MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasum2if Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasum2if 27417
Description: Combine the results of dchrvmasumlem1 27415 and dchrvmasum2lem 27416 inside a conditional. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
dchrvmasum2.2 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasum2if (πœ‘ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(πœ“, (logβ€˜π΄), 0)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) / π‘š))))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛, 1   π‘š,𝑑,𝑛,𝐴   π‘š,𝑁,𝑛   πœ‘,𝑑,π‘š,𝑛   πœ“,𝑑,π‘š   π‘š,𝑍,𝑛   𝐷,π‘š,𝑛   𝐿,𝑑,π‘š,𝑛   𝑋,𝑑,π‘š,𝑛   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ“(𝑛)   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(π‘š,𝑛,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasum2if
StepHypRef Expression
1 fzfid 13962 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∈ Fin)
2 rpvmasum.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
3 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 rpvmasum.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
5 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
6 dchrisum.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
76adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
8 elfzelz 13525 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
102, 3, 4, 5, 7, 9dchrzrhcl 27165 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
11 elfznn 13554 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
1211adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
13 mucl 27060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
1413zred 12688 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
15 nndivre 12275 . . . . . . . . . . 11 (((ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ ℝ)
1614, 15mpancom 687 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ β„• β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ ℝ)
1712, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ ℝ)
1817recnd 11264 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ β„‚)
1910, 18mulcld 11256 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ∈ β„‚)
20 fzfid 13962 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
217adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
22 elfzelz 13525 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„€)
2322adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„€)
242, 3, 4, 5, 21, 23dchrzrhcl 27165 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
25 elfznn 13554 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„•)
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
2726nnrpd 13038 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
2827relogcld 26544 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
2928, 26nndivred 12288 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜π‘š) / π‘š) ∈ ℝ)
3029recnd 11264 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜π‘š) / π‘š) ∈ β„‚)
3124, 30mulcld 11256 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) ∈ β„‚)
3220, 31fsumcl 15703 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) ∈ β„‚)
3319, 32mulcld 11256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) ∈ β„‚)
34 dchrvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
3511nnrpd 13038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
36 rpdivcl 13023 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
3734, 35, 36syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
3938, 27rpdivcld 13057 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((𝐴 / 𝑑) / π‘š) ∈ ℝ+)
4039relogcld 26544 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) ∈ ℝ)
4140, 26nndivred 12288 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š) ∈ ℝ)
4241recnd 11264 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
4324, 42mulcld 11256 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚)
4420, 43fsumcl 15703 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚)
4519, 44mulcld 11256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) ∈ β„‚)
461, 33, 45fsumadd 15710 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) + (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) + Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)))))
4738, 27relogdivd 26547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) = ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) βˆ’ (logβ€˜π‘š)))
4847oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜π‘š) + (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))) = ((logβ€˜π‘š) + ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) βˆ’ (logβ€˜π‘š))))
4928recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
5037relogcld 26544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) ∈ ℝ)
5150recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) ∈ β„‚)
5251adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) ∈ β„‚)
5349, 52pncan3d 11596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜π‘š) + ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) βˆ’ (logβ€˜π‘š))) = (logβ€˜(𝐴 / 𝑑)))
5448, 53eqtr2d 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) = ((logβ€˜π‘š) + (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))))
5554oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) / π‘š) = (((logβ€˜π‘š) + (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))) / π‘š))
5640recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) ∈ β„‚)
5726nncnd 12250 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
5826nnne0d 12284 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š β‰  0)
5949, 56, 57, 58divdird 12050 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((logβ€˜π‘š) + (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))) / π‘š) = (((logβ€˜π‘š) / π‘š) + ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)))
6055, 59eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) / π‘š) = (((logβ€˜π‘š) / π‘š) + ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)))
6160oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) / π‘š)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· (((logβ€˜π‘š) / π‘š) + ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
6224, 30, 42adddid 11260 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· (((logβ€˜π‘š) / π‘š) + ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) + ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
6361, 62eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) / π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) + ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
6463sumeq2dv 15673 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) / π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) + ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
6520, 31, 43fsumadd 15710 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) + ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) + Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
6664, 65eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) / π‘š)) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) + Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
6766oveq2d 7430 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) / π‘š))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) + Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)))))
6819, 32, 44adddid 11260 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) + Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)))) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) + (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)))))
