Theorem i1f1 25740

Description: Base case simple functions are indicator functions of measurable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1f1.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
i1f1	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem i1f1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1f1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))
2	1	i1f1lem 25739	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴))
3	2	simpli 487	. . . 4 ⊢ 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
4		0re 11177	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11175	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		prssi 4776	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {0, 1} ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 702	. . . 4 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
8		fss 6703	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ {0, 1} ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
9	3, 7, 8	mp2an 702	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ⟶ℝ
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
11		prfi 9262	. . 3 ⊢ {0, 1} ∈ Fin
12		1ex 11170	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
13	12	prid2 4719	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
14		c0ex 11167	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
15	14	prid1 4718	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
16	13, 15	ifcli 4525	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
18	17, 1	fmptd 7090	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶{0, 1})
19		frn 6694	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
21		ssfi 9135	. . 3 ⊢ (({0, 1} ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}) → ran 𝐹 ∈ Fin)
22	11, 20, 21	sylancr 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → ran 𝐹 ∈ Fin)
23	3, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}
24		df-pr 4582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {0, 1} = ({0} ∪ {1})
25	24	equncomi 4111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0, 1} = ({1} ∪ {0})
26	23, 25	sseqtri 3982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ({1} ∪ {0})
27		ssdif 4095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ({1} ∪ {0}) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (({1} ∪ {0}) ∖ {0})
29		difun2 4432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}) = ({1} ∖ {0})
30		difss 4087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({1} ∖ {0}) ⊆ {1}
31	29, 30	eqsstri 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}) ⊆ {1}
32	28, 31	sstri 3943	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1}
33	32	sseli 3930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 ∈ {1})
34		elsni 4596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 = 1)
36	35	sneqd 4591	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → {𝑦} = {1})
37	36	imaeq2d 6045	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → (◡𝐹 “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ {1}))
38	2	simpri 489	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
39	38	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
40	37, 39	sylan9eqr 2818	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) = 𝐴)
41		simpll 776	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ dom vol)
42	40, 41	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
43	40	fveq2d 6866	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) = (vol‘𝐴))
44		simplr 778	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
45	43, 44	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
46	10, 22, 42, 45	i1fd 25731	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  ifcif 4477  {csn 4579  {cpr 4581   ↦ cmpt 5178  ^◡ccnv 5642  dom cdm 5643  ran crn 5644   “ cima 5646  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  Fincfn 8921  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068  volcvol 25513  ∫₁citg1 25665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-dju 9853  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xadd 13109  df-ioo 13347  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14338  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15506  df-sum 15705  df-xmet 21405  df-met 21406  df-ovol 25514  df-vol 25515  df-mbf 25669  df-itg1 25670

This theorem is referenced by:  itg11  25741  itg2const  25790  itg2addnclem  38131