MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1mulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pf1mulcl 21736
Description: The product of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1rcl.q 𝑄 = ran (eval1β€˜π‘…)
pf1mulcl.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
pf1mulcl ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem pf1mulcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…)) = (𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))
2 eqid 2737 . . 3 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…)))
3 pf1rcl.q . . . . 5 𝑄 = ran (eval1β€˜π‘…)
43pf1rcl 21731 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑄 β†’ 𝑅 ∈ CRing)
54adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
6 fvexd 6862 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
7 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
83, 7pf1f 21732 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑄 β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…))
98adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…))
10 fvex 6860 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
111, 7, 2pwselbasb 17377 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V) β†’ (𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) ↔ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
125, 10, 11sylancl 587 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) ↔ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
139, 12mpbird 257 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))))
143, 7pf1f 21732 . . . . 5 (𝐺 ∈ 𝑄 β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…))
1514adantl 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…))
161, 7, 2pwselbasb 17377 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V) β†’ (𝐺 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) ↔ 𝐺:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
175, 10, 16sylancl 587 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (𝐺 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) ↔ 𝐺:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
1815, 17mpbird 257 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))))
19 pf1mulcl.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
20 eqid 2737 . . 3 (.rβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) = (.rβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…)))
211, 2, 5, 6, 13, 18, 19, 20pwsmulrval 17380 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (𝐹(.rβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…)))𝐺) = (𝐹 ∘f Β· 𝐺))
227, 3pf1subrg 21730 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑄 ∈ (SubRingβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))))
235, 22syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ 𝑄 ∈ (SubRingβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))))
2420subrgmcl 20250 . . . 4 ((𝑄 ∈ (SubRingβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) ∧ 𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (𝐹(.rβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…)))𝐺) ∈ 𝑄)
25243expib 1123 . . 3 (𝑄 ∈ (SubRingβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (𝐹(.rβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…)))𝐺) ∈ 𝑄))
2623, 25mpcom 38 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (𝐹(.rβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…)))𝐺) ∈ 𝑄)
2721, 26eqeltrrd 2839 1 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  Basecbs 17090  .rcmulr 17141   ↑s cpws 17335  CRingccrg 19972  SubRingcsubrg 20234  eval1ce1 21696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-srg 19925  df-ring 19973  df-cring 19974  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-assa 21275  df-asp 21276  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-evls 21498  df-evl 21499  df-psr1 21567  df-ply1 21569  df-evl1 21698
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator