Theorem rrx2line 46047

Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2line.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2line.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rrx2line	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑡   𝐼,𝑝,𝑡   𝑃,𝑝,𝑡   𝑋,𝑝,𝑡   𝑌,𝑝,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑡,𝑝)

Proof of Theorem rrx2line

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2line.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		prfi 9059	. . . 4 ⊢ {1, 2} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Fin
4		rrx2line.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
5		rrx2line.b	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6		rrx2line.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
7	4, 5, 6	rrxlinec 46043	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))})
8	3, 7	mpan 687	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))})
9	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐼 = {1, 2})
10	9	raleqdv 3347	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))))
11		1ex 10964	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
12		2ex 12042	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
13		fveq2 6769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘1))
14		fveq2 6769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘1))
15	14	oveq2d 7285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)))
16		fveq2 6769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘1))
17	16	oveq2d 7285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑡 · (𝑌‘𝑖)) = (𝑡 · (𝑌‘1)))
18	15, 17	oveq12d 7287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))
19	13, 18	eqeq12d 2756	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))))
20		fveq2 6769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘2))
21		fveq2 6769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘2))
22	21	oveq2d 7285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 2 → ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)))
23		fveq2 6769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘2))
24	23	oveq2d 7285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑡 · (𝑌‘𝑖)) = (𝑡 · (𝑌‘2)))
25	22, 24	oveq12d 7287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))
26	20, 25	eqeq12d 2756	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))))
27	11, 12, 19, 26	ralpr 4642	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))))
28	10, 27	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
29	28	rexbidva 3227	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
30	29	rabbidva 3411	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
31	8, 30	eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∀wral 3066  ∃wrex 3067  {crab 3070  {cpr 4569  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269   ↑_m cmap 8590  Fincfn 8708  ℝcr 10863  1c1 10865   + caddc 10867   · cmul 10869   − cmin 11197  2c2 12020  ℝ^crrx 24537  Line_Mcline 46034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941  ax-pre-sup 10942  ax-addf 10943  ax-mulf 10944

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-supp 7963  df-tpos 8027  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-er 8473  df-map 8592  df-ixp 8661  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-fsupp 9099  df-sup 9171  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-div 11625  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-z 12312  df-dec 12429  df-uz 12574  df-rp 12722  df-fz 13231  df-seq 13712  df-exp 13773  df-cj 14800  df-re 14801  df-im 14802  df-sqrt 14936  df-abs 14937  df-struct 16838  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-ress 16932  df-plusg 16965  df-mulr 16966  df-starv 16967  df-sca 16968  df-vsca 16969  df-ip 16970  df-tset 16971  df-ple 16972  df-ds 16974  df-unif 16975  df-hom 16976  df-cco 16977  df-0g 17142  df-prds 17148  df-pws 17150  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-mhm 18420  df-grp 18570  df-minusg 18571  df-sbg 18572  df-subg 18742  df-ghm 18822  df-cmn 19378  df-mgp 19711  df-ur 19728  df-ring 19775  df-cring 19776  df-oppr 19852  df-dvdsr 19873  df-unit 19874  df-invr 19904  df-dvr 19915  df-rnghom 19949  df-drng 19983  df-field 19984  df-subrg 20012  df-staf 20095  df-srng 20096  df-lmod 20115  df-lss 20184  df-sra 20424  df-rgmod 20425  df-cnfld 20588  df-refld 20800  df-dsmm 20929  df-frlm 20944  df-tng 23730  df-tcph 24323  df-rrx 24539  df-line 46036

This theorem is referenced by:  rrx2vlinest  46048  rrx2linest  46049  rrx2linesl  46050