Theorem prlngmo2 29217

Description: Playfair's axiom, without the restriction that the point 𝑋 is outside of the line 𝐴. Theorem 12.11 of [Schwabhauser] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlngmo2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
prlngmo2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
prlngmo2.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngmo2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngmo2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
prlngmo2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
prlngmo2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)

Assertion

Ref	Expression
prlngmo2	⊢ (𝜑 → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))

Distinct variable groups:   ∥ ,𝑏   𝐴,𝑏   𝐿,𝑏   𝑋,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑏)   𝐺(𝑏)

Proof of Theorem prlngmo2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 = 𝑎 ↔ 𝑏 = 𝐴))
2	1	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎) ↔ ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴)))
3	2	ralbidv 3187	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴)))
4		prlngmo2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
5	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
6		prlngmo2.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		prlngmo2.r	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
8		prlngmo2.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad5antr 746	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		simpllr 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝐴 ∥ 𝑏)
11		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐴)
12	11	neqned 2964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑏 ≠ 𝐴)
13	12	necomd 3012	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝑏)
14	6, 7, 9, 10, 13	prlngin0 29205	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑏) = ∅)
15		simp-5r 797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
16		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑏)
17	15, 16	elind 4152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝑏))
18	17	ne0d 4294	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑏) ≠ ∅)
19	18	neneqd 2962	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ∧ ¬ 𝑏 = 𝐴) → ¬ (𝐴 ∩ 𝑏) = ∅)
20	14, 19	condan 829	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝐴 ∥ 𝑏) ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴)
21	20	expl 462	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ran 𝐿) → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴))
22	21	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝐴))
23	3, 5, 22	rspcedvdw 3583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎))
24		nfv 1943	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏)
25	24	rmo2i 3840	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ran 𝐿∀𝑏 ∈ ran 𝐿((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) → 𝑏 = 𝑎) → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
26	23, 25	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
27		prlngmo2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
28	8	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
30		prlngmo2.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
31	30	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
32		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
33	31, 32	eldifd 3915	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
34		prlngmo2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
35	34	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
36	27, 6, 7, 28, 29, 33, 35	prlngmo 29215	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
37	26, 36	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  ∃*wrmo 3367   ∩ cin 3903  ∅c0 4285   class class class wbr 5108  ran crn 5661  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  TarskiGcstrkg 28707  TarskiG_Ecstrkge 28712  LineGclng 28714  parlnGcprlng 29197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-hash 14374  df-word 14558  df-concat 14615  df-s1 14641  df-s2 14892  df-s3 14893  df-trkgc 28728  df-trkgb 28729  df-trkgcb 28730  df-trkge 28731  df-trkgld 28732  df-trkg 28733  df-cgrg 28791  df-leg 28863  df-hlg 28881  df-mir 28941  df-rag 28985  df-perpg 28987  df-hpg 29051  df-plng 29067  df-prlng 29198

This theorem is used by:  prlngeq  29218  prlngplngtr  29220