MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1f1 23894
Description: Base case simple functions are indicator functions of measurable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
Assertion
Ref Expression
i1f1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem i1f1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1f1.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
21i1f1lem 23893 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴))
32simpli 478 . . . 4 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
4 0re 10378 . . . . 5 0 ∈ ℝ
5 1re 10376 . . . . 5 1 ∈ ℝ
6 prssi 4583 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {0, 1} ⊆ ℝ)
74, 5, 6mp2an 682 . . . 4 {0, 1} ⊆ ℝ
8 fss 6304 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ {0, 1} ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
93, 7, 8mp2an 682 . . 3 𝐹:ℝ⟶ℝ
109a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
11 prfi 8523 . . 3 {0, 1} ∈ Fin
12 1ex 10372 . . . . . . . 8 1 ∈ V
1312prid2 4529 . . . . . . 7 1 ∈ {0, 1}
14 c0ex 10370 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1514prid1 4528 . . . . . . 7 0 ∈ {0, 1}
1613, 15ifcli 4352 . . . . . 6 if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
1716a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
1817, 1fmptd 6648 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶{0, 1})
19 frn 6297 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
21 ssfi 8468 . . 3 (({0, 1} ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}) → ran 𝐹 ∈ Fin)
2211, 20, 21sylancr 581 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → ran 𝐹 ∈ Fin)
233, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran 𝐹 ⊆ {0, 1}
24 df-pr 4400 . . . . . . . . . . . 12 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
2524equncomi 3981 . . . . . . . . . . 11 {0, 1} = ({1} ∪ {0})
2623, 25sseqtri 3855 . . . . . . . . . 10 ran 𝐹 ⊆ ({1} ∪ {0})
27 ssdif 3967 . . . . . . . . . 10 (ran 𝐹 ⊆ ({1} ∪ {0}) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (({1} ∪ {0}) ∖ {0})
29 difun2 4271 . . . . . . . . . 10 (({1} ∪ {0}) ∖ {0}) = ({1} ∖ {0})
30 difss 3959 . . . . . . . . . 10 ({1} ∖ {0}) ⊆ {1}
3129, 30eqsstri 3853 . . . . . . . . 9 (({1} ∪ {0}) ∖ {0}) ⊆ {1}
3228, 31sstri 3829 . . . . . . . 8 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1}
3332sseli 3816 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 ∈ {1})
34 elsni 4414 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
3533, 34syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 = 1)
3635sneqd 4409 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → {𝑦} = {1})
3736imaeq2d 5720 . . . 4 (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → (𝐹 “ {𝑦}) = (𝐹 “ {1}))
382simpri 481 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴)
3938adantr 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹 “ {1}) = 𝐴)
4037, 39sylan9eqr 2835 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑦}) = 𝐴)
41 simpll 757 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ dom vol)
4240, 41eqeltrd 2858 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
4340fveq2d 6450 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑦})) = (vol‘𝐴))
44 simplr 759 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
4543, 44eqeltrd 2858 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
4610, 22, 42, 45i1fd 23885 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  cdif 3788  cun 3789  wss 3791  ifcif 4306  {csn 4397  {cpr 4399  cmpt 4965  ccnv 5354  dom cdm 5355  ran crn 5356  cima 5358  wf 6131  cfv 6135  Fincfn 8241  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273  volcvol 23667  1citg1 23819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xadd 12258  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825  df-xmet 20135  df-met 20136  df-ovol 23668  df-vol 23669  df-mbf 23823  df-itg1 23824
This theorem is referenced by:  itg11  23895  itg2const  23944  itg2addnclem  34070
  Copyright terms: Public domain W3C validator