Theorem oppmir 29225

Description: The mirror point with regard to a point 𝑋 on a line 𝐴 lies on the other side of 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppmir.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
oppmir.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
oppmir.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
oppmir.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
oppmir.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
oppmir.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
oppmir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
oppmir.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
oppmir.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
oppmir.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppmir	⊢ (𝜑 → 𝑌𝑂(𝑀‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝑀   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝑃(𝑡)   𝑆(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝐺(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝐿(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑀(𝑎, 𝑏)   𝑂(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑋(𝑎, 𝑏)   𝑌(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem oppmir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppmir.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2761	. 2 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		oppmir.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		oppmir.o	. 2 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		oppmir.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
6	5	eldifad 3911	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		oppmir.1	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		oppmir.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
9		oppmir.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		oppmir.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
11		oppmir.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
12	1, 7, 3, 9, 10, 11	tglnpt 29005	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		oppmir.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
14	1, 2, 3, 7, 8, 9, 12, 13, 6	mircl 29126	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
15	5	eldifbd 3912	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
16	1, 2, 3, 7, 8, 9, 12, 13, 6	mirmir 29127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) = 𝑌)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) = 𝑌)
18	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
20	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
21		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴)
22	1, 2, 3, 7, 8, 18, 13, 19, 20, 21	mirln 29141	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ 𝐴)
23	17, 22	eqeltrrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)
24	15, 23	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴)
25	1, 2, 3, 7, 8, 9, 12, 13, 6	mirbtwn 29123	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐼𝑌))
26	1, 2, 3, 9, 14, 12, 6, 25	tgbtwncom 28944	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼(𝑀‘𝑌)))
27	1, 2, 3, 4, 6, 14, 11, 15, 24, 26	islnoppd 29209	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌𝑂(𝑀‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   class class class wbr 5103  {copab 5167  ran crn 5652  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  distcds 17430  TarskiGcstrkg 28882  Itvcitv 28888  LineGclng 28889  pInvGcmir 29117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8710  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-concat 14709  df-s1 14736  df-s2 14992  df-s3 14993  df-trkgc 28903  df-trkgb 28904  df-trkgcb 28905  df-trkg 28908  df-cgrg 28967  df-mir 29118

This theorem is used by:  plngmiropp  29265  nhpmirhp  29269  tgaaddcpbllem1  29342  tgaaddcpbl  29345