Theorem mnringbasefd 44335

Description: Elements of a monoid ring are functions. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringbasefd.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringbasefd.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
mnringbasefd.3	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnringbasefd.4	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
mnringbasefd.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
mnringbasefd.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
mnringbasefd.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mnringbasefd	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐴⟶𝐶)

Proof of Theorem mnringbasefd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringbasefd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		mnringbasefd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
3		mnringbasefd.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4		mnringbasefd.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
5		mnringbasefd.4	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7		mnringbasefd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
8		mnringbasefd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mnringelbased 44334	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))))
10	1, 9	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝑋 finSupp (0g‘𝑅)))
11	10	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴))
12		elmapi 8779	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) → 𝑋:𝐴⟶𝐶)
13	11, 12	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756   finSupp cfsupp 9252  Basecbs 17122  0_gc0g 17345   MndRing cmnring 44328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-sup 9333  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-prds 17353  df-pws 17355  df-sra 21109  df-rgmod 21110  df-dsmm 21671  df-frlm 21686  df-mnring 44329

This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  44345