MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blopn 22525
Description: A ball of a metric space is an open set. (Contributed by NM, 9-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
blopn ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem blopn
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21blssopn 22520 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝐽)
323ad2ant1 1127 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝐽)
4 blelrn 22442 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ran (ball‘𝐷))
53, 4sseldd 3753 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  ran crn 5250  cfv 6031  (class class class)co 6793  *cxr 10275  ∞Metcxmt 19946  ballcbl 19948  MetOpencmopn 19951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-bases 20971
This theorem is referenced by:  neibl  22526  blnei  22527  methaus  22545  met1stc  22546  met2ndci  22547  metrest  22549  prdsxmslem2  22554  metcnp3  22565  zdis  22839  metdseq0  22877  metnrmlem2  22883  cnheibor  22974  cnllycmp  22975  nmhmcn  23139  lmmbr  23275  cfilfcls  23291  iscmet3lem2  23309  flimcfil  23331  bcthlem5  23344  ellimc3  23863  dvlipcn  23977  dvlip2  23978  psercn  24400  pserdvlem2  24402  dvlog2  24620  efopnlem2  24624  logtayl  24627  xrlimcnp  24916  efrlim  24917  lgamucov  24985  cnllysconn  31565  poimirlem30  33772  heicant  33777  ismtyhmeolem  33935  heibor1lem  33940  heibor1  33941  binomcxplemdvbinom  39078  binomcxplemnotnn0  39081  ioorrnopnlem  41041
  Copyright terms: Public domain W3C validator