Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oppgoppcid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgoppcid 48900
Description: The converted opposite monoid has the same identity morphism as that of the opposite category. Example 3.6(2) of [Adamek] p. 25. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mndtccat.c (𝜑𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtccat.m (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
oppgoppchom.d (𝜑𝐷 = (MndToCat‘(oppg𝑀)))
oppgoppchom.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppgoppchom.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
oppgoppchom.y (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑂))
Assertion
Ref Expression
oppgoppcid (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = ((Id‘𝑂)‘𝑌))

Proof of Theorem oppgoppcid
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . . 4 (oppg𝑀) = (oppg𝑀)
2 eqid 2734 . . . 4 (0g𝑀) = (0g𝑀)
31, 2oppgid 19389 . . 3 (0g𝑀) = (0g‘(oppg𝑀))
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (0g𝑀) = (0g‘(oppg𝑀)))
5 mndtccat.c . . 3 (𝜑𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
6 mndtccat.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
7 oppgoppchom.o . . . . . 6 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
8 eqid 2734 . . . . . 6 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
97, 8oppcbas 17763 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
109eqcomi 2743 . . . 4 (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶)
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶))
12 oppgoppchom.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑂))
135, 6mndtccat 48896 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
14 eqid 2734 . . . . 5 (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
157, 14oppcid 17767 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → (Id‘𝑂) = (Id‘𝐶))
1613, 15syl 17 . . 3 (𝜑 → (Id‘𝑂) = (Id‘𝐶))
175, 6, 11, 12, 16mndtcid 48897 . 2 (𝜑 → ((Id‘𝑂)‘𝑌) = (0g𝑀))
18 oppgoppchom.d . . 3 (𝜑𝐷 = (MndToCat‘(oppg𝑀)))
191oppgmnd 19387 . . . 4 (𝑀 ∈ Mnd → (oppg𝑀) ∈ Mnd)
206, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → (oppg𝑀) ∈ Mnd)
21 eqidd 2735 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷))
22 oppgoppchom.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
23 eqidd 2735 . . 3 (𝜑 → (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷))
2418, 20, 21, 22, 23mndtcid 48897 . 2 (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = (0g‘(oppg𝑀)))
254, 17, 243eqtr4rd 2785 1 (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = ((Id‘𝑂)‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  cfv 6562  Basecbs 17244  0gc0g 17485  Catccat 17708  Idccid 17709  oppCatcoppc 17755  Mndcmnd 18759  oppgcoppg 19375  MndToCatcmndtc 48885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-cat 17712  df-cid 17713  df-oppc 17756  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-oppg 19376  df-mndtc 48886
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator