MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1mulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pf1mulcl 22228
Description: The product of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1rcl.q 𝑄 = ran (eval1β€˜π‘…)
pf1mulcl.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
pf1mulcl ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem pf1mulcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…)) = (𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))
2 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…)))
3 pf1rcl.q . . . . 5 𝑄 = ran (eval1β€˜π‘…)
43pf1rcl 22223 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑄 β†’ 𝑅 ∈ CRing)
54adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
6 fvexd 6900 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
7 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
83, 7pf1f 22224 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑄 β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…))
98adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…))
10 fvex 6898 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
111, 7, 2pwselbasb 17443 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V) β†’ (𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) ↔ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
125, 10, 11sylancl 585 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) ↔ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
139, 12mpbird 257 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))))
143, 7pf1f 22224 . . . . 5 (𝐺 ∈ 𝑄 β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…))
1514adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…))
161, 7, 2pwselbasb 17443 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V) β†’ (𝐺 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) ↔ 𝐺:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
175, 10, 16sylancl 585 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (𝐺 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) ↔ 𝐺:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
1815, 17mpbird 257 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))))
19 pf1mulcl.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
20 eqid 2726 . . 3 (.rβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) = (.rβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…)))
211, 2, 5, 6, 13, 18, 19, 20pwsmulrval 17446 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (𝐹(.rβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…)))𝐺) = (𝐹 ∘f Β· 𝐺))
227, 3pf1subrg 22222 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑄 ∈ (SubRingβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))))
235, 22syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ 𝑄 ∈ (SubRingβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))))
2420subrgmcl 20486 . . . 4 ((𝑄 ∈ (SubRingβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) ∧ 𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (𝐹(.rβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…)))𝐺) ∈ 𝑄)
25243expib 1119 . . 3 (𝑄 ∈ (SubRingβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (𝐹(.rβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…)))𝐺) ∈ 𝑄))
2623, 25mpcom 38 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (𝐹(.rβ€˜(𝑅 ↑s (Baseβ€˜π‘…)))𝐺) ∈ 𝑄)
2721, 26eqeltrrd 2828 1 ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  ran crn 5670  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  Basecbs 17153  .rcmulr 17207   ↑s cpws 17401  CRingccrg 20139  SubRingcsubrg 20469  eval1ce1 22188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-assa 21748  df-asp 21749  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-evls 21977  df-evl 21978  df-psr1 22054  df-ply1 22056  df-evl1 22190
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator