Theorem blopn 24668

Description: A ball of a metric space is an open set. (Contributed by NM, 9-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
blopn	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem blopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	blssopn 24663	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝐽)
3	2	3ad2ant1 1150	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝐽)
4		blelrn 24585	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ran (ball‘𝐷))
5	3, 4	sseldd 3937	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  ran crn 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℝ^*cxr 11248  ∞Metcxmet 21518  ballcbl 21520  MetOpencmopn 21523

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-topgen 17502  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-bases 23114

This theorem is used by:  neibl  24669  blnei  24670  methaus  24688  met1stc  24689  met2ndci  24690  metrest  24692  prdsxmslem2  24697  metcnp3  24708  zdis  24985  metdseq0  25023  metnrmlem2  25029  cnheibor  25125  cnllycmp  25126  nmhmcn  25290  lmmbr  25428  cfilfcls  25444  iscmet3lem2  25462  flimcfil  25484  bcthlem5  25498  ellimc3  26049  dvlipcn  26164  dvlip2  26165  psercn  26600  pserdvlem2  26602  dvlog2  26829  efopnlem2  26833  logtayl  26836  xrlimcnp  27144  efrlim  27145  lgamucov  27213  cnllysconn  35745  poimirlem30  38329  heicant  38334  ismtyhmeolem  38483  heibor1lem  38488  heibor1  38489  binomcxplemdvbinom  45091  binomcxplemnotnn0  45094  ioorrnopnlem  47046