Theorem lcmfpr 16533

Description: The value of the lcm function for an unordered pair is the value of the lcm operator for both elements. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfpr	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘{𝑀, 𝑁}) = (𝑀 lcm 𝑁))

Proof of Theorem lcmfpr

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11101	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2	1	elpr 4596	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (0 = 𝑀 ∨ 0 = 𝑁))
3		eqcom 2738	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑀 ↔ 𝑀 = 0)
4		eqcom 2738	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 ↔ 𝑁 = 0)
5	3, 4	orbi12i 914	. . . . 5 ⊢ ((0 = 𝑀 ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
6	2, 5	bitri 275	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))
8		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 ∥ 𝑛 ↔ 𝑀 ∥ 𝑛))
9		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∥ 𝑛 ↔ 𝑁 ∥ 𝑛))
10	8, 9	ralprg 4644	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛 ↔ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)))
11	10	rabbidv 3402	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)})
12	11	infeq1d 9357	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ))
13	7, 12	ifbieq2d 4497	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if(0 ∈ {𝑀, 𝑁}, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )) = if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
14		prssi 4768	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ)
15		prfi 9203	. . 3 ⊢ {𝑀, 𝑁} ∈ Fin
16		lcmfval 16527	. . 3 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ Fin) → (lcm‘{𝑀, 𝑁}) = if(0 ∈ {𝑀, 𝑁}, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )))
17	14, 15, 16	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘{𝑀, 𝑁}) = if(0 ∈ {𝑀, 𝑁}, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )))
18		lcmval 16498	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
19	13, 17, 18	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘{𝑀, 𝑁}) = (𝑀 lcm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395   ⊆ wss 3897  ifcif 4470  {cpr 4573   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  infcinf 9320  ℝcr 11000  0cc0 11001   < clt 11141  ℕcn 12120  ℤcz 12463   ∥ cdvds 16158   lcm clcm 16494  lcmclcmf 16495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-prod 15806  df-dvds 16159  df-lcm 16496  df-lcmf 16497

This theorem is referenced by:  lcmfsn  16541