MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem i1f1 25452
Description: Base case simple functions are indicator functions of measurable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1, 0))
Assertion
Ref Expression
i1f1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem i1f1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1f1.1 . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1, 0))
21i1f1lem 25451 . . . . 5 (𝐹:β„βŸΆ{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {1}) = 𝐴))
32simpli 483 . . . 4 𝐹:β„βŸΆ{0, 1}
4 0re 11223 . . . . 5 0 ∈ ℝ
5 1re 11221 . . . . 5 1 ∈ ℝ
6 prssi 4824 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ {0, 1} βŠ† ℝ)
74, 5, 6mp2an 689 . . . 4 {0, 1} βŠ† ℝ
8 fss 6734 . . . 4 ((𝐹:β„βŸΆ{0, 1} ∧ {0, 1} βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
93, 7, 8mp2an 689 . . 3 𝐹:β„βŸΆβ„
109a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
11 prfi 9328 . . 3 {0, 1} ∈ Fin
12 1ex 11217 . . . . . . . 8 1 ∈ V
1312prid2 4767 . . . . . . 7 1 ∈ {0, 1}
14 c0ex 11215 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1514prid1 4766 . . . . . . 7 0 ∈ {0, 1}
1613, 15ifcli 4575 . . . . . 6 if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
1716a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
1817, 1fmptd 7115 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆ{0, 1})
19 frn 6724 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆ{0, 1} β†’ ran 𝐹 βŠ† {0, 1})
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ ran 𝐹 βŠ† {0, 1})
21 ssfi 9179 . . 3 (({0, 1} ∈ Fin ∧ ran 𝐹 βŠ† {0, 1}) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
2211, 20, 21sylancr 586 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
233, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran 𝐹 βŠ† {0, 1}
24 df-pr 4631 . . . . . . . . . . . 12 {0, 1} = ({0} βˆͺ {1})
2524equncomi 4155 . . . . . . . . . . 11 {0, 1} = ({1} βˆͺ {0})
2623, 25sseqtri 4018 . . . . . . . . . 10 ran 𝐹 βŠ† ({1} βˆͺ {0})
27 ssdif 4139 . . . . . . . . . 10 (ran 𝐹 βŠ† ({1} βˆͺ {0}) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† (({1} βˆͺ {0}) βˆ– {0}))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† (({1} βˆͺ {0}) βˆ– {0})
29 difun2 4480 . . . . . . . . . 10 (({1} βˆͺ {0}) βˆ– {0}) = ({1} βˆ– {0})
30 difss 4131 . . . . . . . . . 10 ({1} βˆ– {0}) βŠ† {1}
3129, 30eqsstri 4016 . . . . . . . . 9 (({1} βˆͺ {0}) βˆ– {0}) βŠ† {1}
3228, 31sstri 3991 . . . . . . . 8 (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† {1}
3332sseli 3978 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) β†’ 𝑦 ∈ {1})
34 elsni 4645 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {1} β†’ 𝑦 = 1)
3533, 34syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) β†’ 𝑦 = 1)
3635sneqd 4640 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) β†’ {𝑦} = {1})
3736imaeq2d 6059 . . . 4 (𝑦 ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) = (◑𝐹 β€œ {1}))
382simpri 485 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {1}) = 𝐴)
3938adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ {1}) = 𝐴)
4037, 39sylan9eqr 2793 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) = 𝐴)
41 simpll 764 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
4240, 41eqeltrd 2832 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
4340fveq2d 6895 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})) = (volβ€˜π΄))
44 simplr 766 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜π΄) ∈ ℝ)
4543, 44eqeltrd 2832 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
4610, 22, 42, 45i1fd 25443 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  Fincfn 8945  β„cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117  volcvol 25225  βˆ«1citg1 25377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xadd 13100  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-xmet 21141  df-met 21142  df-ovol 25226  df-vol 25227  df-mbf 25381  df-itg1 25382
This theorem is referenced by:  itg11  25453  itg2const  25503  itg2addnclem  36855
  Copyright terms: Public domain W3C validator