Theorem i1f1 25638

Description: Base case simple functions are indicator functions of measurable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1f1.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
i1f1	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem i1f1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1f1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))
2	1	i1f1lem 25637	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴))
3	2	simpli 483	. . . 4 ⊢ 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
4		0re 11125	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11123	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		prssi 4774	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {0, 1} ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . . 4 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
8		fss 6675	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ {0, 1} ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
9	3, 7, 8	mp2an 692	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ⟶ℝ
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
11		prfi 9219	. . 3 ⊢ {0, 1} ∈ Fin
12		1ex 11119	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
13	12	prid2 4717	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
14		c0ex 11117	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
15	14	prid1 4716	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
16	13, 15	ifcli 4524	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
18	17, 1	fmptd 7056	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶{0, 1})
19		frn 6666	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
21		ssfi 9093	. . 3 ⊢ (({0, 1} ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}) → ran 𝐹 ∈ Fin)
22	11, 20, 21	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → ran 𝐹 ∈ Fin)
23	3, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}
24		df-pr 4580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {0, 1} = ({0} ∪ {1})
25	24	equncomi 4109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0, 1} = ({1} ∪ {0})
26	23, 25	sseqtri 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ({1} ∪ {0})
27		ssdif 4093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ({1} ∪ {0}) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (({1} ∪ {0}) ∖ {0})
29		difun2 4430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}) = ({1} ∖ {0})
30		difss 4085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({1} ∖ {0}) ⊆ {1}
31	29, 30	eqsstri 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}) ⊆ {1}
32	28, 31	sstri 3940	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1}
33	32	sseli 3926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 ∈ {1})
34		elsni 4594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 = 1)
36	35	sneqd 4589	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → {𝑦} = {1})
37	36	imaeq2d 6016	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → (◡𝐹 “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ {1}))
38	2	simpri 485	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
39	38	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
40	37, 39	sylan9eqr 2790	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) = 𝐴)
41		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ dom vol)
42	40, 41	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
43	40	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) = (vol‘𝐴))
44		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
45	43, 44	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
46	10, 22, 42, 45	i1fd 25629	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  ifcif 4476  {csn 4577  {cpr 4579   ↦ cmpt 5176  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621  ran crn 5622   “ cima 5624  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  Fincfn 8879  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018  volcvol 25411  ∫₁citg1 25563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-dju 9805  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xadd 13018  df-ioo 13256  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-clim 15402  df-sum 15601  df-xmet 21293  df-met 21294  df-ovol 25412  df-vol 25413  df-mbf 25567  df-itg1 25568

This theorem is referenced by:  itg11  25639  itg2const  25688  itg2addnclem  37784