Theorem mnringbasefsuppd 45360

Description: Elements of a monoid ring are finitely supported. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringbasefsuppd.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringbasefsuppd.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
mnringbasefsuppd.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mnringbasefsuppd.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
mnringbasefsuppd.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
mnringbasefsuppd.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mnringbasefsuppd	⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0 )

Proof of Theorem mnringbasefsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringbasefsuppd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		mnringbasefsuppd.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
3		mnringbasefsuppd.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		mnringbasefsuppd.3	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		mnringbasefsuppd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
8		mnringbasefsuppd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mnringelbased 45358	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (Base‘𝑀)) ∧ 𝑋 finSupp 0 )))
10	1, 9	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (Base‘𝑀)) ∧ 𝑋 finSupp 0 ))
11	10	simprd 501	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8861   finSupp cfsupp 9367  Basecbs 17402  0_gc0g 17625   MndRing cmnring 45352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-sup 9447  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-hom 17467  df-cco 17468  df-0g 17627  df-prds 17633  df-pws 17635  df-sra 21463  df-rgmod 21464  df-dsmm 22053  df-frlm 22068  df-mnring 45353

This theorem is used by:  mnringmulrcld  45369