Theorem swapciso 49944

Description: The product category is categorically isomorphic to the swapped product category. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapfid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
swapfid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
swapfid.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapfid.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapfiso.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
swapfiso.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
swapfiso.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
swapfiso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
swapciso	⊢ (𝜑 → 𝑆( ≃𝑐 ‘𝐸)𝑇)

Proof of Theorem swapciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. 2 ⊢ (Iso‘𝐸) = (Iso‘𝐸)
2		eqid 2769	. 2 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
3		swapfiso.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		swapfiso.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
5	4	catccat 18161	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ Cat)
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
7		swapfiso.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
8		swapfid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
9		swapfid.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
10		swapfid.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
11	8, 9, 10	xpccat 18242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
12	7, 11	elind 4161	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
13	4, 2, 3	catcbas 18154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
14	12, 13	eleqtrrd 2872	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐸))
15		swapfiso.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
16		swapfid.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
17	16, 10, 9	xpccat 18242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Cat)
18	15, 17	elind 4161	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
19	18, 13	eleqtrrd 2872	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐸))
20	9, 10, 8, 16, 4, 3, 7, 15, 1	swapfiso 49943	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ (𝑆(Iso‘𝐸)𝑇))
21	1, 2, 6, 14, 19, 20	brcici 17853	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆( ≃𝑐 ‘𝐸)𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  Catccat 17716  Isociso 17799   ≃_𝑐 ccic 17848  CatCatccatc 18151   ×_c cxpc 18220   swap_F cswapf 49917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-hom 17330  df-cco 17331  df-cat 17720  df-cid 17721  df-sect 17800  df-inv 17801  df-iso 17802  df-cic 17849  df-func 17911  df-idfu 17912  df-cofu 17913  df-full 17959  df-fth 17960  df-catc 18152  df-xpc 18224  df-swapf 49918

This theorem is referenced by: (None)