MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  selberglem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selberglem3 27454
Description: Lemma for selberg 27455. Estimation of the left-hand side of logsqvma2 27450. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
selberglem3 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   𝑛,𝑑,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem selberglem3
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7437 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) = (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))
21oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2) = ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2))
32oveq2d 7430 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2)))
4 rpre 13000 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5 ssrab2 4073 . . . . . . . . . . 11 {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} βŠ† β„•
6 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})
75, 6sselid 3976 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
8 mucl 27047 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
109zcnd 12683 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
11 elfznn 13548 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1211nnrpd 13032 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
1312ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
147nnrpd 13032 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
1513, 14rpdivcld 13051 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ (𝑛 / 𝑑) ∈ ℝ+)
16 relogcl 26483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 / 𝑑) ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℝ)
1716recnd 11258 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 / 𝑑) ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ β„‚)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ β„‚)
1918sqcld 14126 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2) ∈ β„‚)
2010, 19mulcld 11250 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) ∈ β„‚)
213, 4, 20dvdsflsumcom 27094 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2)))
22 elfznn 13548 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„•)
23223ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
2423nncnd 12244 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
25 elfznn 13548 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
26253ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
2726nncnd 12244 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
2826nnne0d 12278 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ 𝑑 β‰  0)
2924, 27, 28divcan3d 12011 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑) = π‘š)
3029fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)) = (logβ€˜π‘š))
3130oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2) = ((logβ€˜π‘š)↑2))
3231oveq2d 7430 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)))
33322sumeq2dv 15669 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)))
3421, 33eqtrd 2767 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)))
3534oveq1d 7429 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) / π‘₯) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯))
3635oveq1d 7429 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) = ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))
3736mpteq2ia 5245 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))
38 eqid 2727 . . 3 ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑))))) / 𝑑) = ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑))))) / 𝑑)
3938selberglem2 27453 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)
4037, 39eqeltri 2824 1 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11122  1c1 11125   + caddc 11127   Β· cmul 11129   βˆ’ cmin 11460   / cdiv 11887  β„•cn 12228  2c2 12283  β„€cz 12574  β„+crp 12992  ...cfz 13502  βŒŠcfl 13773  β†‘cexp 14044  π‘‚(1)co1 15448  Ξ£csu 15650   βˆ₯ cdvds 16216  logclog 26462  ΞΌcmu 27001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-shft 15032  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-o1 15452  df-lo1 15453  df-sum 15651  df-ef 16029  df-e 16030  df-sin 16031  df-cos 16032  df-tan 16033  df-pi 16034  df-dvds 16217  df-gcd 16455  df-prm 16628  df-pc 16791  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-cmp 23265  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cncf 24772  df-limc 25769  df-dv 25770  df-ulm 26287  df-log 26464  df-cxp 26465  df-atan 26773  df-em 26899  df-mu 27007
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator