MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmo2 16366
Description: The primorial of 2. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmo2 (#p‘2) = 2

Proof of Theorem prmo2
StepHypRef Expression
1 2nn 11699 . . 3 2 ∈ ℕ
2 prmonn2 16365 . . 3 (2 ∈ ℕ → (#p‘2) = if(2 ∈ ℙ, ((#p‘(2 − 1)) · 2), (#p‘(2 − 1))))
31, 2ax-mp 5 . 2 (#p‘2) = if(2 ∈ ℙ, ((#p‘(2 − 1)) · 2), (#p‘(2 − 1)))
4 2prm 16026 . . . 4 2 ∈ ℙ
54iftruei 4477 . . 3 if(2 ∈ ℙ, ((#p‘(2 − 1)) · 2), (#p‘(2 − 1))) = ((#p‘(2 − 1)) · 2)
6 2m1e1 11752 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
76fveq2i 6670 . . . . . 6 (#p‘(2 − 1)) = (#p‘1)
8 prmo1 16363 . . . . . 6 (#p‘1) = 1
97, 8eqtri 2849 . . . . 5 (#p‘(2 − 1)) = 1
109oveq1i 7158 . . . 4 ((#p‘(2 − 1)) · 2) = (1 · 2)
11 2cn 11701 . . . . 5 2 ∈ ℂ
1211mulid2i 10635 . . . 4 (1 · 2) = 2
1310, 12eqtri 2849 . . 3 ((#p‘(2 − 1)) · 2) = 2
145, 13eqtri 2849 . 2 if(2 ∈ ℙ, ((#p‘(2 − 1)) · 2), (#p‘(2 − 1))) = 2
153, 14eqtri 2849 1 (#p‘2) = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1530  wcel 2107  ifcif 4470  cfv 6352  (class class class)co 7148  1c1 10527   · cmul 10531  cmin 10859  cn 11627  2c2 11681  cprime 16005  #pcprmo 16357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-prod 15250  df-dvds 15598  df-prm 16006  df-prmo 16358
This theorem is referenced by:  prmo3  16367
  Copyright terms: Public domain W3C validator