Theorem prlngeq 29244

Description: Playfair's axiom, written as an equality: if two different lines are parallel to a given line at a given point, they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlngeq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
prlngeq.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngeq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngeq.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
prlngeq.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlngeq.c	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)
prlngeq.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prlngeq.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
prlngeq	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem prlngeq

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prlngeq.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2766	. . 3 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
3		prlngeq.r	. . 3 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
4		prlngeq.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		prlngeq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
6	2, 3, 4, 5	prlngrcl1 29229	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
7		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
8	2, 3, 4, 5	prlngrcl2 29230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran (LineG‘𝐺))
9		prlngeq.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	1, 2, 7, 4, 8, 9	tglnpt 28855	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		prlngeq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
12	1, 2, 3, 4, 6, 10, 11	prlngmo2 29243	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑏 ∈ ran (LineG‘𝐺)(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
13	5, 9	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14		prlngeq.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)
15	2, 3, 4, 14	prlngrcl2 29230	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
16		prlngeq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
17	14, 16	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶))
18		breq2 5118	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 ∥ 𝑏 ↔ 𝐴 ∥ 𝐵))
19		eleq2 2855	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
20	18, 19	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ↔ (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
21		breq2 5118	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → (𝐴 ∥ 𝑏 ↔ 𝐴 ∥ 𝐶))
22		eleq2 2855	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ 𝐶))
23	21, 22	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ↔ (𝐴 ∥ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)))
24	20, 23	rmoi 3847	. 2 ⊢ ((∃*𝑏 ∈ ran (LineG‘𝐺)(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ (𝐵 ∈ ran (LineG‘𝐺) ∧ (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺) ∧ (𝐴 ∥ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶))) → 𝐵 = 𝐶)
25	12, 8, 13, 15, 17, 24	syl122anc 1406	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃*wrmo 3371   class class class wbr 5114  ran crn 5667  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  TarskiGcstrkg 28733  TarskiG_Ecstrkge 28738  Itvcitv 28739  LineGclng 28740  parlnGcprlng 29223

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-s3 14912  df-trkgc 28754  df-trkgb 28755  df-trkgcb 28756  df-trkge 28757  df-trkgld 28758  df-trkg 28759  df-cgrg 28817  df-leg 28889  df-hlg 28907  df-mir 28967  df-rag 29011  df-perpg 29013  df-hpg 29077  df-plng 29093  df-prlng 29224

This theorem is used by:  prlngsymquadlem  29250  prlngsymquadopp  29252  quadcgrprlng  29253