Theorem prlngsymquadopp 29448

Description: In parallelograms, opposing vertices are on opposite sides of the diagonal. Second part of Theorem 12.19 of [Schwabhauser] p. 126. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
symquadprlng.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
symquadprlng.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
symquadprlng.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
symquadprlng.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
symquadprlng.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
symquadprlng.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
symquadprlng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
symquadprlng.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
symquadprlng.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
symquadprlng.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
prlngsymquad.2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
prlngsymquad.3	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊))
prlngsymquad.4	⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑊𝐿𝑋))
prlngsymquadopp.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑍)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑍))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑍)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
prlngsymquadopp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prlngsymquadopp	⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐺   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝑊   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝑌   𝑍,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   ∥ (𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑃(𝑡)   𝐺(𝑎, 𝑏)   − (𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑂(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑎, 𝑏)   𝑌(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem prlngsymquadopp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symquadprlng.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		symquadprlng.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		prlngsymquadopp.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		prlngsymquadopp.o	. 2 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑍)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑍))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑍)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		symquadprlng.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
6		symquadprlng.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		symquadprlng.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		symquadprlng.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		symquadprlng.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
10		symquadprlng.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
11		prlngsymquad.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
12	1, 7, 3, 8, 6, 10, 9, 11	ncoltgdim2 29033	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
13	1, 2, 3, 8, 12, 9, 10	midcl 29287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ 𝑃)
14	1, 3, 7, 8, 9, 6, 10, 11	ncolne2 29099	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
15	1, 2, 3, 8, 12, 9, 10	midbtwn 29289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ (𝑋𝐼𝑍))
16	1, 3, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15	btwnlng1 29092	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ (𝑋𝐿𝑍))
17	1, 7, 3, 8, 6, 10, 9, 11	ncolcom 29029	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))
18	1, 7, 3, 8, 10, 6, 9, 17	ncolrot2 29031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
19	18	orsild 1019	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
20	1, 3, 7, 8, 6, 9, 10, 18	ncolne2 29099	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
21	1, 3, 7, 8, 6, 10, 20	tglinerflx1 29106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
22	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
23		symquadprlng.r	. . . . 5 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
24	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25		symquadprlng.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
27		prlngsymquad.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑊𝐿𝑋))
28	27	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑊𝐿𝑋))
29	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
30	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
31	7, 23, 8, 27	prlngrcl2 29426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑊𝐿𝑋) ∈ ran 𝐿)
32	1, 3, 7, 8, 5, 9, 31	tglnne 29101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑋)
33	32	necomd 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑊)
34	33	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑊)
35	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
36	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑍)
37	36	necomd 3010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ≠ 𝑋)
38		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
39	1, 3, 7, 24, 29, 35, 36	tglinecom 29108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑋))
40	38, 39	eleqtrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑋))
41	1, 3, 7, 24, 29, 30, 35, 34, 40, 37	lnrot1 29096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑊))
42	1, 3, 7, 24, 29, 30, 34, 35, 37, 41	tglineelsb2 29105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑊) = (𝑋𝐿𝑍))
43	1, 3, 7, 8, 9, 5, 33	tglinecom 29108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑊) = (𝑊𝐿𝑋))
44	43	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑊) = (𝑊𝐿𝑋))
45	42, 44	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑊𝐿𝑋))
46	28, 45	breqtrrd 5132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑋𝐿𝑍))
47		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
48	7, 23, 8, 27	prlngrcl1 29425	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
49	7, 47, 23, 8, 48	prlngref 29423	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑌𝐿𝑍))
50	49	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑌𝐿𝑍))
51	41, 42	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
52	1, 3, 7, 8, 6, 10, 20	tglinerflx2 29107	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
53	52	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
54	1, 23, 24, 26, 46, 50, 51, 53	prlngeq 29440	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑌𝐿𝑍))
55	22, 54	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
56	19, 55	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
57		prlngsymquad.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊))
58		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌)
59	1, 2, 7, 23, 8, 25, 9, 6, 10, 5, 11, 57, 27, 58	prlngsymquadlem 29446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) = 𝑊)
60	59	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌))
61		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
62	1, 2, 3, 8, 12, 6, 5, 61, 13	ismidb 29288	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) ↔ (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) = (𝑋(midG‘𝐺)𝑍)))
63	60, 62	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) = (𝑋(midG‘𝐺)𝑍))
64	1, 2, 3, 8, 12, 6, 5	midcl 29287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) ∈ 𝑃)
65	1, 2, 3, 8, 12, 6, 5	midbtwn 29289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) ∈ (𝑌𝐼𝑊))
66	1, 2, 3, 8, 6, 64, 5, 65	tgbtwncom 28956	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) ∈ (𝑊𝐼𝑌))
67	63, 66	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ (𝑊𝐼𝑌))
68	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 56, 19, 67	islnoppd 29221	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 4045   class class class wbr 5102  {copab 5166  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  distcds 17442  TarskiGcstrkg 28894  TarskiG_Ecstrkge 28899  Itvcitv 28900  LineGclng 28901  pInvGcmir 29129  hlGcplng 29256  midGcmid 29282  parlnGcprlng 29419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-s1 14746  df-s2 15003  df-s3 15004  df-trkgc 28915  df-trkgb 28916  df-trkgcb 28917  df-trkge 28918  df-trkgld 28919  df-trkg 28920  df-cgrg 28979  df-ismt 29001  df-leg 29051  df-hlg 29069  df-mir 29130  df-rag 29174  df-perpg 29176  df-hpg 29241  df-plng 29257  df-mid 29284  df-lmi 29285  df-cgra 29320  df-prlng 29420

This theorem is used by:  quadcgrprlng  29449