6967, 68eqtrd 2767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) / π‘š))) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) + (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)))))
7069sumeq2dv 15673 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) / π‘š))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) + (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)))))
71 rpvmasum.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
72 rpvmasum.1 . . . . . . 7 1 = (0gβ€˜πΊ)
73 dchrisum.n1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
743, 5, 71, 2, 4, 72, 6, 73, 34dchrvmasumlem1 27415 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))))
75 dchrvmasum2.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝐴)
763, 5, 71, 2, 4, 72, 6, 73, 34, 75dchrvmasum2lem 27416 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
7774, 76oveq12d 7432 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + (logβ€˜π΄)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) + Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)))))
7846, 70, 773eqtr4rd 2778 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + (logβ€˜π΄)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) / π‘š))))
7978adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + (logβ€˜π΄)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) / π‘š))))
80 iftrue 4530 . . . . 5 (πœ“ β†’ if(πœ“, (logβ€˜π΄), 0) = (logβ€˜π΄))
8180oveq2d 7430 . . . 4 (πœ“ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(πœ“, (logβ€˜π΄), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + (logβ€˜π΄)))
8281adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(πœ“, (logβ€˜π΄), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + (logβ€˜π΄)))
83 iftrue 4530 . . . . . . . . . 10 (πœ“ β†’ if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š) = (𝐴 / 𝑑))
8483fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (πœ“ β†’ (logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) = (logβ€˜(𝐴 / 𝑑)))
8584oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (πœ“ β†’ ((logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) / π‘š) = ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) / π‘š))
8685oveq2d 7430 . . . . . . 7 (πœ“ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) / π‘š)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) / π‘š)))
8786sumeq2sdv 15674 . . . . . 6 (πœ“ β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) / π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) / π‘š)))
8887oveq2d 7430 . . . . 5 (πœ“ β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) / π‘š))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) / π‘š))))
8988sumeq2sdv 15674 . . . 4 (πœ“ β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) / π‘š))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) / π‘š))))
9089adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) / π‘š))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜(𝐴 / 𝑑)) / π‘š))))
9179, 82, 903eqtr4d 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(πœ“, (logβ€˜π΄), 0)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) / π‘š))))
926adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
93 elfzelz 13525 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
9493adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
952, 3, 4, 5, 92, 94dchrzrhcl 27165 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
96 elfznn 13554 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
9796adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
98 vmacl 27037 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘›) ∈ ℝ)
99 nndivre 12275 . . . . . . . . . 10 (((Ξ›β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
10098, 99mpancom 687 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
101100recnd 11264 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
10297, 101syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
10395, 102mulcld 11256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
1041, 103fsumcl 15703 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
105104adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ πœ“) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
106105addridd 11436 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ πœ“) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + 0) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)))
107 iffalse 4533 . . . . 5 (Β¬ πœ“ β†’ if(πœ“, (logβ€˜π΄), 0) = 0)
108107adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ πœ“) β†’ if(πœ“, (logβ€˜π΄), 0) = 0)
109108oveq2d 7430 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ πœ“) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(πœ“, (logβ€˜π΄), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + 0))
110 iffalse 4533 . . . . . . . . . 10 (Β¬ πœ“ β†’ if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š) = π‘š)
111110fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (Β¬ πœ“ β†’ (logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) = (logβ€˜π‘š))
112111oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (Β¬ πœ“ β†’ ((logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) / π‘š) = ((logβ€˜π‘š) / π‘š))
113112oveq2d 7430 . . . . . . 7 (Β¬ πœ“ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) / π‘š)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
114113sumeq2sdv 15674 . . . . . 6 (Β¬ πœ“ β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) / π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
115114oveq2d 7430 . . . . 5 (Β¬ πœ“ β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) / π‘š))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))))
116115sumeq2sdv 15674 . . . 4 (Β¬ πœ“ β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) / π‘š))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))))
11774eqcomd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)))
118116, 117sylan9eqr 2789 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ πœ“) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) / π‘š))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)))
119106, 109, 1183eqtr4d 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ πœ“) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(πœ“, (logβ€˜π΄), 0)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) / π‘š))))
12091, 119pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(πœ“, (logβ€˜π΄), 0)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜if(πœ“, (𝐴 / 𝑑), π‘š)) / π‘š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  ifcif 4524   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  β„•cn 12234  β„€cz 12580  β„+crp 12998  ...cfz 13508  βŒŠcfl 13779  Ξ£csu 15656  Basecbs 17171  0gc0g 17412  β„€RHomczrh 21412  β„€/nβ„€czn 21415  logclog 26475  Ξ›cvma 27011  ΞΌcmu 27014  DChrcdchr 27152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-pc 16797  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-qus 17482  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-nsg 19070  df-eqg 19071  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rsp 21094  df-2idl 21133  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-zrh 21416  df-zn 21419  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-vma 27017  df-mu 27020  df-dchr 27153
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  27422
  Copyright terms: Public domain W3C validator