Theorem prlngmo2 29353

Description: Playfair's axiom, without the restriction that the point 𝑋 is outside of the line 𝐴. Theorem 12.11 of [Schwabhauser] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlngmo2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
prlngmo2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
prlngmo2.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngmo2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngmo2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
prlngmo2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
prlngmo2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)

Assertion

Ref	Expression
prlngmo2	⊢ (𝜑 → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))

Distinct variable groups:   ∥ ,𝑏   𝐴,𝑏   𝐿,𝑏   𝑋,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑏)   𝐺(𝑏)

Proof of Theorem prlngmo2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 = 𝑎 ↔ 𝑏 = 𝐴))
2	1	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎) ↔ ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴)))
3	2	ralbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴)))
4		prlngmo2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
6		prlngmo2.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		prlngmo2.r	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
8		prlngmo2.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad5antr 747	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝐴 ∥ 𝑏)
11		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐴)
12	11	neqned 2962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑏 ≠ 𝐴)
13	12	necomd 3010	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝑏)
14	6, 7, 9, 10, 13	prlngin0 29341	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑏) = ∅)
15		simp-5r 798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
16		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑏)
17	15, 16	elind 4146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝑏))
18	17	ne0d 4288	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑏) ≠ ∅)
19	18	neneqd 2960	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → ¬ (𝐴 ∩ 𝑏) = ∅)
20	14, 19	condan 830	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴)
21	20	expl 463	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴))
22	21	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴))
23	3, 5, 22	rspcedvdw 3579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎))
24		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏)
25	24	rmo2i 3835	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ran 𝐿∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎) → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
26	23, 25	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
27		prlngmo2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
28	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
30		prlngmo2.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
32		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
33	31, 32	eldifd 3910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
34		prlngmo2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
35	34	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
36	27, 6, 7, 28, 29, 33, 35	prlngmo 29351	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
37	26, 36	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃*wrmo 3364   ∩ cin 3898  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ran crn 5649  ‘cfv 6528  Basecbs 17334  TarskiGcstrkg 28808  TarskiG_Ecstrkge 28813  LineGclng 28815  parlnGcprlng 29333

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-xnn0 12635  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-hash 14428  df-word 14612  df-concat 14669  df-s1 14696  df-s2 14952  df-s3 14953  df-trkgc 28829  df-trkgb 28830  df-trkgcb 28831  df-trkge 28832  df-trkgld 28833  df-trkg 28834  df-cgrg 28893  df-leg 28965  df-hlg 28983  df-mir 29044  df-rag 29088  df-perpg 29090  df-hpg 29155  df-plng 29171  df-prlng 29334

This theorem is used by:  prlngeq  29354  prlngplngtr  29356