Theorem mnringbasefd 41840

Description: Elements of a monoid ring are functions. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringbasefd.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringbasefd.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
mnringbasefd.3	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnringbasefd.4	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
mnringbasefd.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
mnringbasefd.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
mnringbasefd.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mnringbasefd	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐴⟶𝐶)

Proof of Theorem mnringbasefd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringbasefd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		mnringbasefd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
3		mnringbasefd.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4		mnringbasefd.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
5		mnringbasefd.4	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7		mnringbasefd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
8		mnringbasefd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mnringelbased 41839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))))
10	1, 9	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝑋 finSupp (0g‘𝑅)))
11	10	simpld 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴))
12		elmapi 8646	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) → 𝑋:𝐴⟶𝐶)
13	11, 12	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075  ⟶wf 6433  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284   ↑_m cmap 8624   finSupp cfsupp 9137  Basecbs 16921  0_gc0g 17159   MndRing cmnring 41831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-supp 7987  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-map 8626  df-ixp 8695  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fsupp 9138  df-sup 9210  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-fz 13249  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-ip 16989  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-hom 16995  df-cco 16996  df-0g 17161  df-prds 17167  df-pws 17169  df-sra 20443  df-rgmod 20444  df-dsmm 20948  df-frlm 20963  df-mnring 41832

This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  41853