MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveco 30714
Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace π‘Š that minimizes the distance to an arbitrary vector 𝐴 in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
minveco (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑀   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minveco
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.x . 2 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 minveco.m . 2 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
3 minveco.n . 2 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
4 minveco.y . 2 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
5 minveco.u . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
6 minveco.w . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
7 minveco.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
8 eqid 2728 . 2 (IndMetβ€˜π‘ˆ) = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
9 eqid 2728 . 2 (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ)) = (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ))
10 oveq2 7434 . . . . 5 (𝑗 = 𝑦 β†’ (𝐴𝑀𝑗) = (𝐴𝑀𝑦))
1110fveq2d 6906 . . . 4 (𝑗 = 𝑦 β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑗)) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
1211cbvmptv 5265 . . 3 (𝑗 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑗))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
1312rneqi 5943 . 2 ran (𝑗 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑗))) = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
14 eqid 2728 . 2 inf(ran (𝑗 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑗))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑗 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑗))), ℝ, < )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14minvecolem7 30713 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒ!wreu 3372   ∩ cin 3948   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  ran crn 5683  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  infcinf 9472  β„cr 11145   < clt 11286   ≀ cle 11287  MetOpencmopn 21276  BaseSetcba 30416   βˆ’π‘£ cnsb 30419  normCVcnmcv 30420  IndMetcims 30421  SubSpcss 30551  CPreHilOLDccphlo 30642  CBanccbn 30692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cc 10466  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-rest 17411  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lm 23153  df-haus 23239  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-cfil 25203  df-cau 25204  df-cmet 25205  df-grpo 30323  df-gid 30324  df-ginv 30325  df-gdiv 30326  df-ablo 30375  df-vc 30389  df-nv 30422  df-va 30425  df-ba 30426  df-sm 30427  df-0v 30428  df-vs 30429  df-nmcv 30430  df-ims 30431  df-ssp 30552  df-ph 30643  df-cbn 30693
This theorem is referenced by:  pjhthlem2  31222
  Copyright terms: Public domain W3C validator