Theorem rrx2line 48735

Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2line.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2line.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rrx2line	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑡   𝐼,𝑝,𝑡   𝑃,𝑝,𝑡   𝑋,𝑝,𝑡   𝑌,𝑝,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑡,𝑝)

Proof of Theorem rrx2line

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2line.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		prfi 9213	. . . 4 ⊢ {1, 2} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Fin
4		rrx2line.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
5		rrx2line.b	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6		rrx2line.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
7	4, 5, 6	rrxlinec 48731	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))})
8	3, 7	mpan 690	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))})
9	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐼 = {1, 2})
10	9	raleqdv 3289	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))))
11		1ex 11111	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
12		2ex 12205	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
13		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘1))
14		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘1))
15	14	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)))
16		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘1))
17	16	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑡 · (𝑌‘𝑖)) = (𝑡 · (𝑌‘1)))
18	15, 17	oveq12d 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))
19	13, 18	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))))
20		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘2))
21		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘2))
22	21	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 2 → ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)))
23		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘2))
24	23	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑡 · (𝑌‘𝑖)) = (𝑡 · (𝑌‘2)))
25	22, 24	oveq12d 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))
26	20, 25	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))))
27	11, 12, 19, 26	ralpr 4652	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))))
28	10, 27	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
29	28	rexbidva 3151	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
30	29	rabbidva 3401	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
31	8, 30	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3394  {cpr 4579  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  Fincfn 8872  ℝcr 11008  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   − cmin 11347  2c2 12183  ℝ^crrx 25281  Line_Mcline 48722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-field 20617  df-staf 20724  df-srng 20725  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-cnfld 21262  df-refld 21512  df-dsmm 21639  df-frlm 21654  df-tng 24470  df-tcph 25067  df-rrx 25283  df-line 48724

This theorem is referenced by:  rrx2vlinest  48736  rrx2linest  48737  rrx2linesl  48738