Theorem prlngmo2 29434

Description: Playfair's axiom, without the restriction that the point 𝑋 is outside of the line 𝐴. Theorem 12.11 of [Schwabhauser] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlngmo2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
prlngmo2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
prlngmo2.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngmo2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngmo2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
prlngmo2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
prlngmo2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)

Assertion

Ref	Expression
prlngmo2	⊢ (𝜑 → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))

Distinct variable groups:   ∥ ,𝑏   𝐴,𝑏   𝐿,𝑏   𝑋,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑏)   𝐺(𝑏)

Proof of Theorem prlngmo2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 = 𝑎 ↔ 𝑏 = 𝐴))
2	1	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎) ↔ ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴)))
3	2	ralbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴)))
4		prlngmo2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
6		prlngmo2.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		prlngmo2.r	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
8		prlngmo2.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad5antr 747	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝐴 ∥ 𝑏)
11		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐴)
12	11	neqned 2962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑏 ≠ 𝐴)
13	12	necomd 3010	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝑏)
14	6, 7, 9, 10, 13	prlngin0 29422	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑏) = ∅)
15		simp-5r 798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
16		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑏)
17	15, 16	elind 4097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝑏))
18	17	ne0d 4287	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑏) ≠ ∅)
19	18	neneqd 2960	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → ¬ (𝐴 ∩ 𝑏) = ∅)
20	14, 19	condan 830	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴)
21	20	expl 463	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴))
22	21	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴))
23	3, 5, 22	rspcedvdw 3579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎))
24		nfv 1946	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏)
25	24	rmo2i 3834	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ran 𝐿∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎) → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
26	23, 25	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
27		prlngmo2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
28	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
30		prlngmo2.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
32		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
33	31, 32	eldifd 4050	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
34		prlngmo2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
35	34	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
36	27, 6, 7, 28, 29, 33, 35	prlngmo 29432	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
37	26, 36	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃*wrmo 3364   ∩ cin 4089  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ran crn 5651  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  TarskiGcstrkg 28889  TarskiG_Ecstrkge 28894  LineGclng 28896  parlnGcprlng 29414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkge 28913  df-trkgld 28914  df-trkg 28915  df-cgrg 28974  df-leg 29046  df-hlg 29064  df-mir 29125  df-rag 29169  df-perpg 29171  df-hpg 29236  df-plng 29252  df-prlng 29415

This theorem is used by:  prlngeq  29435  prlngplngtr  29437