Theorem prlngpln4 29369

Description: Building a parallel line conserves planes, i.e. given a line 𝐴 and a point 𝑋 not on 𝐴, the (unique) parallel 𝐵 to 𝐴 through 𝑋 lies completely within the plane defined by 𝐴 and 𝑋. Theorem 12.14 of [Schwabhauser] p. 124. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlngpln4.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
prlngpln4.p	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngpln4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngpln4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
prlngpln4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
prlngpln4.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlngpln4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
prlngpln4.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prlngpln4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐻)

Proof of Theorem prlngpln4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
2		prlngpln4.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
4	1, 3	eqsstrrd 3965	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐻)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
6		prlngpln4.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
7		prlngpln4.p	. . . 4 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
8		prlngpln4.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		prlngpln4.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵)
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
13		prlngpln4.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	5, 6, 7, 9, 11, 12, 14	prlngpln3 29360	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))
16		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
17		prlngpln4.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
18	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
19	5, 7, 8, 10	prlngrcl1 29353	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ran (LineG‘𝐺))
21		prlngpln4.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
22	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐻)
23	5, 7, 9, 11, 12	prlngin0 29355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
24	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
25		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
26	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27	25, 26	elind 4145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
28	27	ne0d 4287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
29	28	neneqd 2960	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
30	24, 29	pm2.65da 829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
31	22, 30	eldifd 3909	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
32	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
33	16, 5, 6, 9, 18, 20, 31, 32	plng3p 29208	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑋))
34	15, 33	sseqtrrd 3967	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐻)
35	4, 34	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ran crn 5648  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  TarskiGcstrkg 28822  LineGclng 28829  hlGcplng 29184  parlnGcprlng 29347

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-hash 14442  df-word 14626  df-concat 14683  df-s1 14710  df-s2 14966  df-s3 14967  df-trkgc 28843  df-trkgb 28844  df-trkgcb 28845  df-trkgld 28847  df-trkg 28848  df-cgrg 28907  df-leg 28979  df-hlg 28997  df-mir 29058  df-rag 29102  df-perpg 29104  df-hpg 29169  df-plng 29185  df-prlng 29348

This theorem is used by: (None)