Theorem swapciso 50013

Description: The product category is categorically isomorphic to the swapped product category. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapfid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
swapfid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
swapfid.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapfid.t	⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
swapfiso.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
swapfiso.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
swapfiso.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
swapfiso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
swapciso	⊢ (𝜑 → 𝑆( ≃𝑐 ‘𝐸)𝑇)

Proof of Theorem swapciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2770	. 2 ⊢ (Iso‘𝐸) = (Iso‘𝐸)
2		eqid 2770	. 2 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
3		swapfiso.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		swapfiso.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
5	4	catccat 18168	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ Cat)
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
7		swapfiso.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
8		swapfid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
9		swapfid.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
10		swapfid.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
11	8, 9, 10	xpccat 18249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
12	7, 11	elind 4161	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
13	4, 2, 3	catcbas 18161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
14	12, 13	eleqtrrd 2873	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐸))
15		swapfiso.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
16		swapfid.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐷 ×c 𝐶)
17	16, 10, 9	xpccat 18249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Cat)
18	15, 17	elind 4161	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
19	18, 13	eleqtrrd 2873	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐸))
20	9, 10, 8, 16, 4, 3, 7, 15, 1	swapfiso 50012	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) ∈ (𝑆(Iso‘𝐸)𝑇))
21	1, 2, 6, 14, 19, 20	brcici 17860	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆( ≃𝑐 ‘𝐸)𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ∩ cin 3912   class class class wbr 5114  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  Catccat 17723  Isociso 17806   ≃_𝑐 ccic 17855  CatCatccatc 18158   ×_c cxpc 18227   swap_F cswapf 49986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-ixp 8899  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12508  df-z 12595  df-dec 12715  df-uz 12866  df-fz 13539  df-struct 17210  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-hom 17337  df-cco 17338  df-cat 17727  df-cid 17728  df-sect 17807  df-inv 17808  df-iso 17809  df-cic 17856  df-func 17918  df-idfu 17919  df-cofu 17920  df-full 17966  df-fth 17967  df-catc 18159  df-xpc 18231  df-swapf 49987

This theorem is referenced by: (None)