Theorem minveco 30973

Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace 𝑊 that minimizes the distance to an arbitrary vector 𝐴 in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
minveco	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minveco

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		minveco.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
3		minveco.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
4		minveco.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5		minveco.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
6		minveco.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
7		minveco.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		eqid 2737	. 2 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
9		eqid 2737	. 2 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))
10		oveq2 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝐴𝑀𝑗) = (𝐴𝑀𝑦))
11	10	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
12	11	cbvmptv 5190	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
13	12	rneqi 5887	. 2 ⊢ ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))) = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
14		eqid 2737	. 2 ⊢ inf(ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))), ℝ, < )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14	minvecolem7 30972	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃!wreu 3341   ∩ cin 3889   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  infcinf 9348  ℝcr 11031   < clt 11173   ≤ cle 11174  MetOpencmopn 21337  BaseSetcba 30675   −_𝑣 cnsb 30678  norm_CVcnmcv 30679  IndMetcims 30680  SubSpcss 30810  CPreHil_OLDccphlo 30901  CBanccbn 30951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cc 10351  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fl 13745  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-rest 17379  df-topgen 17400  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-top 22872  df-topon 22889  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-lm 23207  df-haus 23293  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-cfil 25235  df-cau 25236  df-cmet 25237  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-gdiv 30585  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-vs 30688  df-nmcv 30689  df-ims 30690  df-ssp 30811  df-ph 30902  df-cbn 30952

This theorem is referenced by:  pjhthlem2  31481