Theorem lcmfpr 16604

Description: The value of the lcm function for an unordered pair is the value of the lcm operator for both elements. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfpr	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘{𝑀, 𝑁}) = (𝑀 lcm 𝑁))

Proof of Theorem lcmfpr

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11175	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2	1	elpr 4617	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (0 = 𝑀 ∨ 0 = 𝑁))
3		eqcom 2737	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑀 ↔ 𝑀 = 0)
4		eqcom 2737	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 ↔ 𝑁 = 0)
5	3, 4	orbi12i 914	. . . . 5 ⊢ ((0 = 𝑀 ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
6	2, 5	bitri 275	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))
8		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 ∥ 𝑛 ↔ 𝑀 ∥ 𝑛))
9		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∥ 𝑛 ↔ 𝑁 ∥ 𝑛))
10	8, 9	ralprg 4663	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛 ↔ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)))
11	10	rabbidv 3416	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)})
12	11	infeq1d 9436	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ))
13	7, 12	ifbieq2d 4518	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if(0 ∈ {𝑀, 𝑁}, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )) = if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
14		prssi 4788	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ)
15		prfi 9281	. . 3 ⊢ {𝑀, 𝑁} ∈ Fin
16		lcmfval 16598	. . 3 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ Fin) → (lcm‘{𝑀, 𝑁}) = if(0 ∈ {𝑀, 𝑁}, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )))
17	14, 15, 16	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘{𝑀, 𝑁}) = if(0 ∈ {𝑀, 𝑁}, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )))
18		lcmval 16569	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
19	13, 17, 18	3eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (lcm‘{𝑀, 𝑁}) = (𝑀 lcm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  {crab 3408   ⊆ wss 3917  ifcif 4491  {cpr 4594   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  infcinf 9399  ℝcr 11074  0cc0 11075   < clt 11215  ℕcn 12193  ℤcz 12536   ∥ cdvds 16229   lcm clcm 16565  lcmclcmf 16566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-prod 15877  df-dvds 16230  df-lcm 16567  df-lcmf 16568

This theorem is referenced by:  lcmfsn  16612