Theorem prlngeq 29465

Description: Playfair's axiom, written as an equality: if two different lines are parallel to a given line at a given point, they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlngeq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
prlngeq.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngeq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngeq.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
prlngeq.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlngeq.c	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)
prlngeq.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prlngeq.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
prlngeq	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem prlngeq

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prlngeq.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
3		prlngeq.r	. . 3 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
4		prlngeq.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		prlngeq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
6	2, 3, 4, 5	prlngrcl1 29450	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
8	2, 3, 4, 5	prlngrcl2 29451	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran (LineG‘𝐺))
9		prlngeq.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	1, 2, 7, 4, 8, 9	tglnpt 29042	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		prlngeq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
12	1, 2, 3, 4, 6, 10, 11	prlngmo2 29464	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑏 ∈ ran (LineG‘𝐺)(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
13	5, 9	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14		prlngeq.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)
15	2, 3, 4, 14	prlngrcl2 29451	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
16		prlngeq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
17	14, 16	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶))
18		breq2 5110	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 ∥ 𝑏 ↔ 𝐴 ∥ 𝐵))
19		eleq2 2853	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
20	18, 19	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ↔ (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
21		breq2 5110	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → (𝐴 ∥ 𝑏 ↔ 𝐴 ∥ 𝐶))
22		eleq2 2853	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ 𝐶))
23	21, 22	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ↔ (𝐴 ∥ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)))
24	20, 23	rmoi 3842	. 2 ⊢ ((∃*𝑏 ∈ ran (LineG‘𝐺)(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ (𝐵 ∈ ran (LineG‘𝐺) ∧ (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺) ∧ (𝐴 ∥ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶))) → 𝐵 = 𝐶)
25	12, 8, 13, 15, 17, 24	syl122anc 1407	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃*wrmo 3368   class class class wbr 5106  ran crn 5656  ‘cfv 6558  Basecbs 17416  TarskiGcstrkg 28919  TarskiG_Ecstrkge 28924  Itvcitv 28925  LineGclng 28926  parlnGcprlng 29444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-trkgc 28940  df-trkgb 28941  df-trkgcb 28942  df-trkge 28943  df-trkgld 28944  df-trkg 28945  df-cgrg 29004  df-leg 29076  df-hlg 29094  df-mir 29155  df-rag 29199  df-perpg 29201  df-hpg 29266  df-plng 29282  df-prlng 29445

This theorem is used by:  prlngsymquadlem  29471  prlngsymquadopp  29473  quadcgrprlng  29474