Theorem i1f1 25657

Description: Base case simple functions are indicator functions of measurable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1f1.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
i1f1	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem i1f1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1f1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))
2	1	i1f1lem 25656	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴))
3	2	simpli 483	. . . 4 ⊢ 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
4		0re 11146	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11144	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		prssi 4764	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {0, 1} ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 693	. . . 4 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
8		fss 6684	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ {0, 1} ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
9	3, 7, 8	mp2an 693	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ⟶ℝ
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
11		prfi 9234	. . 3 ⊢ {0, 1} ∈ Fin
12		1ex 11140	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
13	12	prid2 4707	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
14		c0ex 11138	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
15	14	prid1 4706	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
16	13, 15	ifcli 4514	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
18	17, 1	fmptd 7066	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶{0, 1})
19		frn 6675	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
21		ssfi 9107	. . 3 ⊢ (({0, 1} ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}) → ran 𝐹 ∈ Fin)
22	11, 20, 21	sylancr 588	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → ran 𝐹 ∈ Fin)
23	3, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}
24		df-pr 4570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {0, 1} = ({0} ∪ {1})
25	24	equncomi 4100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0, 1} = ({1} ∪ {0})
26	23, 25	sseqtri 3970	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ({1} ∪ {0})
27		ssdif 4084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ({1} ∪ {0}) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (({1} ∪ {0}) ∖ {0})
29		difun2 4421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}) = ({1} ∖ {0})
30		difss 4076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({1} ∖ {0}) ⊆ {1}
31	29, 30	eqsstri 3968	. . . . . . . . 9 ⊢ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}) ⊆ {1}
32	28, 31	sstri 3931	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1}
33	32	sseli 3917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 ∈ {1})
34		elsni 4584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 = 1)
36	35	sneqd 4579	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → {𝑦} = {1})
37	36	imaeq2d 6025	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → (◡𝐹 “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ {1}))
38	2	simpri 485	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
39	38	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
40	37, 39	sylan9eqr 2793	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) = 𝐴)
41		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ dom vol)
42	40, 41	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
43	40	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) = (vol‘𝐴))
44		simplr 769	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
45	43, 44	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
46	10, 22, 42, 45	i1fd 25648	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ⊆ wss 3889  ifcif 4466  {csn 4567  {cpr 4569   ↦ cmpt 5166  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  Fincfn 8893  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  volcvol 25430  ∫₁citg1 25582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xadd 13064  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-xmet 21345  df-met 21346  df-ovol 25431  df-vol 25432  df-mbf 25586  df-itg1 25587

This theorem is referenced by:  itg11  25658  itg2const  25707  itg2addnclem  37992