Theorem i1f1 25598

Description: Base case simple functions are indicator functions of measurable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1f1.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
i1f1	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem i1f1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1f1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))
2	1	i1f1lem 25597	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴))
3	2	simpli 483	. . . 4 ⊢ 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
4		0re 11183	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11181	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		prssi 4788	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {0, 1} ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . . 4 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
8		fss 6707	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ {0, 1} ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
9	3, 7, 8	mp2an 692	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ⟶ℝ
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
11		prfi 9281	. . 3 ⊢ {0, 1} ∈ Fin
12		1ex 11177	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
13	12	prid2 4730	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
14		c0ex 11175	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
15	14	prid1 4729	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
16	13, 15	ifcli 4539	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
18	17, 1	fmptd 7089	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶{0, 1})
19		frn 6698	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
21		ssfi 9143	. . 3 ⊢ (({0, 1} ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}) → ran 𝐹 ∈ Fin)
22	11, 20, 21	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → ran 𝐹 ∈ Fin)
23	3, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}
24		df-pr 4595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {0, 1} = ({0} ∪ {1})
25	24	equncomi 4126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0, 1} = ({1} ∪ {0})
26	23, 25	sseqtri 3998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ({1} ∪ {0})
27		ssdif 4110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ({1} ∪ {0}) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (({1} ∪ {0}) ∖ {0})
29		difun2 4447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}) = ({1} ∖ {0})
30		difss 4102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({1} ∖ {0}) ⊆ {1}
31	29, 30	eqsstri 3996	. . . . . . . . 9 ⊢ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}) ⊆ {1}
32	28, 31	sstri 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1}
33	32	sseli 3945	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 ∈ {1})
34		elsni 4609	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 = 1)
36	35	sneqd 4604	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → {𝑦} = {1})
37	36	imaeq2d 6034	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → (◡𝐹 “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ {1}))
38	2	simpri 485	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
39	38	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
40	37, 39	sylan9eqr 2787	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) = 𝐴)
41		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ dom vol)
42	40, 41	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
43	40	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) = (vol‘𝐴))
44		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
45	43, 44	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
46	10, 22, 42, 45	i1fd 25589	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   ⊆ wss 3917  ifcif 4491  {csn 4592  {cpr 4594   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5640  dom cdm 5641  ran crn 5642   “ cima 5644  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  Fincfn 8921  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  volcvol 25371  ∫₁citg1 25523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xadd 13080  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-xmet 21264  df-met 21265  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-mbf 25527  df-itg1 25528

This theorem is referenced by:  itg11  25599  itg2const  25648  itg2addnclem  37672