Theorem prlngpln4 29301

Description: Building a parallel line conserves planes, i.e. given a line 𝐴 and a point 𝑋 not on 𝐴, the (unique) parallel 𝐵 to 𝐴 through 𝑋 lies completely within the plane defined by 𝐴 and 𝑋. Theorem 12.14 of [Schwabhauser] p. 124. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlngpln4.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
prlngpln4.p	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngpln4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngpln4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
prlngpln4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
prlngpln4.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlngpln4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
prlngpln4.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prlngpln4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐻)

Proof of Theorem prlngpln4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
2		prlngpln4.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
4	1, 3	eqsstrrd 3969	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐻)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
6		prlngpln4.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
7		prlngpln4.p	. . . 4 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
8		prlngpln4.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		prlngpln4.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵)
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
13		prlngpln4.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	5, 6, 7, 9, 11, 12, 14	prlngpln3 29292	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))
16		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
17		prlngpln4.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
18	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
19	5, 7, 8, 10	prlngrcl1 29285	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
21		prlngpln4.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
22	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐻)
23	5, 7, 9, 11, 12	prlngin0 29287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
24	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
25		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
26	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27	25, 26	elind 4149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
28	27	ne0d 4291	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
29	28	neneqd 2962	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
30	24, 29	pm2.65da 829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
31	22, 30	eldifd 3913	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
32	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
33	16, 5, 6, 9, 18, 20, 31, 32	plng3p 29152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑋))
34	15, 33	sseqtrrd 3971	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐻)
35	4, 34	pm2.61dane 3044	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  TarskiGcstrkg 28766  LineGclng 28773  hlGcplng 29128  parlnGcprlng 29279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-trkgc 28787  df-trkgb 28788  df-trkgcb 28789  df-trkgld 28791  df-trkg 28792  df-cgrg 28851  df-leg 28923  df-hlg 28941  df-mir 29002  df-rag 29046  df-perpg 29048  df-hpg 29113  df-plng 29129  df-prlng 29280

This theorem is used by: (None)