Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrx2line Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx2line 48661
Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2line.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2line.l 𝐿 = (LineM𝐸)
Assertion
Ref Expression
rrx2line ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑡   𝐼,𝑝,𝑡   𝑃,𝑝,𝑡   𝑋,𝑝,𝑡   𝑌,𝑝,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑡,𝑝)

Proof of Theorem rrx2line
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrx2line.i . . . 4 𝐼 = {1, 2}
2 prfi 9363 . . . 4 {1, 2} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2837 . . 3 𝐼 ∈ Fin
4 rrx2line.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
5 rrx2line.b . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6 rrx2line.l . . . 4 𝐿 = (LineM𝐸)
74, 5, 6rrxlinec 48657 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖𝐼 (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) + (𝑡 · (𝑌𝑖)))})
83, 7mpan 690 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖𝐼 (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) + (𝑡 · (𝑌𝑖)))})
91a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐼 = {1, 2})
109raleqdv 3326 . . . . 5 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (∀𝑖𝐼 (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) + (𝑡 · (𝑌𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) + (𝑡 · (𝑌𝑖)))))
11 1ex 11257 . . . . . 6 1 ∈ V
12 2ex 12343 . . . . . 6 2 ∈ V
13 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → (𝑝𝑖) = (𝑝‘1))
14 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → (𝑋𝑖) = (𝑋‘1))
1514oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)))
16 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → (𝑌𝑖) = (𝑌‘1))
1716oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (𝑡 · (𝑌𝑖)) = (𝑡 · (𝑌‘1)))
1815, 17oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → (((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) + (𝑡 · (𝑌𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))
1913, 18eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → ((𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) + (𝑡 · (𝑌𝑖))) ↔ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))))
20 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑖 = 2 → (𝑝𝑖) = (𝑝‘2))
21 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 2 → (𝑋𝑖) = (𝑋‘2))
2221oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑖 = 2 → ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)))
23 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 2 → (𝑌𝑖) = (𝑌‘2))
2423oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑖 = 2 → (𝑡 · (𝑌𝑖)) = (𝑡 · (𝑌‘2)))
2522, 24oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑖 = 2 → (((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) + (𝑡 · (𝑌𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))
2620, 25eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑖 = 2 → ((𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) + (𝑡 · (𝑌𝑖))) ↔ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))))
2711, 12, 19, 26ralpr 4700 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) + (𝑡 · (𝑌𝑖))) ↔ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))))
2810, 27bitrdi 287 . . . 4 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (∀𝑖𝐼 (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) + (𝑡 · (𝑌𝑖))) ↔ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
2928rexbidva 3177 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖𝐼 (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) + (𝑡 · (𝑌𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
3029rabbidva 3443 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖𝐼 (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) + (𝑡 · (𝑌𝑖)))} = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
318, 30eqtrd 2777 1 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  {cpr 4628  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  2c2 12321  ℝ^crrx 25417  LineMcline 48648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-tng 24597  df-tcph 25203  df-rrx 25419  df-line 48650
This theorem is referenced by:  rrx2vlinest  48662  rrx2linest  48663  rrx2linesl  48664
  Copyright terms: Public domain W3C validator