Theorem prlngmo2 29461

Description: Playfair's axiom, without the restriction that the point 𝑋 is outside of the line 𝐴. Theorem 12.11 of [Schwabhauser] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlngmo2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
prlngmo2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
prlngmo2.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngmo2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngmo2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
prlngmo2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
prlngmo2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)

Assertion

Ref	Expression
prlngmo2	⊢ (𝜑 → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))

Distinct variable groups:   ∥ ,𝑏   𝐴,𝑏   𝐿,𝑏   𝑋,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑏)   𝐺(𝑏)

Proof of Theorem prlngmo2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 = 𝑎 ↔ 𝑏 = 𝐴))
2	1	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎) ↔ ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴)))
3	2	ralbidv 3189	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴)))
4		prlngmo2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
6		prlngmo2.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		prlngmo2.r	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
8		prlngmo2.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad5antr 747	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝐴 ∥ 𝑏)
11		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐴)
12	11	neqned 2966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑏 ≠ 𝐴)
13	12	necomd 3014	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝑏)
14	6, 7, 9, 10, 13	prlngin0 29449	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑏) = ∅)
15		simp-5r 798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
16		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑏)
17	15, 16	elind 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝑏))
18	17	ne0d 4291	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑏) ≠ ∅)
19	18	neneqd 2964	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → ¬ (𝐴 ∩ 𝑏) = ∅)
20	14, 19	condan 830	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴)
21	20	expl 463	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴))
22	21	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴))
23	3, 5, 22	rspcedvdw 3583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎))
24		nfv 1949	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏)
25	24	rmo2i 3839	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ran 𝐿∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎) → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
26	23, 25	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
27		prlngmo2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
28	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
30		prlngmo2.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
32		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
33	31, 32	eldifd 4053	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
34		prlngmo2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
35	34	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
36	27, 6, 7, 28, 29, 33, 35	prlngmo 29459	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
37	26, 36	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ∃*wrmo 3368   ∩ cin 4092  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ran crn 5656  ‘cfv 6555  Basecbs 17413  TarskiGcstrkg 28916  TarskiG_Ecstrkge 28921  LineGclng 28923  parlnGcprlng 29441

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-s1 14767  df-s2 15024  df-s3 15025  df-trkgc 28937  df-trkgb 28938  df-trkgcb 28939  df-trkge 28940  df-trkgld 28941  df-trkg 28942  df-cgrg 29001  df-leg 29073  df-hlg 29091  df-mir 29152  df-rag 29196  df-perpg 29198  df-hpg 29263  df-plng 29279  df-prlng 29442

This theorem is used by:  prlngeq  29462  prlngplngtr  29464