Theorem lcmfpr 16665

Description: The value of the lcm function for an unordered pair is the value of the lcm operator for both elements. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfpr	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘{𝑀, 𝑁}) = (𝑀 lcm 𝑁))

Proof of Theorem lcmfpr

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11256	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2	1	elpr 4649	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (0 = 𝑀 ∨ 0 = 𝑁))
3		eqcom 2743	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑀 ↔ 𝑀 = 0)
4		eqcom 2743	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 ↔ 𝑁 = 0)
5	3, 4	orbi12i 914	. . . . 5 ⊢ ((0 = 𝑀 ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
6	2, 5	bitri 275	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))
8		breq1 5145	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 ∥ 𝑛 ↔ 𝑀 ∥ 𝑛))
9		breq1 5145	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∥ 𝑛 ↔ 𝑁 ∥ 𝑛))
10	8, 9	ralprg 4695	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛 ↔ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)))
11	10	rabbidv 3443	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)})
12	11	infeq1d 9518	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ))
13	7, 12	ifbieq2d 4551	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if(0 ∈ {𝑀, 𝑁}, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )) = if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
14		prssi 4820	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ)
15		prfi 9364	. . 3 ⊢ {𝑀, 𝑁} ∈ Fin
16		lcmfval 16659	. . 3 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ Fin) → (lcm‘{𝑀, 𝑁}) = if(0 ∈ {𝑀, 𝑁}, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )))
17	14, 15, 16	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘{𝑀, 𝑁}) = if(0 ∈ {𝑀, 𝑁}, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )))
18		lcmval 16630	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
19	13, 17, 18	3eqtr4d 2786	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘{𝑀, 𝑁}) = (𝑀 lcm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  {crab 3435   ⊆ wss 3950  ifcif 4524  {cpr 4627   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  infcinf 9482  ℝcr 11155  0cc0 11156   < clt 11296  ℕcn 12267  ℤcz 12615   ∥ cdvds 16291   lcm clcm 16626  lcmclcmf 16627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-prod 15941  df-dvds 16292  df-lcm 16628  df-lcmf 16629

This theorem is referenced by:  lcmfsn  16673