Theorem oppgoppcid 50290

Description: The converted opposite monoid has the same identity morphism as that of the opposite category. Example 3.6(2) of [Adamek] p. 25. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtccat.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
oppgoppchom.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (MndToCat‘(oppg‘𝑀)))
oppgoppchom.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppgoppchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
oppgoppchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
oppgoppcid	⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = ((Id‘𝑂)‘𝑌))

Proof of Theorem oppgoppcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (oppg‘𝑀) = (oppg‘𝑀)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
3	1, 2	oppgid 19426	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘(oppg‘𝑀))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑀) = (0g‘(oppg‘𝑀)))
5		mndtccat.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
6		mndtccat.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		oppgoppchom.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
8		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9	7, 8	oppcbas 17774	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
10	9	eqcomi 2778	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶))
12		oppgoppchom.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑂))
13	5, 6	mndtccat 50286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
14		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
15	7, 14	oppcid 17777	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Id‘𝑂) = (Id‘𝐶))
16	13, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑂) = (Id‘𝐶))
17	5, 6, 11, 12, 16	mndtcid 50287	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑂)‘𝑌) = (0g‘𝑀))
18		oppgoppchom.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (MndToCat‘(oppg‘𝑀)))
19	1	oppgmnd 19424	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (oppg‘𝑀) ∈ Mnd)
20	6, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑀) ∈ Mnd)
21		eqidd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷))
22		oppgoppchom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
23		eqidd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷))
24	18, 20, 21, 22, 23	mndtcid 50287	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = (0g‘(oppg‘𝑀)))
25	4, 17, 24	3eqtr4rd 2815	1 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = ((Id‘𝑂)‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  0_gc0g 17492  Catccat 17720  Idccid 17721  oppCatcoppc 17767  Mndcmnd 18792  opp_gcoppg 19415  MndToCatcmndtc 50275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-cat 17724  df-cid 17725  df-oppc 17768  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-oppg 19416  df-mndtc 50276

This theorem is referenced by: (None)