Theorem pf1mulcl 19926

Description: The product of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1rcl.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
pf1mulcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pf1mulcl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem pf1mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2771	. . 3 ⊢ (𝑅 ↑s (Base‘𝑅)) = (𝑅 ↑s (Base‘𝑅))
2		eqid 2771	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) = (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))
3		pf1rcl.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
4	3	pf1rcl 19921	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	adantr 466	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝑅 ∈ CRing)
6		fvexd 6342	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (Base‘𝑅) ∈ V)
7		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	3, 7	pf1f 19922	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9	8	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
10		fvex 6340	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
11	1, 7, 2	pwselbasb 16349	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝐹 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
12	5, 10, 11	sylancl 574	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
13	9, 12	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐹 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
14	3, 7	pf1f 19922	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑄 → 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
15	14	adantl 467	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
16	1, 7, 2	pwselbasb 16349	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝐺 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
17	5, 10, 16	sylancl 574	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐺 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
18	15, 17	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐺 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
19		pf1mulcl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20		eqid 2771	. . 3 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) = (.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))
21	1, 2, 5, 6, 13, 18, 19, 20	pwsmulrval 16352	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))
22	7, 3	pf1subrg 19920	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
23	5, 22	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
24	20	subrgmcl 18995	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ∧ 𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄)
25	24	3expib 1116	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) → ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄))
26	23, 25	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄)
27	21, 26	eqeltrrd 2851	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351  ran crn 5250  ⟶wf 6025  ‘cfv 6029  (class class class)co 6791   ∘_𝑓 cof 7040  Basecbs 16057  ._rcmulr 16143   ↑_s cpws 16308  CRingccrg 18749  SubRingcsubrg 18979  eval₁ce1 19887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-ofr 7043  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-sup 8502  df-oi 8569  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-seq 13002  df-hash 13315  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-hom 16167  df-cco 16168  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-prds 16309  df-pws 16311  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18691  df-ur 18703  df-srg 18707  df-ring 18750  df-cring 18751  df-rnghom 18918  df-subrg 18981  df-lmod 19068  df-lss 19136  df-lsp 19178  df-assa 19520  df-asp 19521  df-ascl 19522  df-psr 19564  df-mvr 19565  df-mpl 19566  df-opsr 19568  df-evls 19714  df-evl 19715  df-psr1 19758  df-ply1 19760  df-evl1 19889

This theorem is referenced by: (None)