Theorem lcmfpr 16381

Description: The value of the lcm function for an unordered pair is the value of the lcm operator for both elements. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfpr	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘{𝑀, 𝑁}) = (𝑀 lcm 𝑁))

Proof of Theorem lcmfpr

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11019	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2	1	elpr 4588	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (0 = 𝑀 ∨ 0 = 𝑁))
3		eqcom 2743	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑀 ↔ 𝑀 = 0)
4		eqcom 2743	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 ↔ 𝑁 = 0)
5	3, 4	orbi12i 913	. . . . 5 ⊢ ((0 = 𝑀 ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
6	2, 5	bitri 275	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))
8		breq1 5084	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 ∥ 𝑛 ↔ 𝑀 ∥ 𝑛))
9		breq1 5084	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∥ 𝑛 ↔ 𝑁 ∥ 𝑛))
10	8, 9	ralprg 4634	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛 ↔ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)))
11	10	rabbidv 3421	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)})
12	11	infeq1d 9284	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ))
13	7, 12	ifbieq2d 4491	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if(0 ∈ {𝑀, 𝑁}, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )) = if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
14		prssi 4760	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ)
15		prfi 9137	. . 3 ⊢ {𝑀, 𝑁} ∈ Fin
16		lcmfval 16375	. . 3 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ Fin) → (lcm‘{𝑀, 𝑁}) = if(0 ∈ {𝑀, 𝑁}, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )))
17	14, 15, 16	sylancl 587	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘{𝑀, 𝑁}) = if(0 ∈ {𝑀, 𝑁}, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )))
18		lcmval 16346	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
19	13, 17, 18	3eqtr4d 2786	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘{𝑀, 𝑁}) = (𝑀 lcm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 845   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062  {crab 3303   ⊆ wss 3892  ifcif 4465  {cpr 4567   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Fincfn 8764  infcinf 9248  ℝcr 10920  0cc0 10921   < clt 11059  ℕcn 12023  ℤcz 12369   ∥ cdvds 16012   lcm clcm 16342  lcmclcmf 16343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9447  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9249  df-inf 9250  df-oi 9317  df-card 9745  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-rp 12781  df-fz 13290  df-fzo 13433  df-seq 13772  df-exp 13833  df-hash 14095  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-clim 15246  df-prod 15665  df-dvds 16013  df-lcm 16344  df-lcmf 16345

This theorem is referenced by:  lcmfsn  16389