Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrx2line Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx2line 46916
Description: The line passing through the two different points ๐‘‹ and ๐‘Œ in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2line.i ๐ผ = {1, 2}
rrx2line.e ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
rrx2line.b ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
rrx2line.l ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
Assertion
Ref Expression
rrx2line ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))})
Distinct variable groups:   ๐ธ,๐‘,๐‘ก   ๐ผ,๐‘,๐‘ก   ๐‘ƒ,๐‘,๐‘ก   ๐‘‹,๐‘,๐‘ก   ๐‘Œ,๐‘,๐‘ก
Allowed substitution hints:   ๐ฟ(๐‘ก,๐‘)

Proof of Theorem rrx2line
Dummy variable ๐‘– is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrx2line.i . . . 4 ๐ผ = {1, 2}
2 prfi 9272 . . . 4 {1, 2} โˆˆ Fin
31, 2eqeltri 2830 . . 3 ๐ผ โˆˆ Fin
4 rrx2line.e . . . 4 ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
5 rrx2line.b . . . 4 ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
6 rrx2line.l . . . 4 ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
74, 5, 6rrxlinec 46912 . . 3 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘โ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–)))})
83, 7mpan 689 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘โ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–)))})
91a1i 11 . . . . . 6 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐ผ = {1, 2})
109raleqdv 3312 . . . . 5 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘โ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ {1, 2} (๐‘โ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–)))))
11 1ex 11159 . . . . . 6 1 โˆˆ V
12 2ex 12238 . . . . . 6 2 โˆˆ V
13 fveq2 6846 . . . . . . 7 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘โ€˜๐‘–) = (๐‘โ€˜1))
14 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘‹โ€˜1))
1514oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐‘– = 1 โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)))
16 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜1))
1716oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–)) = (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1)))
1815, 17oveq12d 7379 . . . . . . 7 (๐‘– = 1 โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))))
1913, 18eqeq12d 2749 . . . . . 6 (๐‘– = 1 โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–))) โ†” (๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1)))))
20 fveq2 6846 . . . . . . 7 (๐‘– = 2 โ†’ (๐‘โ€˜๐‘–) = (๐‘โ€˜2))
21 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (๐‘– = 2 โ†’ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘‹โ€˜2))
2221oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐‘– = 2 โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)))
23 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (๐‘– = 2 โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜2))
2423oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐‘– = 2 โ†’ (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–)) = (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))
2522, 24oveq12d 7379 . . . . . . 7 (๐‘– = 2 โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))
2620, 25eqeq12d 2749 . . . . . 6 (๐‘– = 2 โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–))) โ†” (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))))
2711, 12, 19, 26ralpr 4665 . . . . 5 (โˆ€๐‘– โˆˆ {1, 2} (๐‘โ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–))) โ†” ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))))
2810, 27bitrdi 287 . . . 4 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘โ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–))) โ†” ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))))
2928rexbidva 3170 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘โ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–))) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))))
3029rabbidva 3413 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘โ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–)))} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))})
318, 30eqtrd 2773 1 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3406  {cpr 4592  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โ†‘m cmap 8771  Fincfn 8889  โ„cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  2c2 12216  โ„^crrx 24770  LineMcline 46903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-field 20222  df-subrg 20262  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-refld 21032  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-tng 23963  df-tcph 24556  df-rrx 24772  df-line 46905
This theorem is referenced by:  rrx2vlinest  46917  rrx2linest  46918  rrx2linesl  46919
  Copyright terms: Public domain W3C validator