MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasum2if Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasum2if 27475
Description: Combine the results of dchrvmasumlem1 27473 and dchrvmasum2lem 27474 inside a conditional. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasum.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
dchrvmasum2.2 (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasum2if (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝜓, (log‘𝐴), 0)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) / 𝑚))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛, 1   𝑚,𝑑,𝑛,𝐴   𝑚,𝑁,𝑛   𝜑,𝑑,𝑚,𝑛   𝜓,𝑑,𝑚   𝑚,𝑍,𝑛   𝐷,𝑚,𝑛   𝐿,𝑑,𝑚,𝑛   𝑋,𝑑,𝑚,𝑛   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑛)   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(𝑚,𝑛,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasum2if
StepHypRef Expression
1 fzfid 13974 . . . . . 6 (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
2 rpvmasum.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 rpvmasum.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐺)
5 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
6 dchrisum.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐷)
76adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋𝐷)
8 elfzelz 13536 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℤ)
98adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℤ)
102, 3, 4, 5, 7, 9dchrzrhcl 27223 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿𝑑)) ∈ ℂ)
11 elfznn 13565 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℕ)
1211adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℕ)
13 mucl 27118 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
1413zred 12699 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
15 nndivre 12286 . . . . . . . . . . 11 (((μ‘𝑑) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
1614, 15mpancom 686 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ ℕ → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
1712, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
1817recnd 11274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
1910, 18mulcld 11266 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
20 fzfid 13974 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
217adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑋𝐷)
22 elfzelz 13536 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
2322adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
242, 3, 4, 5, 21, 23dchrzrhcl 27223 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
25 elfznn 13565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
2625adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
2726nnrpd 13049 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
2827relogcld 26602 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘𝑚) ∈ ℝ)
2928, 26nndivred 12299 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘𝑚) / 𝑚) ∈ ℝ)
3029recnd 11274 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘𝑚) / 𝑚) ∈ ℂ)
3124, 30mulcld 11266 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) ∈ ℂ)
3220, 31fsumcl 15715 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) ∈ ℂ)
3319, 32mulcld 11266 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) ∈ ℂ)
34 dchrvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3511nnrpd 13049 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
36 rpdivcl 13034 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
3734, 35, 36syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
3837adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
3938, 27rpdivcld 13068 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) ∈ ℝ+)
4039relogcld 26602 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) ∈ ℝ)
4140, 26nndivred 12299 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚) ∈ ℝ)
4241recnd 11274 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
4324, 42mulcld 11266 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
4420, 43fsumcl 15715 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
4519, 44mulcld 11266 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) ∈ ℂ)
461, 33, 45fsumadd 15722 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) + (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) + Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)))))
4738, 27relogdivd 26605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) = ((log‘(𝐴 / 𝑑)) − (log‘𝑚)))
4847oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘𝑚) + (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) = ((log‘𝑚) + ((log‘(𝐴 / 𝑑)) − (log‘𝑚))))
4928recnd 11274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘𝑚) ∈ ℂ)
5037relogcld 26602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘(𝐴 / 𝑑)) ∈ ℝ)
5150recnd 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘(𝐴 / 𝑑)) ∈ ℂ)
5251adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘(𝐴 / 𝑑)) ∈ ℂ)
5349, 52pncan3d 11606 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘𝑚) + ((log‘(𝐴 / 𝑑)) − (log‘𝑚))) = (log‘(𝐴 / 𝑑)))
5448, 53eqtr2d 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘(𝐴 / 𝑑)) = ((log‘𝑚) + (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))))
5554oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘(𝐴 / 𝑑)) / 𝑚) = (((log‘𝑚) + (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) / 𝑚))
5640recnd 11274 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) ∈ ℂ)
5726nncnd 12261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
5826nnne0d 12295 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ≠ 0)
5949, 56, 57, 58divdird 12061 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((log‘𝑚) + (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) / 𝑚) = (((log‘𝑚) / 𝑚) + ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)))
6055, 59eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘(𝐴 / 𝑑)) / 𝑚) = (((log‘𝑚) / 𝑚) + ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)))
6160oveq2d 7435 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘(𝐴 / 𝑑)) / 𝑚)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · (((log‘𝑚) / 𝑚) + ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))
6224, 30, 42adddid 11270 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · (((log‘𝑚) / 𝑚) + ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) + ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))
6361, 62eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘(𝐴 / 𝑑)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) + ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))
6463sumeq2dv 15685 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘(𝐴 / 𝑑)) / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) + ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))
6520, 31, 43fsumadd 15722 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) + ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))
6664, 65eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘(𝐴 / 𝑑)) / 𝑚)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))
