MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1mulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pf1mulcl 20489
Description: The product of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1rcl.q 𝑄 = ran (eval1𝑅)
pf1mulcl.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
pf1mulcl ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹f · 𝐺) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem pf1mulcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2820 . . 3 (𝑅s (Base‘𝑅)) = (𝑅s (Base‘𝑅))
2 eqid 2820 . . 3 (Base‘(𝑅s (Base‘𝑅))) = (Base‘(𝑅s (Base‘𝑅)))
3 pf1rcl.q . . . . 5 𝑄 = ran (eval1𝑅)
43pf1rcl 20484 . . . 4 (𝐹𝑄𝑅 ∈ CRing)
54adantr 483 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝑅 ∈ CRing)
6 fvexd 6657 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (Base‘𝑅) ∈ V)
7 eqid 2820 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
83, 7pf1f 20485 . . . . 5 (𝐹𝑄𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
98adantr 483 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
10 fvex 6655 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
111, 7, 2pwselbasb 16736 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝐹 ∈ (Base‘(𝑅s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
125, 10, 11sylancl 588 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹 ∈ (Base‘(𝑅s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
139, 12mpbird 259 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐹 ∈ (Base‘(𝑅s (Base‘𝑅))))
143, 7pf1f 20485 . . . . 5 (𝐺𝑄𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
1514adantl 484 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
161, 7, 2pwselbasb 16736 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝐺 ∈ (Base‘(𝑅s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
175, 10, 16sylancl 588 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐺 ∈ (Base‘(𝑅s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
1815, 17mpbird 259 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐺 ∈ (Base‘(𝑅s (Base‘𝑅))))
19 pf1mulcl.t . . 3 · = (.r𝑅)
20 eqid 2820 . . 3 (.r‘(𝑅s (Base‘𝑅))) = (.r‘(𝑅s (Base‘𝑅)))
211, 2, 5, 6, 13, 18, 19, 20pwsmulrval 16739 . 2 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅s (Base‘𝑅)))𝐺) = (𝐹f · 𝐺))
227, 3pf1subrg 20483 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅s (Base‘𝑅))))
235, 22syl 17 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅s (Base‘𝑅))))
2420subrgmcl 19519 . . . 4 ((𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅s (Base‘𝑅))) ∧ 𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄)
25243expib 1118 . . 3 (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅s (Base‘𝑅))) → ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄))
2623, 25mpcom 38 . 2 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄)
2721, 26eqeltrrd 2912 1 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹f · 𝐺) ∈ 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  Vcvv 3470  ran crn 5528  wf 6323  cfv 6327  (class class class)co 7129  f cof 7381  Basecbs 16458  .rcmulr 16541  s cpws 16695  CRingccrg 19273  SubRingcsubrg 19503  eval1ce1 20449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-of 7383  df-ofr 7384  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-supp 7805  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-2o 8077  df-oadd 8080  df-er 8263  df-map 8382  df-pm 8383  df-ixp 8436  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-fsupp 8808  df-sup 8880  df-oi 8948  df-card 9342  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-4 11677  df-5 11678  df-6 11679  df-7 11680  df-8 11681  df-9 11682  df-n0 11873  df-z 11957  df-dec 12074  df-uz 12219  df-fz 12873  df-fzo 13014  df-seq 13350  df-hash 13672  df-struct 16460  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-ress 16466  df-plusg 16553  df-mulr 16554  df-sca 16556  df-vsca 16557  df-ip 16558  df-tset 16559  df-ple 16560  df-ds 16562  df-hom 16564  df-cco 16565  df-0g 16690  df-gsum 16691  df-prds 16696  df-pws 16698  df-mre 16832  df-mrc 16833  df-acs 16835  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-mhm 17931  df-submnd 17932  df-grp 18081  df-minusg 18082  df-sbg 18083  df-mulg 18200  df-subg 18251  df-ghm 18331  df-cntz 18422  df-cmn 18883  df-abl 18884  df-mgp 19215  df-ur 19227  df-srg 19231  df-ring 19274  df-cring 19275  df-rnghom 19442  df-subrg 19505  df-lmod 19608  df-lss 19676  df-lsp 19716  df-assa 20057  df-asp 20058  df-ascl 20059  df-psr 20108  df-mvr 20109  df-mpl 20110  df-opsr 20112  df-evls 20258  df-evl 20259  df-psr1 20320  df-ply1 20322  df-evl1 20451
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator