Theorem rrx2line 45974

Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2line.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2line.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rrx2line	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑡   𝐼,𝑝,𝑡   𝑃,𝑝,𝑡   𝑋,𝑝,𝑡   𝑌,𝑝,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑡,𝑝)

Proof of Theorem rrx2line

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2line.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		prfi 9019	. . . 4 ⊢ {1, 2} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Fin
4		rrx2line.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
5		rrx2line.b	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6		rrx2line.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
7	4, 5, 6	rrxlinec 45970	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))})
8	3, 7	mpan 686	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))})
9	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐼 = {1, 2})
10	9	raleqdv 3339	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))))
11		1ex 10902	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
12		2ex 11980	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
13		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘1))
14		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘1))
15	14	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)))
16		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘1))
17	16	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑡 · (𝑌‘𝑖)) = (𝑡 · (𝑌‘1)))
18	15, 17	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))
19	13, 18	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))))
20		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘2))
21		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘2))
22	21	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 2 → ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)))
23		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘2))
24	23	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑡 · (𝑌‘𝑖)) = (𝑡 · (𝑌‘2)))
25	22, 24	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))
26	20, 25	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))))
27	11, 12, 19, 26	ralpr 4633	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))))
28	10, 27	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
29	28	rexbidva 3224	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
30	29	rabbidva 3402	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
31	8, 30	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067  {cpr 4560  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  2c2 11958  ℝ^crrx 24452  Line_Mcline 45961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-rnghom 19874  df-drng 19908  df-field 19909  df-subrg 19937  df-staf 20020  df-srng 20021  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-cnfld 20511  df-refld 20722  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-tng 23646  df-tcph 24238  df-rrx 24454  df-line 45963

This theorem is referenced by:  rrx2vlinest  45975  rrx2linest  45976  rrx2linesl  45977