Theorem mnringbasefsuppd 41794

Description: Elements of a monoid ring are finitely supported. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringbasefsuppd.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringbasefsuppd.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
mnringbasefsuppd.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mnringbasefsuppd.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
mnringbasefsuppd.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
mnringbasefsuppd.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mnringbasefsuppd	⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0 )

Proof of Theorem mnringbasefsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringbasefsuppd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		mnringbasefsuppd.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
3		mnringbasefsuppd.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		mnringbasefsuppd.3	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		mnringbasefsuppd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
8		mnringbasefsuppd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mnringelbased 41792	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (Base‘𝑀)) ∧ 𝑋 finSupp 0 )))
10	1, 9	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (Base‘𝑀)) ∧ 𝑋 finSupp 0 ))
11	10	simprd 496	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5075  ‘cfv 6428  (class class class)co 7269   ↑_m cmap 8604   finSupp cfsupp 9117  Basecbs 16901  0_gc0g 17139   MndRing cmnring 41784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-supp 7967  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8487  df-map 8606  df-ixp 8675  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-fin 8726  df-fsupp 9118  df-sup 9190  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-nn 11963  df-2 12025  df-3 12026  df-4 12027  df-5 12028  df-6 12029  df-7 12030  df-8 12031  df-9 12032  df-n0 12223  df-z 12309  df-dec 12427  df-uz 12572  df-fz 13229  df-struct 16837  df-sets 16854  df-slot 16872  df-ndx 16884  df-base 16902  df-ress 16931  df-plusg 16964  df-mulr 16965  df-sca 16967  df-vsca 16968  df-ip 16969  df-tset 16970  df-ple 16971  df-ds 16973  df-hom 16975  df-cco 16976  df-0g 17141  df-prds 17147  df-pws 17149  df-sra 20423  df-rgmod 20424  df-dsmm 20928  df-frlm 20943  df-mnring 41785

This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  41806