6766oveq2d 7435 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘(𝐴 / 𝑑)) / 𝑚))) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)))))
6819, 32, 44adddid 11270 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)))) = ((((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) + (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)))))
6967, 68eqtrd 2765 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘(𝐴 / 𝑑)) / 𝑚))) = ((((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) + (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)))))
7069sumeq2dv 15685 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘(𝐴 / 𝑑)) / 𝑚))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) + (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)))))
71 rpvmasum.a . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
72 rpvmasum.1 . . . . . . 7 1 = (0g𝐺)
73 dchrisum.n1 . . . . . . 7 (𝜑𝑋1 )
743, 5, 71, 2, 4, 72, 6, 73, 34dchrvmasumlem1 27473 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
75 dchrvmasum2.2 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
763, 5, 71, 2, 4, 72, 6, 73, 34, 75dchrvmasum2lem 27474 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐴) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))
7774, 76oveq12d 7437 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + (log‘𝐴)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) + Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)))))
7846, 70, 773eqtr4rd 2776 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + (log‘𝐴)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘(𝐴 / 𝑑)) / 𝑚))))
7978adantr 479 . . 3 ((𝜑𝜓) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + (log‘𝐴)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘(𝐴 / 𝑑)) / 𝑚))))
80 iftrue 4536 . . . . 5 (𝜓 → if(𝜓, (log‘𝐴), 0) = (log‘𝐴))
8180oveq2d 7435 . . . 4 (𝜓 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝜓, (log‘𝐴), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + (log‘𝐴)))
8281adantl 480 . . 3 ((𝜑𝜓) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝜓, (log‘𝐴), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + (log‘𝐴)))
83 iftrue 4536 . . . . . . . . . 10 (𝜓 → if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚) = (𝐴 / 𝑑))
8483fveq2d 6900 . . . . . . . . 9 (𝜓 → (log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) = (log‘(𝐴 / 𝑑)))
8584oveq1d 7434 . . . . . . . 8 (𝜓 → ((log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) / 𝑚) = ((log‘(𝐴 / 𝑑)) / 𝑚))
8685oveq2d 7435 . . . . . . 7 (𝜓 → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) / 𝑚)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘(𝐴 / 𝑑)) / 𝑚)))
8786sumeq2sdv 15686 . . . . . 6 (𝜓 → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘(𝐴 / 𝑑)) / 𝑚)))
8887oveq2d 7435 . . . . 5 (𝜓 → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) / 𝑚))) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘(𝐴 / 𝑑)) / 𝑚))))
8988sumeq2sdv 15686 . . . 4 (𝜓 → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘(𝐴 / 𝑑)) / 𝑚))))
9089adantl 480 . . 3 ((𝜑𝜓) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘(𝐴 / 𝑑)) / 𝑚))))
9179, 82, 903eqtr4d 2775 . 2 ((𝜑𝜓) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝜓, (log‘𝐴), 0)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) / 𝑚))))
926adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋𝐷)
93 elfzelz 13536 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℤ)
9493adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℤ)
952, 3, 4, 5, 92, 94dchrzrhcl 27223 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
96 elfznn 13565 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
9796adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
98 vmacl 27095 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
99 nndivre 12286 . . . . . . . . . 10 (((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
10098, 99mpancom 686 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
101100recnd 11274 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
10297, 101syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
10395, 102mulcld 11266 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
1041, 103fsumcl 15715 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
105104adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
106105addridd 11446 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + 0) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
107 iffalse 4539 . . . . 5 𝜓 → if(𝜓, (log‘𝐴), 0) = 0)
108107adantl 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, (log‘𝐴), 0) = 0)
109108oveq2d 7435 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝜓, (log‘𝐴), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + 0))
110 iffalse 4539 . . . . . . . . . 10 𝜓 → if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚) = 𝑚)
111110fveq2d 6900 . . . . . . . . 9 𝜓 → (log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) = (log‘𝑚))
112111oveq1d 7434 . . . . . . . 8 𝜓 → ((log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) / 𝑚) = ((log‘𝑚) / 𝑚))
113112oveq2d 7435 . . . . . . 7 𝜓 → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) / 𝑚)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
114113sumeq2sdv 15686 . . . . . 6 𝜓 → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
115114oveq2d 7435 . . . . 5 𝜓 → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) / 𝑚))) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
116115sumeq2sdv 15686 . . . 4 𝜓 → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
11774eqcomd 2731 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
118116, 117sylan9eqr 2787 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
119106, 109, 1183eqtr4d 2775 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝜓, (log‘𝐴), 0)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) / 𝑚))))
12091, 119pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝜓, (log‘𝐴), 0)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘if(𝜓, (𝐴 / 𝑑), 𝑚)) / 𝑚))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  ifcif 4530   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  cle 11281  cmin 11476   / cdiv 11903  cn 12245  cz 12591  +crp 13009  ...cfz 13519  cfl 13791  Σcsu 15668  Basecbs 17183  0gc0g 17424  ℤRHomczrh 21442  ℤ/nczn 21445  logclog 26533  Λcvma 27069  μcmu 27072  DChrcdchr 27210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-pi 16052  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-prm 16646  df-pc 16809  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-qus 17494  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-nsg 19087  df-eqg 19088  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-rhm 20423  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-lidl 21116  df-rsp 21117  df-2idl 21157  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-zring 21390  df-zrh 21446  df-zn 21449  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840  df-log 26535  df-vma 27075  df-mu 27078  df-dchr 27211
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  27480
  Copyright terms: Public domain W3C validator