Theorem prlngeq 29435

Description: Playfair's axiom, written as an equality: if two different lines are parallel to a given line at a given point, they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlngeq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
prlngeq.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngeq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngeq.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
prlngeq.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlngeq.c	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)
prlngeq.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prlngeq.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
prlngeq	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem prlngeq

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prlngeq.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
3		prlngeq.r	. . 3 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
4		prlngeq.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		prlngeq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
6	2, 3, 4, 5	prlngrcl1 29420	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
8	2, 3, 4, 5	prlngrcl2 29421	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran (LineG‘𝐺))
9		prlngeq.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	1, 2, 7, 4, 8, 9	tglnpt 29012	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		prlngeq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
12	1, 2, 3, 4, 6, 10, 11	prlngmo2 29434	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑏 ∈ ran (LineG‘𝐺)(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
13	5, 9	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14		prlngeq.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)
15	2, 3, 4, 14	prlngrcl2 29421	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺))
16		prlngeq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
17	14, 16	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶))
18		breq2 5106	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 ∥ 𝑏 ↔ 𝐴 ∥ 𝐵))
19		eleq2 2849	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
20	18, 19	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ↔ (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
21		breq2 5106	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → (𝐴 ∥ 𝑏 ↔ 𝐴 ∥ 𝐶))
22		eleq2 2849	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ 𝐶))
23	21, 22	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ↔ (𝐴 ∥ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)))
24	20, 23	rmoi 3837	. 2 ⊢ ((∃*𝑏 ∈ ran (LineG‘𝐺)(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ (𝐵 ∈ ran (LineG‘𝐺) ∧ (𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ran (LineG‘𝐺) ∧ (𝐴 ∥ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶))) → 𝐵 = 𝐶)
25	12, 8, 13, 15, 17, 24	syl122anc 1406	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃*wrmo 3364   class class class wbr 5102  ran crn 5651  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  TarskiGcstrkg 28889  TarskiG_Ecstrkge 28894  Itvcitv 28895  LineGclng 28896  parlnGcprlng 29414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkge 28913  df-trkgld 28914  df-trkg 28915  df-cgrg 28974  df-leg 29046  df-hlg 29064  df-mir 29125  df-rag 29169  df-perpg 29171  df-hpg 29236  df-plng 29252  df-prlng 29415

This theorem is used by:  prlngsymquadlem  29441  prlngsymquadopp  29443  quadcgrprlng  29444