Theorem rrx2line 48733

Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2line.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2line.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rrx2line	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑡   𝐼,𝑝,𝑡   𝑃,𝑝,𝑡   𝑋,𝑝,𝑡   𝑌,𝑝,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑡,𝑝)

Proof of Theorem rrx2line

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2line.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		prfi 9281	. . . 4 ⊢ {1, 2} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Fin
4		rrx2line.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
5		rrx2line.b	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6		rrx2line.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
7	4, 5, 6	rrxlinec 48729	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))})
8	3, 7	mpan 690	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))})
9	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐼 = {1, 2})
10	9	raleqdv 3301	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))))
11		1ex 11177	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
12		2ex 12270	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
13		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘1))
14		fveq2 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘1))
15	14	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)))
16		fveq2 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘1))
17	16	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑡 · (𝑌‘𝑖)) = (𝑡 · (𝑌‘1)))
18	15, 17	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))
19	13, 18	eqeq12d 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))))
20		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘2))
21		fveq2 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘2))
22	21	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 2 → ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)))
23		fveq2 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘2))
24	23	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑡 · (𝑌‘𝑖)) = (𝑡 · (𝑌‘2)))
25	22, 24	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))
26	20, 25	eqeq12d 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))))
27	11, 12, 19, 26	ralpr 4667	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))))
28	10, 27	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
29	28	rexbidva 3156	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
30	29	rabbidva 3415	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
31	8, 30	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3408  {cpr 4594  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412  2c2 12248  ℝ^crrx 25290  Line_Mcline 48720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-field 20648  df-staf 20755  df-srng 20756  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-cnfld 21272  df-refld 21521  df-dsmm 21648  df-frlm 21663  df-tng 24479  df-tcph 25076  df-rrx 25292  df-line 48722

This theorem is referenced by:  rrx2vlinest  48734  rrx2linest  48735  rrx2linesl  48736