Theorem oppmir 29289

Description: The mirror point with regard to a point 𝑋 on a line 𝐴 lies on the other side of 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppmir.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
oppmir.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
oppmir.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
oppmir.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
oppmir.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
oppmir.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
oppmir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
oppmir.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
oppmir.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
oppmir.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppmir	⊢ (𝜑 → 𝑌𝑂(𝑀‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝑀   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝑃(𝑡)   𝑆(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝐺(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝐿(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑀(𝑎, 𝑏)   𝑂(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑋(𝑎, 𝑏)   𝑌(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem oppmir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppmir.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		oppmir.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		oppmir.o	. 2 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		oppmir.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
6	5	eldifad 4054	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		oppmir.1	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		oppmir.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
9		oppmir.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		oppmir.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
11		oppmir.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
12	1, 7, 3, 9, 10, 11	tglnpt 29069	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		oppmir.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
14	1, 2, 3, 7, 8, 9, 12, 13, 6	mircl 29190	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
15	5	eldifbd 4055	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
16	1, 2, 3, 7, 8, 9, 12, 13, 6	mirmir 29191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) = 𝑌)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) = 𝑌)
18	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
20	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
21		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴)
22	1, 2, 3, 7, 8, 18, 13, 19, 20, 21	mirln 29205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ 𝐴)
23	17, 22	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)
24	15, 23	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴)
25	1, 2, 3, 7, 8, 9, 12, 13, 6	mirbtwn 29187	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐼𝑌))
26	1, 2, 3, 9, 14, 12, 6, 25	tgbtwncom 29008	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼(𝑀‘𝑌)))
27	1, 2, 3, 4, 6, 14, 11, 15, 24, 26	islnoppd 29273	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌𝑂(𝑀‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5108  {copab 5173  ran crn 5659  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  distcds 17481  TarskiGcstrkg 28946  Itvcitv 28952  LineGclng 28953  pInvGcmir 29181

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-concat 14757  df-s1 14784  df-s2 15041  df-s3 15042  df-trkgc 28967  df-trkgb 28968  df-trkgcb 28969  df-trkg 28972  df-cgrg 29031  df-mir 29182

This theorem is used by:  plngmiropp  29329  nhpmirhp  29333  tgaaddcpbllem1  29406  tgaaddcpbl  29409