Theorem oppmir 29065

Description: The mirror point with regard to a point 𝑋 on a line 𝐴 lies on the other side of 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppmir.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
oppmir.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
oppmir.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
oppmir.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
oppmir.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
oppmir.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
oppmir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
oppmir.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
oppmir.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
oppmir.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppmir	⊢ (𝜑 → 𝑌𝑂(𝑀‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝑀   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝑃(𝑡)   𝑆(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝐺(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝐿(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑀(𝑎, 𝑏)   𝑂(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑋(𝑎, 𝑏)   𝑌(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem oppmir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppmir.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. 2 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		oppmir.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		oppmir.o	. 2 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		oppmir.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
6	5	eldifad 3918	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		oppmir.1	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		oppmir.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
9		oppmir.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		oppmir.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
11		oppmir.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
12	1, 7, 3, 9, 10, 11	tglnpt 28847	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		oppmir.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
14	1, 2, 3, 7, 8, 9, 12, 13, 6	mircl 28967	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
15	5	eldifbd 3919	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
16	1, 2, 3, 7, 8, 9, 12, 13, 6	mirmir 28968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) = 𝑌)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) = 𝑌)
18	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
20	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
21		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴)
22	1, 2, 3, 7, 8, 18, 13, 19, 20, 21	mirln 28982	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑀‘𝑌)) ∈ 𝐴)
23	17, 22	eqeltrrd 2866	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)
24	15, 23	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐴)
25	1, 2, 3, 7, 8, 9, 12, 13, 6	mirbtwn 28964	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐼𝑌))
26	1, 2, 3, 9, 14, 12, 6, 25	tgbtwncom 28786	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼(𝑀‘𝑌)))
27	1, 2, 3, 4, 6, 14, 11, 15, 24, 26	islnoppd 29050	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌𝑂(𝑀‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   class class class wbr 5111  {copab 5175  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17286  distcds 17336  TarskiGcstrkg 28725  Itvcitv 28731  LineGclng 28732  pInvGcmir 28958

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-hash 14380  df-word 14564  df-concat 14621  df-s1 14648  df-s2 14904  df-s3 14905  df-trkgc 28746  df-trkgb 28747  df-trkgcb 28748  df-trkg 28751  df-cgrg 28809  df-mir 28959

This theorem is used by:  plngmiropp  29105  nhpmirhp  29109