MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  selberglem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selberglem3 27493
Description: Lemma for selberg 27494. Estimation of the left-hand side of logsqvma2 27489. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
selberglem3 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   𝑛,𝑑,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem selberglem3
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7436 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) = (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))
21oveq1d 7428 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2) = ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2))
32oveq2d 7429 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2)))
4 rpre 13009 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5 ssrab2 4070 . . . . . . . . . . 11 {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} βŠ† β„•
6 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})
75, 6sselid 3971 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
8 mucl 27086 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
109zcnd 12692 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
11 elfznn 13557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1211nnrpd 13041 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
1312ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
147nnrpd 13041 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
1513, 14rpdivcld 13060 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ (𝑛 / 𝑑) ∈ ℝ+)
16 relogcl 26522 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 / 𝑑) ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℝ)
1716recnd 11267 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 / 𝑑) ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ β„‚)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ β„‚)
1918sqcld 14135 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2) ∈ β„‚)
2010, 19mulcld 11259 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) ∈ β„‚)
213, 4, 20dvdsflsumcom 27133 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2)))
22 elfznn 13557 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„•)
23223ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
2423nncnd 12253 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
25 elfznn 13557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
26253ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
2726nncnd 12253 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
2826nnne0d 12287 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ 𝑑 β‰  0)
2924, 27, 28divcan3d 12020 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑) = π‘š)
3029fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)) = (logβ€˜π‘š))
3130oveq1d 7428 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2) = ((logβ€˜π‘š)↑2))
3231oveq2d 7429 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)))
33322sumeq2dv 15678 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)))
3421, 33eqtrd 2765 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)))
3534oveq1d 7428 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) / π‘₯) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯))
3635oveq1d 7428 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) = ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))
3736mpteq2ia 5247 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))
38 eqid 2725 . . 3 ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑))))) / 𝑑) = ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑))))) / 𝑑)
3938selberglem2 27492 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)
4037, 39eqeltri 2821 1 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„‚cc 11131  1c1 11134   + caddc 11136   Β· cmul 11138   βˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  β„•cn 12237  2c2 12292  β„€cz 12583  β„+crp 13001  ...cfz 13511  βŒŠcfl 13782  β†‘cexp 14053  π‘‚(1)co1 15457  Ξ£csu 15659   βˆ₯ cdvds 16225  logclog 26501  ΞΌcmu 27040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-disj 5110  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-o1 15461  df-lo1 15462  df-sum 15660  df-ef 16038  df-e 16039  df-sin 16040  df-cos 16041  df-tan 16042  df-pi 16043  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-prm 16637  df-pc 16800  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-ulm 26326  df-log 26503  df-cxp 26504  df-atan 26812  df-em 26938  df-mu 27046
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator