MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmo2 16920
Description: The primorial of 2. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmo2 (#p‘2) = 2

Proof of Theorem prmo2
StepHypRef Expression
1 2nn 12234 . . 3 2 ∈ ℕ
2 prmonn2 16919 . . 3 (2 ∈ ℕ → (#p‘2) = if(2 ∈ ℙ, ((#p‘(2 − 1)) · 2), (#p‘(2 − 1))))
31, 2ax-mp 5 . 2 (#p‘2) = if(2 ∈ ℙ, ((#p‘(2 − 1)) · 2), (#p‘(2 − 1)))
4 2prm 16576 . . . 4 2 ∈ ℙ
54iftruei 4497 . . 3 if(2 ∈ ℙ, ((#p‘(2 − 1)) · 2), (#p‘(2 − 1))) = ((#p‘(2 − 1)) · 2)
6 2m1e1 12287 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
76fveq2i 6849 . . . . . 6 (#p‘(2 − 1)) = (#p‘1)
8 prmo1 16917 . . . . . 6 (#p‘1) = 1
97, 8eqtri 2761 . . . . 5 (#p‘(2 − 1)) = 1
109oveq1i 7371 . . . 4 ((#p‘(2 − 1)) · 2) = (1 · 2)
11 2cn 12236 . . . . 5 2 ∈ ℂ
1211mulid2i 11168 . . . 4 (1 · 2) = 2
1310, 12eqtri 2761 . . 3 ((#p‘(2 − 1)) · 2) = 2
145, 13eqtri 2761 . 2 if(2 ∈ ℙ, ((#p‘(2 − 1)) · 2), (#p‘(2 − 1))) = 2
153, 14eqtri 2761 1 (#p‘2) = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4490  cfv 6500  (class class class)co 7361  1c1 11060   · cmul 11064  cmin 11393  cn 12161  2c2 12216  cprime 16555  #pcprmo 16911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-prod 15797  df-dvds 16145  df-prm 16556  df-prmo 16912
This theorem is referenced by:  prmo3  16921
  Copyright terms: Public domain W3C validator