Theorem oppmir 29239

Description: The mirror point with regard to a point 𝑋 on a line 𝐴 lies on the other side of 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppmir.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
oppmir.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
oppmir.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
oppmir.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
oppmir.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
oppmir.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
oppmir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
oppmir.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
oppmir.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
oppmir.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppmir	⊢ (𝜑 → 𝑌𝑂(𝑀‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝑀   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝑃(𝑡)   𝑆(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝐺(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝐿(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑀(𝑎, 𝑏)   𝑂(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑋(𝑎, 𝑏)   𝑌(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem oppmir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppmir.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		oppmir.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		oppmir.o	. 2 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		oppmir.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
6	5	eldifad 4050	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		oppmir.1	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		oppmir.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
9		oppmir.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		oppmir.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
11		oppmir.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
12	1, 7, 3, 9, 10, 11	tglnpt 29019	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		oppmir.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
14	1, 2, 3, 7, 8, 9, 12, 13, 6	mircl 29140	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
15	5	eldifbd 4051	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
16	1, 2, 3, 7, 8, 9, 12, 13, 6	mirmir 29141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) = 𝑌)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) = 𝑌)
18	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
20	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
21		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴)
22	1, 2, 3, 7, 8, 18, 13, 19, 20, 21	mirln 29155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ 𝐴)
23	17, 22	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)
24	15, 23	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴)
25	1, 2, 3, 7, 8, 9, 12, 13, 6	mirbtwn 29137	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐼𝑌))
26	1, 2, 3, 9, 14, 12, 6, 25	tgbtwncom 28958	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼(𝑀‘𝑌)))
27	1, 2, 3, 4, 6, 14, 11, 15, 24, 26	islnoppd 29223	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌𝑂(𝑀‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ∖ cdif 4044   class class class wbr 5102  {copab 5166  ran crn 5651  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  distcds 17444  TarskiGcstrkg 28896  Itvcitv 28902  LineGclng 28903  pInvGcmir 29131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-oadd 8485  df-er 8722  df-pm 8855  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-dju 9987  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-xnn0 12685  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-hash 14480  df-word 14664  df-concat 14721  df-s1 14748  df-s2 15005  df-s3 15006  df-trkgc 28917  df-trkgb 28918  df-trkgcb 28919  df-trkg 28922  df-cgrg 28981  df-mir 29132

This theorem is used by:  plngmiropp  29279  nhpmirhp  29283  tgaaddcpbllem1  29356  tgaaddcpbl  29359