Theorem css0 20547

Description: The zero subspace is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
css0.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
css0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
css0	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → { 0 } ∈ 𝐶)

Proof of Theorem css0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2772	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2772	. . 3 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
3		css0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4	1, 2, 3	ocv1 20537	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = { 0 })
5		ssid 3873	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝑊)
6		css0.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
7	1, 6, 2	ocvcss 20545	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) ∈ 𝐶)
8	5, 7	mpan2 678	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) ∈ 𝐶)
9	4, 8	eqeltrrd 2861	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → { 0 } ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ⊆ wss 3823  {csn 4435  ‘cfv 6185  Basecbs 16337  0_gc0g 16567  PreHilcphl 20482  ocvcocv 20518  ClSubSpccss 20519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-tpos 7693  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-0g 16569  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-ghm 18139  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-oppr 19108  df-rnghom 19202  df-staf 19350  df-srng 19351  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-lmhm 19528  df-lvec 19609  df-sra 19678  df-rgmod 19679  df-phl 20484  df-ocv 20521  df-css 20522

This theorem is referenced by: (None)