Theorem swapciso 49761

Description: The product category is categorically isomorphic to the swapped product category. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapfid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
swapfid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
swapfid.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapfid.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapfiso.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
swapfiso.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
swapfiso.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
swapfiso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
swapciso	⊢ (𝜑 → 𝑆( ≃𝑐 ‘𝐸)𝑇)

Proof of Theorem swapciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (Iso‘𝐸) = (Iso‘𝐸)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
3		swapfiso.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		swapfiso.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
5	4	catccat 18075	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ Cat)
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
7		swapfiso.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
8		swapfid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
9		swapfid.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
10		swapfid.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
11	8, 9, 10	xpccat 18156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
12	7, 11	elind 4140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
13	4, 2, 3	catcbas 18068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
14	12, 13	eleqtrrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐸))
15		swapfiso.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
16		swapfid.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
17	16, 10, 9	xpccat 18156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Cat)
18	15, 17	elind 4140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
19	18, 13	eleqtrrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐸))
20	9, 10, 8, 16, 4, 3, 7, 15, 1	swapfiso 49760	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ (𝑆(Iso‘𝐸)𝑇))
21	1, 2, 6, 14, 19, 20	brcici 17767	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆( ≃𝑐 ‘𝐸)𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3888   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  Catccat 17630  Isociso 17713   ≃_𝑐 ccic 17762  CatCatccatc 18065   ×_c cxpc 18134   swap_F cswapf 49734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-hom 17244  df-cco 17245  df-cat 17634  df-cid 17635  df-sect 17714  df-inv 17715  df-iso 17716  df-cic 17763  df-func 17825  df-idfu 17826  df-cofu 17827  df-full 17873  df-fth 17874  df-catc 18066  df-xpc 18138  df-swapf 49735

This theorem is referenced by: (None)