Theorem prlngeq 29440

Description: Playfair's axiom, written as an equality: if two different lines are parallel to a given line at a given point, they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlngeq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
prlngeq.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngeq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngeq.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
prlngeq.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlngeq.c	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)
prlngeq.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prlngeq.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
prlngeq	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem prlngeq

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prlngeq.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
3		prlngeq.r	. . 3 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
4		prlngeq.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		prlngeq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
6	2, 3, 4, 5	prlngrcl1 29425	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
8	2, 3, 4, 5	prlngrcl2 29426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran (LineG‘𝐺))
9		prlngeq.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	1, 2, 7, 4, 8, 9	tglnpt 29017	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		prlngeq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
12	1, 2, 3, 4, 6, 10, 11	prlngmo2 29439	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑏 ∈ ran (LineG‘𝐺)(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
13	5, 9	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14		prlngeq.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)
15	2, 3, 4, 14	prlngrcl2 29426	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
16		prlngeq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
17	14, 16	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶))
18		breq2 5106	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 ∥ 𝑏 ↔ 𝐴 ∥ 𝐵))
19		eleq2 2849	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
20	18, 19	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ↔ (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
21		breq2 5106	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → (𝐴 ∥ 𝑏 ↔ 𝐴 ∥ 𝐶))
22		eleq2 2849	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ 𝐶))
23	21, 22	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ↔ (𝐴 ∥ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)))
24	20, 23	rmoi 3837	. 2 ⊢ ((∃*𝑏 ∈ ran (LineG‘𝐺)(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ (𝐵 ∈ ran (LineG‘𝐺) ∧ (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺) ∧ (𝐴 ∥ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶))) → 𝐵 = 𝐶)
25	12, 8, 13, 15, 17, 24	syl122anc 1406	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃*wrmo 3364   class class class wbr 5102  ran crn 5651  ‘cfv 6538  Basecbs 17392  TarskiGcstrkg 28894  TarskiG_Ecstrkge 28899  Itvcitv 28900  LineGclng 28901  parlnGcprlng 29419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-s1 14746  df-s2 15003  df-s3 15004  df-trkgc 28915  df-trkgb 28916  df-trkgcb 28917  df-trkge 28918  df-trkgld 28919  df-trkg 28920  df-cgrg 28979  df-leg 29051  df-hlg 29069  df-mir 29130  df-rag 29174  df-perpg 29176  df-hpg 29241  df-plng 29257  df-prlng 29420

This theorem is used by:  prlngsymquadlem  29446  prlngsymquadopp  29448  quadcgrprlng  29449