Theorem mnringbasefd 41695

Description: Elements of a monoid ring are functions. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringbasefd.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringbasefd.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
mnringbasefd.3	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnringbasefd.4	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
mnringbasefd.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
mnringbasefd.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
mnringbasefd.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mnringbasefd	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐴⟶𝐶)

Proof of Theorem mnringbasefd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringbasefd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		mnringbasefd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
3		mnringbasefd.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4		mnringbasefd.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
5		mnringbasefd.4	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7		mnringbasefd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
8		mnringbasefd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mnringelbased 41694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))))
10	1, 9	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝑋 finSupp (0g‘𝑅)))
11	10	simpld 498	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴))
12		elmapi 8572	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) → 𝑋:𝐴⟶𝐶)
13	11, 12	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5070  ⟶wf 6411  ‘cfv 6415  (class class class)co 7252   ↑_m cmap 8550   finSupp cfsupp 9033  Basecbs 16815  0_gc0g 17042   MndRing cmnring 41686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5203  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-1st 7801  df-2nd 7802  df-supp 7946  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-1o 8244  df-er 8433  df-map 8552  df-ixp 8621  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-fin 8672  df-fsupp 9034  df-sup 9106  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-4 11943  df-5 11944  df-6 11945  df-7 11946  df-8 11947  df-9 11948  df-n0 12139  df-z 12225  df-dec 12342  df-uz 12487  df-fz 13144  df-struct 16751  df-sets 16768  df-slot 16786  df-ndx 16798  df-base 16816  df-ress 16843  df-plusg 16876  df-mulr 16877  df-sca 16879  df-vsca 16880  df-ip 16881  df-tset 16882  df-ple 16883  df-ds 16885  df-hom 16887  df-cco 16888  df-0g 17044  df-prds 17050  df-pws 17052  df-sra 20324  df-rgmod 20325  df-dsmm 20824  df-frlm 20839  df-mnring 41687

This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  41708