Theorem prlngsymquadopp 29325

Description: In parallelograms, opposing vertices are on opposite sides of the diagonal. Second part of Theorem 12.19 of [Schwabhauser] p. 126. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
symquadprlng.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
symquadprlng.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
symquadprlng.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
symquadprlng.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
symquadprlng.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
symquadprlng.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
symquadprlng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
symquadprlng.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
symquadprlng.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
symquadprlng.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
prlngsymquad.2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
prlngsymquad.3	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊))
prlngsymquad.4	⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑊𝐿𝑋))
prlngsymquadopp.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑍)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑍))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑍)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
prlngsymquadopp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prlngsymquadopp	⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐺   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝑊   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝑌   𝑍,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   ∥ (𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑃(𝑡)   𝐺(𝑎, 𝑏)   − (𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑂(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑎, 𝑏)   𝑌(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem prlngsymquadopp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symquadprlng.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		symquadprlng.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		prlngsymquadopp.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		prlngsymquadopp.o	. 2 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑍)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑍))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑍)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		symquadprlng.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
6		symquadprlng.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		symquadprlng.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		symquadprlng.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		symquadprlng.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
10		symquadprlng.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
11		prlngsymquad.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
12	1, 7, 3, 8, 6, 10, 9, 11	ncoltgdim2 28910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
13	1, 2, 3, 8, 12, 9, 10	midcl 29164	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ 𝑃)
14	1, 3, 7, 8, 9, 6, 10, 11	ncolne2 28976	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
15	1, 2, 3, 8, 12, 9, 10	midbtwn 29166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ (𝑋𝐼𝑍))
16	1, 3, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15	btwnlng1 28969	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ (𝑋𝐿𝑍))
17	1, 7, 3, 8, 6, 10, 9, 11	ncolcom 28906	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))
18	1, 7, 3, 8, 10, 6, 9, 17	ncolrot2 28908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
19	18	orsild 1019	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
20	1, 3, 7, 8, 6, 9, 10, 18	ncolne2 28976	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
21	1, 3, 7, 8, 6, 10, 20	tglinerflx1 28983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
22	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
23		symquadprlng.r	. . . . 5 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
24	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25		symquadprlng.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
27		prlngsymquad.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑊𝐿𝑋))
28	27	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑊𝐿𝑋))
29	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
30	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
31	7, 23, 8, 27	prlngrcl2 29303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑊𝐿𝑋) ∈ ran 𝐿)
32	1, 3, 7, 8, 5, 9, 31	tglnne 28978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑋)
33	32	necomd 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑊)
34	33	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑊)
35	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
36	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑍)
37	36	necomd 3010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ≠ 𝑋)
38		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
39	1, 3, 7, 24, 29, 35, 36	tglinecom 28985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑋))
40	38, 39	eleqtrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑋))
41	1, 3, 7, 24, 29, 30, 35, 34, 40, 37	lnrot1 28973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑊))
42	1, 3, 7, 24, 29, 30, 34, 35, 37, 41	tglineelsb2 28982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑊) = (𝑋𝐿𝑍))
43	1, 3, 7, 8, 9, 5, 33	tglinecom 28985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑊) = (𝑊𝐿𝑋))
44	43	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑊) = (𝑊𝐿𝑋))
45	42, 44	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑊𝐿𝑋))
46	28, 45	breqtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑋𝐿𝑍))
47		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
48	7, 23, 8, 27	prlngrcl1 29302	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
49	7, 47, 23, 8, 48	prlngref 29300	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑌𝐿𝑍))
50	49	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑌𝐿𝑍))
51	41, 42	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
52	1, 3, 7, 8, 6, 10, 20	tglinerflx2 28984	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
53	52	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
54	1, 23, 24, 26, 46, 50, 51, 53	prlngeq 29317	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑌𝐿𝑍))
55	22, 54	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
56	19, 55	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
57		prlngsymquad.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊))
58		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌)
59	1, 2, 7, 23, 8, 25, 9, 6, 10, 5, 11, 57, 27, 58	prlngsymquadlem 29323	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) = 𝑊)
60	59	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌))
61		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
62	1, 2, 3, 8, 12, 6, 5, 61, 13	ismidb 29165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) ↔ (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) = (𝑋(midG‘𝐺)𝑍)))
63	60, 62	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) = (𝑋(midG‘𝐺)𝑍))
64	1, 2, 3, 8, 12, 6, 5	midcl 29164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) ∈ 𝑃)
65	1, 2, 3, 8, 12, 6, 5	midbtwn 29166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) ∈ (𝑌𝐼𝑊))
66	1, 2, 3, 8, 6, 64, 5, 65	tgbtwncom 28833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌(midG‘𝐺)𝑊) ∈ (𝑊𝐼𝑌))
67	63, 66	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ (𝑊𝐼𝑌))
68	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 56, 19, 67	islnoppd 29098	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3896   class class class wbr 5103  {copab 5167  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  distcds 17354  TarskiGcstrkg 28771  TarskiG_Ecstrkge 28776  Itvcitv 28777  LineGclng 28778  pInvGcmir 29006  hlGcplng 29133  midGcmid 29159  parlnGcprlng 29296

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-concat 14639  df-s1 14666  df-s2 14922  df-s3 14923  df-trkgc 28792  df-trkgb 28793  df-trkgcb 28794  df-trkge 28795  df-trkgld 28796  df-trkg 28797  df-cgrg 28856  df-ismt 28878  df-leg 28928  df-hlg 28946  df-mir 29007  df-rag 29051  df-perpg 29053  df-hpg 29118  df-plng 29134  df-mid 29161  df-lmi 29162  df-cgra 29197  df-prlng 29297

This theorem is used by:  quadcgrprlng  29326