minveco.u . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
6 minveco.w . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
7 minveco.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
8 eqid 2726 . 2 (IndMetβ€˜π‘ˆ) = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
9 eqid 2726 . 2 (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ)) = (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ))
10 oveq2 7412 . . . . 5 (𝑗 = 𝑦 β†’ (𝐴𝑀𝑗) = (𝐴𝑀𝑦))
1110fveq2d 6888 . . . 4 (𝑗 = 𝑦 β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑗)) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
1211cbvmptv 5254 . . 3 (𝑗 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑗))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
1312rneqi 5929 . 2 ran (𝑗 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑗))) = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
14 eqid 2726 . 2 inf(ran (𝑗 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑗))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑗 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑗))), ℝ, < )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14minvecolem7 30640 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒ!wreu 3368   ∩ cin 3942   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  infcinf 9435  β„cr 11108   < clt 11249   ≀ cle 11250  MetOpencmopn 21225  BaseSetcba 30343   βˆ’π‘£ cnsb 30346  normCVcnmcv 30347  IndMetcims 30348  SubSpcss 30478  CPreHilOLDccphlo 30569  CBanccbn 30619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lm 23083  df-haus 23169  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-cfil 25133  df-cau 25134  df-cmet 25135  df-grpo 30250  df-gid 30251  df-ginv 30252  df-gdiv 30253  df-ablo 30302  df-vc 30316  df-nv 30349  df-va 30352  df-ba 30353  df-sm 30354  df-0v 30355  df-vs 30356  df-nmcv 30357  df-ims 30358  df-ssp 30479  df-ph 30570  df-cbn 30620
This theorem is referenced by:  pjhthlem2  31149
  Copyright terms: Public domain W3C validator