Theorem prlngpln4 29184

Description: Building a parallel line conserves planes, i.e. given a line 𝐴 and a point 𝑋 not on 𝐴, the (unique) parallel 𝐵 to 𝐴 through 𝑋 lies completely within the plane defined by 𝐴 and 𝑋. Theorem 12.14 of [Schwabhauser] p. 124. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlngpln4.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
prlngpln4.p	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngpln4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngpln4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
prlngpln4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
prlngpln4.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlngpln4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
prlngpln4.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prlngpln4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐻)

Proof of Theorem prlngpln4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
2		prlngpln4.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
3	2	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
4	1, 3	eqsstrrd 3980	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐻)
5		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
6		prlngpln4.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
7		prlngpln4.p	. . . 4 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
8		prlngpln4.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		prlngpln4.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
11	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵)
12		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
13		prlngpln4.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	5, 6, 7, 9, 11, 12, 14	prlngpln3 29176	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))
16		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
17		prlngpln4.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
18	17	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
19	5, 7, 8, 10	prlngrcl1 29169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
20	19	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
21		prlngpln4.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
22	21	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐻)
23	5, 7, 9, 11, 12	prlngin0 29171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
24	23	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
25		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
26	13	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27	25, 26	elind 4161	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
28	27	ne0d 4303	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
29	28	neneqd 2970	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
30	24, 29	pm2.65da 828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
31	22, 30	eldifd 3924	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
32	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
33	16, 5, 6, 9, 18, 20, 31, 32	plng3p 29057	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑋))
34	15, 33	sseqtrrd 3982	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐻)
35	4, 34	pm2.61dane 3052	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294   class class class wbr 5114  ran crn 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  TarskiGcstrkg 28676  LineGclng 28683  hlGcplng 29033  parlnGcprlng 29163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-oadd 8460  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-dju 9890  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-hash 14370  df-word 14554  df-concat 14611  df-s1 14637  df-s2 14888  df-s3 14889  df-trkgc 28697  df-trkgb 28698  df-trkgcb 28699  df-trkgld 28701  df-trkg 28702  df-cgrg 28760  df-leg 28832  df-hlg 28850  df-mir 28910  df-rag 28953  df-perpg 28955  df-hpg 29019  df-plng 29034  df-prlng 29164

This theorem is referenced by: (None)