Theorem i1f1 25721

Description: Base case simple functions are indicator functions of measurable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1f1.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
i1f1	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem i1f1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1f1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))
2	1	i1f1lem 25720	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴))
3	2	simpli 486	. . . 4 ⊢ 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
4		0re 11169	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11167	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		prssi 4769	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {0, 1} ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 700	. . . 4 ⊢ {0, 1} ⊆ ℝ
8		fss 6693	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ {0, 1} ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
9	3, 7, 8	mp2an 700	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ⟶ℝ
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
11		prfi 9253	. . 3 ⊢ {0, 1} ∈ Fin
12		1ex 11162	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
13	12	prid2 4712	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
14		c0ex 11159	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
15	14	prid1 4711	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
16	13, 15	ifcli 4518	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
18	17, 1	fmptd 7080	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶{0, 1})
19		frn 6684	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
21		ssfi 9126	. . 3 ⊢ (({0, 1} ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}) → ran 𝐹 ∈ Fin)
22	11, 20, 21	sylancr 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → ran 𝐹 ∈ Fin)
23	3, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}
24		df-pr 4575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {0, 1} = ({0} ∪ {1})
25	24	equncomi 4104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0, 1} = ({1} ∪ {0})
26	23, 25	sseqtri 3975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ({1} ∪ {0})
27		ssdif 4088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ({1} ∪ {0}) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (({1} ∪ {0}) ∖ {0})
29		difun2 4425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}) = ({1} ∖ {0})
30		difss 4080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({1} ∖ {0}) ⊆ {1}
31	29, 30	eqsstri 3973	. . . . . . . . 9 ⊢ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}) ⊆ {1}
32	28, 31	sstri 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1}
33	32	sseli 3923	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 ∈ {1})
34		elsni 4589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 = 1)
36	35	sneqd 4584	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → {𝑦} = {1})
37	36	imaeq2d 6035	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → (◡𝐹 “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ {1}))
38	2	simpri 488	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
39	38	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
40	37, 39	sylan9eqr 2809	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) = 𝐴)
41		simpll 774	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ dom vol)
42	40, 41	eqeltrd 2852	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
43	40	fveq2d 6856	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) = (vol‘𝐴))
44		simplr 776	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
45	43, 44	eqeltrd 2852	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
46	10, 22, 42, 45	i1fd 25712	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ∖ cdif 3892   ∪ cun 3893   ⊆ wss 3895  ifcif 4470  {csn 4572  {cpr 4574   ↦ cmpt 5171  ^◡ccnv 5635  dom cdm 5636  ran crn 5637   “ cima 5639  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  Fincfn 8912  ℝcr 11058  0cc0 11059  1c1 11060  volcvol 25494  ∫₁citg1 25646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-inf2 9582  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-map 8794  df-pm 8795  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9444  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-q 12936  df-rp 12980  df-xadd 13101  df-ioo 13339  df-ico 13341  df-icc 13342  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-fl 13788  df-seq 14001  df-exp 14061  df-hash 14330  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-clim 15487  df-sum 15686  df-xmet 21386  df-met 21387  df-ovol 25495  df-vol 25496  df-mbf 25650  df-itg1 25651

This theorem is referenced by:  itg11  25722  itg2const  25771  itg2addnclem  38108