Theorem prlngsymquadopp 29425

Description: In parallelograms, opposing vertices are on opposite sides of the diagonal. Second part of Theorem 12.19 of [Schwabhauser] p. 126. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
symquadprlng.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
symquadprlng.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
symquadprlng.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
symquadprlng.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
symquadprlng.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
symquadprlng.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
symquadprlng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
symquadprlng.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
symquadprlng.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
symquadprlng.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
prlngsymquad.2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
prlngsymquad.3	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊))
prlngsymquad.4	⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑊𝐿𝑋))
prlngsymquadopp.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑍)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑍))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑍)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
prlngsymquadopp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prlngsymquadopp	⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐺   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝑊   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝑌   𝑍,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   ∥ (𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑃(𝑡)   𝐺(𝑎, 𝑏)   − (𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑂(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑎, 𝑏)   𝑌(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem prlngsymquadopp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symquadprlng.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		symquadprlng.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		prlngsymquadopp.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		prlngsymquadopp.o	. 2 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑍)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑍))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑍)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		symquadprlng.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
6		symquadprlng.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		symquadprlng.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		symquadprlng.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		symquadprlng.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
10		symquadprlng.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
11		prlngsymquad.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
12	1, 7, 3, 8, 6, 10, 9, 11	ncoltgdim2 29010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
13	1, 2, 3, 8, 12, 9, 10	midcl 29264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ 𝑃)
14	1, 3, 7, 8, 9, 6, 10, 11	ncolne2 29076	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
15	1, 2, 3, 8, 12, 9, 10	midbtwn 29266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ (𝑋𝐼𝑍))
16	1, 3, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15	btwnlng1 29069	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ (𝑋𝐿𝑍))
17	1, 7, 3, 8, 6, 10, 9, 11	ncolcom 29006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))
18	1, 7, 3, 8, 10, 6, 9, 17	ncolrot2 29008	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
19	18	orsild 1019	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
20	1, 3, 7, 8, 6, 9, 10, 18	ncolne2 29076	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
21	1, 3, 7, 8, 6, 10, 20	tglinerflx1 29083	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
22	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
23		symquadprlng.r	. . . . 5 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
24	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25		symquadprlng.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
27		prlngsymquad.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑊𝐿𝑋))
28	27	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑊𝐿𝑋))
29	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
30	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
31	7, 23, 8, 27	prlngrcl2 29403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑊𝐿𝑋) ∈ ran 𝐿)
32	1, 3, 7, 8, 5, 9, 31	tglnne 29078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑋)
33	32	necomd 3011	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑊)
34	33	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑊)
35	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
36	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑍)
37	36	necomd 3011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ≠ 𝑋)
38		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
39	1, 3, 7, 24, 29, 35, 36	tglinecom 29085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑋))
40	38, 39	eleqtrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑋))
41	1, 3, 7, 24, 29, 30, 35, 34, 40, 37	lnrot1 29073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑊))
42	1, 3, 7, 24, 29, 30, 34, 35, 37, 41	tglineelsb2 29082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑊) = (𝑋𝐿𝑍))
43	1, 3, 7, 8, 9, 5, 33	tglinecom 29085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑊) = (𝑊𝐿𝑋))
44	43	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑊) = (𝑊𝐿𝑋))
45	42, 44	eqtr3d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑊𝐿𝑋))
46	28, 45	breqtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑋𝐿𝑍))
47		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
48	7, 23, 8, 27	prlngrcl1 29402	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
49	7, 47, 23, 8, 48	prlngref 29400	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑌𝐿𝑍))
50	49	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑌𝐿𝑍))
51	41, 42	eleqtrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
52	1, 3, 7, 8, 6, 10, 20	tglinerflx2 29084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
53	52	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
54	1, 23, 24, 26, 46, 50, 51, 53	prlngeq 29417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑌𝐿𝑍))
55	22, 54	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
56	19, 55	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
57		prlngsymquad.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊))
58		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌)
59	1, 2, 7, 23, 8, 25, 9, 6, 10, 5, 11, 57, 27, 58	prlngsymquadlem 29423	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) = 𝑊)
60	59	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌))
61		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
62	1, 2, 3, 8, 12, 6, 5, 61, 13	ismidb 29265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) ↔ (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) = (𝑋(midG‘𝐺)𝑍)))
63	60, 62	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) = (𝑋(midG‘𝐺)𝑍))
64	1, 2, 3, 8, 12, 6, 5	midcl 29264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) ∈ 𝑃)
65	1, 2, 3, 8, 12, 6, 5	midbtwn 29266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) ∈ (𝑌𝐼𝑊))
66	1, 2, 3, 8, 6, 64, 5, 65	tgbtwncom 28933	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) ∈ (𝑊𝐼𝑌))
67	63, 66	eqeltrrd 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ (𝑊𝐼𝑌))
68	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 56, 19, 67	islnoppd 29198	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   class class class wbr 5103  {copab 5167  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  distcds 17417  TarskiGcstrkg 28871  TarskiG_Ecstrkge 28876  Itvcitv 28877  LineGclng 28878  pInvGcmir 29106  hlGcplng 29233  midGcmid 29259  parlnGcprlng 29396

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639  df-concat 14696  df-s1 14723  df-s2 14979  df-s3 14980  df-trkgc 28892  df-trkgb 28893  df-trkgcb 28894  df-trkge 28895  df-trkgld 28896  df-trkg 28897  df-cgrg 28956  df-ismt 28978  df-leg 29028  df-hlg 29046  df-mir 29107  df-rag 29151  df-perpg 29153  df-hpg 29218  df-plng 29234  df-mid 29261  df-lmi 29262  df-cgra 29297  df-prlng 29397

This theorem is used by:  quadcgrprlng  29426