Theorem oppgoppcid 49165

Description: The converted opposite monoid has the same identity morphism as that of the opposite category. Example 3.6(2) of [Adamek] p. 25. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtccat.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
oppgoppchom.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (MndToCat‘(oppg‘𝑀)))
oppgoppchom.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppgoppchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
oppgoppchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
oppgoppcid	⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = ((Id‘𝑂)‘𝑌))

Proof of Theorem oppgoppcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (oppg‘𝑀) = (oppg‘𝑀)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
3	1, 2	oppgid 19371	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘(oppg‘𝑀))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑀) = (0g‘(oppg‘𝑀)))
5		mndtccat.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
6		mndtccat.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		oppgoppchom.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9	7, 8	oppcbas 17757	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
10	9	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐶))
12		oppgoppchom.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑂))
13	5, 6	mndtccat 49161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
14		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
15	7, 14	oppcid 17760	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Id‘𝑂) = (Id‘𝐶))
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑂) = (Id‘𝐶))
17	5, 6, 11, 12, 16	mndtcid 49162	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝑂)‘𝑌) = (0g‘𝑀))
18		oppgoppchom.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (MndToCat‘(oppg‘𝑀)))
19	1	oppgmnd 19369	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (oppg‘𝑀) ∈ Mnd)
20	6, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑀) ∈ Mnd)
21		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷))
22		oppgoppchom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐷))
23		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷))
24	18, 20, 21, 22, 23	mndtcid 49162	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = (0g‘(oppg‘𝑀)))
25	4, 17, 24	3eqtr4rd 2787	1 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = ((Id‘𝑂)‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6559  Basecbs 17243  0_gc0g 17480  Catccat 17703  Idccid 17704  oppCatcoppc 17750  Mndcmnd 18743  opp_gcoppg 19359  MndToCatcmndtc 49150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-tpos 8247  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-plusg 17306  df-hom 17317  df-cco 17318  df-0g 17482  df-cat 17707  df-cid 17708  df-oppc 17751  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-oppg 19360  df-mndtc 49151

This theorem is referenced by: (None)