Theorem prlngmo2 29183

Description: Playfair's axiom, without the restriction that the point 𝑋 is outside of the line 𝐴. Theorem 12.11 of [Schwabhauser] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlngmo2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
prlngmo2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
prlngmo2.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngmo2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngmo2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
prlngmo2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
prlngmo2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)

Assertion

Ref	Expression
prlngmo2	⊢ (𝜑 → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))

Distinct variable groups:   ∥ ,𝑏   𝐴,𝑏   𝐿,𝑏   𝑋,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑏)   𝐺(𝑏)

Proof of Theorem prlngmo2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 = 𝑎 ↔ 𝑏 = 𝐴))
2	1	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎) ↔ ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴)))
3	2	ralbidv 3195	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴)))
4		prlngmo2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
5	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
6		prlngmo2.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		prlngmo2.r	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
8		prlngmo2.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad5antr 746	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		simpllr 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝐴 ∥ 𝑏)
11		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐴)
12	11	neqned 2972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑏 ≠ 𝐴)
13	12	necomd 3020	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝑏)
14	6, 7, 9, 10, 13	prlngin0 29171	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑏) = ∅)
15		simp-5r 797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
16		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑏)
17	15, 16	elind 4161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝑏))
18	17	ne0d 4303	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑏) ≠ ∅)
19	18	neneqd 2970	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → ¬ (𝐴 ∩ 𝑏) = ∅)
20	14, 19	condan 829	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴)
21	20	expl 462	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴))
22	21	ralrimiva 3164	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴))
23	3, 5, 22	rspcedvdw 3592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎))
24		nfv 1942	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏)
25	24	rmo2i 3849	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ran 𝐿∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎) → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
26	23, 25	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
27		prlngmo2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
28	8	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
30		prlngmo2.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
31	30	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
32		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
33	31, 32	eldifd 3924	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
34		prlngmo2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
35	34	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
36	27, 6, 7, 28, 29, 33, 35	prlngmo 29181	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
37	26, 36	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ∀wral 3086  ∃wrex 3096  ∃*wrmo 3375   ∩ cin 3912  ∅c0 4294   class class class wbr 5114  ran crn 5666  ‘cfv 6540  Basecbs 17272  TarskiGcstrkg 28676  TarskiG_Ecstrkge 28681  LineGclng 28683  parlnGcprlng 29163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-oadd 8460  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-dju 9890  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-hash 14370  df-word 14554  df-concat 14611  df-s1 14637  df-s2 14888  df-s3 14889  df-trkgc 28697  df-trkgb 28698  df-trkgcb 28699  df-trkge 28700  df-trkgld 28701  df-trkg 28702  df-cgrg 28760  df-leg 28832  df-hlg 28850  df-mir 28910  df-rag 28953  df-perpg 28955  df-hpg 29019  df-plng 29034  df-prlng 29164

This theorem is referenced by:  prlngplngtr  29185