Theorem blopn 24453

Description: A ball of a metric space is an open set. (Contributed by NM, 9-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
blopn	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem blopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	blssopn 24448	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝐽)
3	2	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝐽)
4		blelrn 24370	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ran (ball‘𝐷))
5	3, 4	sseldd 3918	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3885  ran crn 5621  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℝ^*cxr 11167  ∞Metcxmet 21326  ballcbl 21328  MetOpencmopn 21331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9344  df-inf 9345  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-topgen 17395  df-psmet 21333  df-xmet 21334  df-bl 21336  df-mopn 21337  df-bases 22899

This theorem is referenced by:  neibl  24454  blnei  24455  methaus  24473  met1stc  24474  met2ndci  24475  metrest  24477  prdsxmslem2  24482  metcnp3  24493  zdis  24770  metdseq0  24808  metnrmlem2  24814  cnheibor  24910  cnllycmp  24911  nmhmcn  25075  lmmbr  25213  cfilfcls  25229  iscmet3lem2  25247  flimcfil  25269  bcthlem5  25283  ellimc3  25834  dvlipcn  25949  dvlip2  25950  psercn  26379  pserdvlem2  26381  dvlog2  26605  efopnlem2  26609  logtayl  26612  xrlimcnp  26920  efrlim  26921  lgamucov  26989  cnllysconn  35415  poimirlem30  37959  heicant  37964  ismtyhmeolem  38113  heibor1lem  38118  heibor1  38119  binomcxplemdvbinom  44768  binomcxplemnotnn0  44771  ioorrnopnlem  46720