MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1f1 25725
Description: Base case simple functions are indicator functions of measurable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
Assertion
Ref Expression
i1f1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem i1f1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1f1.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
21i1f1lem 25724 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴))
32simpli 483 . . . 4 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
4 0re 11263 . . . . 5 0 ∈ ℝ
5 1re 11261 . . . . 5 1 ∈ ℝ
6 prssi 4821 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {0, 1} ⊆ ℝ)
74, 5, 6mp2an 692 . . . 4 {0, 1} ⊆ ℝ
8 fss 6752 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ {0, 1} ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
93, 7, 8mp2an 692 . . 3 𝐹:ℝ⟶ℝ
109a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
11 prfi 9363 . . 3 {0, 1} ∈ Fin
12 1ex 11257 . . . . . . . 8 1 ∈ V
1312prid2 4763 . . . . . . 7 1 ∈ {0, 1}
14 c0ex 11255 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1514prid1 4762 . . . . . . 7 0 ∈ {0, 1}
1613, 15ifcli 4573 . . . . . 6 if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
1716a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
1817, 1fmptd 7134 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶{0, 1})
19 frn 6743 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
21 ssfi 9213 . . 3 (({0, 1} ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}) → ran 𝐹 ∈ Fin)
2211, 20, 21sylancr 587 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → ran 𝐹 ∈ Fin)
233, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran 𝐹 ⊆ {0, 1}
24 df-pr 4629 . . . . . . . . . . . 12 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
2524equncomi 4160 . . . . . . . . . . 11 {0, 1} = ({1} ∪ {0})
2623, 25sseqtri 4032 . . . . . . . . . 10 ran 𝐹 ⊆ ({1} ∪ {0})
27 ssdif 4144 . . . . . . . . . 10 (ran 𝐹 ⊆ ({1} ∪ {0}) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (({1} ∪ {0}) ∖ {0})
29 difun2 4481 . . . . . . . . . 10 (({1} ∪ {0}) ∖ {0}) = ({1} ∖ {0})
30 difss 4136 . . . . . . . . . 10 ({1} ∖ {0}) ⊆ {1}
3129, 30eqsstri 4030 . . . . . . . . 9 (({1} ∪ {0}) ∖ {0}) ⊆ {1}
3228, 31sstri 3993 . . . . . . . 8 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1}
3332sseli 3979 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 ∈ {1})
34 elsni 4643 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
3533, 34syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 = 1)
3635sneqd 4638 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → {𝑦} = {1})
3736imaeq2d 6078 . . . 4 (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → (𝐹 “ {𝑦}) = (𝐹 “ {1}))
382simpri 485 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴)
3938adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹 “ {1}) = 𝐴)
4037, 39sylan9eqr 2799 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑦}) = 𝐴)
41 simpll 767 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ dom vol)
4240, 41eqeltrd 2841 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
4340fveq2d 6910 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑦})) = (vol‘𝐴))
44 simplr 769 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
4543, 44eqeltrd 2841 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
4610, 22, 42, 45i1fd 25716 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628  cmpt 5225  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  Fincfn 8985  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  volcvol 25498  1citg1 25650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655
This theorem is referenced by:  itg11  25726  itg2const  25775  itg2addnclem  37678
  Copyright terms: Public domain W3C validator