Theorem oppgoppcid 50218

Description: The converted opposite monoid has the same identity morphism as that of the opposite category. Example 3.6(2) of [Adamek] p. 25. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtccat.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
oppgoppchom.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (MndToCat‘(oppg‘𝑀)))
oppgoppchom.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppgoppchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
oppgoppchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
oppgoppcid	⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = ((Id‘𝑂)‘𝑌))

Proof of Theorem oppgoppcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (oppg‘𝑀) = (oppg‘𝑀)
2		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
3	1, 2	oppgid 19398	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘(oppg‘𝑀))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑀) = (0g‘(oppg‘𝑀)))
5		mndtccat.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
6		mndtccat.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		oppgoppchom.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
8		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9	7, 8	oppcbas 17752	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
10	9	eqcomi 2773	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶))
12		oppgoppchom.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑂))
13	5, 6	mndtccat 50214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
14		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
15	7, 14	oppcid 17755	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Id‘𝑂) = (Id‘𝐶))
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑂) = (Id‘𝐶))
17	5, 6, 11, 12, 16	mndtcid 50215	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑂)‘𝑌) = (0g‘𝑀))
18		oppgoppchom.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (MndToCat‘(oppg‘𝑀)))
19	1	oppgmnd 19396	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (oppg‘𝑀) ∈ Mnd)
20	6, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑀) ∈ Mnd)
21		eqidd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷))
22		oppgoppchom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
23		eqidd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷))
24	18, 20, 21, 22, 23	mndtcid 50215	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = (0g‘(oppg‘𝑀)))
25	4, 17, 24	3eqtr4rd 2810	1 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = ((Id‘𝑂)‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  Basecbs 17247  0_gc0g 17470  Catccat 17698  Idccid 17699  oppCatcoppc 17745  Mndcmnd 18770  opp_gcoppg 19387  MndToCatcmndtc 50203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-hom 17312  df-cco 17313  df-0g 17472  df-cat 17702  df-cid 17703  df-oppc 17746  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-oppg 19388  df-mndtc 50204

This theorem is referenced by: (None)