Theorem prlngsymquadopp 29193

Description: In parallelograms, opposing vertices are on opposite sides of the diagonal. Second part of Theorem 12.19 of [Schwabhauser] p. 126. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
symquadprlng.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
symquadprlng.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
symquadprlng.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
symquadprlng.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
symquadprlng.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
symquadprlng.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
symquadprlng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
symquadprlng.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
symquadprlng.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
symquadprlng.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
prlngsymquad.2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
prlngsymquad.3	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊))
prlngsymquad.4	⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑊𝐿𝑋))
prlngsymquadopp.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑍)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑍))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑍)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
prlngsymquadopp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prlngsymquadopp	⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐺   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝑊   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝑌   𝑍,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   ∥ (𝑡,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑡)   𝐺(𝑎,𝑏)   − (𝑡,𝑎,𝑏)   𝑂(𝑡,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)   𝑌(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem prlngsymquadopp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symquadprlng.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		symquadprlng.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		prlngsymquadopp.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		prlngsymquadopp.o	. 2 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑍)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑍))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑍)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		symquadprlng.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
6		symquadprlng.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		symquadprlng.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		symquadprlng.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		symquadprlng.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
10		symquadprlng.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
11		prlngsymquad.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
12	1, 7, 3, 8, 6, 10, 9, 11	ncoltgdim2 28812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
13	1, 2, 3, 8, 12, 9, 10	midcl 29064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ 𝑃)
14	1, 3, 7, 8, 9, 6, 10, 11	ncolne2 28877	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
15	1, 2, 3, 8, 12, 9, 10	midbtwn 29066	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ (𝑋𝐼𝑍))
16	1, 3, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15	btwnlng1 28870	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ (𝑋𝐿𝑍))
17	1, 7, 3, 8, 6, 10, 9, 11	ncolcom 28808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))
18	1, 7, 3, 8, 10, 6, 9, 17	ncolrot2 28810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
19	18	orsild 1019	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
20	1, 3, 7, 8, 6, 9, 10, 18	ncolne2 28877	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
21	1, 3, 7, 8, 6, 10, 20	tglinerflx1 28884	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
22	21	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
23		symquadprlng.r	. . . . 5 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
24	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25		symquadprlng.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
26	25	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
27		prlngsymquad.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑊𝐿𝑋))
28	27	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑊𝐿𝑋))
29	9	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
30	5	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
31	7, 23, 8, 27	prlngrcl2 29171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑊𝐿𝑋) ∈ ran 𝐿)
32	1, 3, 7, 8, 5, 9, 31	tglnne 28879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑋)
33	32	necomd 3013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑊)
34	33	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑊)
35	10	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
36	14	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑍)
37	36	necomd 3013	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ≠ 𝑋)
38		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
39	1, 3, 7, 24, 29, 35, 36	tglinecom 28886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑋))
40	38, 39	eleqtrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑋))
41	1, 3, 7, 24, 29, 30, 35, 34, 40, 37	lnrot1 28874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑊))
42	1, 3, 7, 24, 29, 30, 34, 35, 37, 41	tglineelsb2 28883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑊) = (𝑋𝐿𝑍))
43	1, 3, 7, 8, 9, 5, 33	tglinecom 28886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑊) = (𝑊𝐿𝑋))
44	43	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑊) = (𝑊𝐿𝑋))
45	42, 44	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑊𝐿𝑋))
46	28, 45	breqtrrd 5140	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑋𝐿𝑍))
47		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
48	7, 23, 8, 27	prlngrcl1 29170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
49	7, 47, 23, 8, 48	prlngref 29168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑌𝐿𝑍))
50	49	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑌𝐿𝑍))
51	41, 42	eleqtrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
52	1, 3, 7, 8, 6, 10, 20	tglinerflx2 28885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
53	52	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
54	1, 23, 24, 26, 46, 50, 51, 53	prlngeq 29185	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑌𝐿𝑍))
55	22, 54	eleqtrrd 2866	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
56	19, 55	mtand 827	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
57		prlngsymquad.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊))
58		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌)
59	1, 2, 7, 23, 8, 25, 9, 6, 10, 5, 11, 57, 27, 58	prlngsymquadlem 29191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) = 𝑊)
60	59	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌))
61		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
62	1, 2, 3, 8, 12, 6, 5, 61, 13	ismidb 29065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) ↔ (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) = (𝑋(midG‘𝐺)𝑍)))
63	60, 62	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) = (𝑋(midG‘𝐺)𝑍))
64	1, 2, 3, 8, 12, 6, 5	midcl 29064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) ∈ 𝑃)
65	1, 2, 3, 8, 12, 6, 5	midbtwn 29066	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) ∈ (𝑌𝐼𝑊))
66	1, 2, 3, 8, 6, 64, 5, 65	tgbtwncom 28735	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) ∈ (𝑊𝐼𝑌))
67	63, 66	eqeltrrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ (𝑊𝐼𝑌))
68	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 56, 19, 67	islnoppd 28999	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3903   class class class wbr 5110  {copab 5174  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  distcds 17320  TarskiGcstrkg 28674  TarskiG_Ecstrkge 28679  Itvcitv 28680  LineGclng 28681  pInvGcmir 28907  hlGcplng 29033  midGcmid 29059  parlnGcprlng 29164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-concat 14610  df-s1 14636  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28695  df-trkgb 28696  df-trkgcb 28697  df-trkge 28698  df-trkgld 28699  df-trkg 28700  df-cgrg 28758  df-ismt 28780  df-leg 28830  df-hlg 28848  df-mir 28908  df-rag 28952  df-perpg 28954  df-hpg 29018  df-plng 29034  df-mid 29061  df-lmi 29062  df-cgra 29097  df-prlng 29165

This theorem is referenced by:  quadcgrprlng  29194