Theorem pf1mulcl 22267

Description: The product of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1rcl.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
pf1mulcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pf1mulcl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem pf1mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑅 ↑s (Base‘𝑅)) = (𝑅 ↑s (Base‘𝑅))
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) = (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))
3		pf1rcl.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
4	3	pf1rcl 22262	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝑅 ∈ CRing)
6		fvexd 6837	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (Base‘𝑅) ∈ V)
7		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	3, 7	pf1f 22263	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
10		fvex 6835	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
11	1, 7, 2	pwselbasb 17389	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝐹 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
12	5, 10, 11	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
13	9, 12	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐹 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
14	3, 7	pf1f 22263	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑄 → 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
16	1, 7, 2	pwselbasb 17389	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝐺 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
17	5, 10, 16	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐺 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
18	15, 17	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐺 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
19		pf1mulcl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20		eqid 2731	. . 3 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) = (.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))
21	1, 2, 5, 6, 13, 18, 19, 20	pwsmulrval 17392	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) = (𝐹 ∘f · 𝐺))
22	7, 3	pf1subrg 22261	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
23	5, 22	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
24	20	subrgmcl 20497	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ∧ 𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄)
25	24	3expib 1122	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) → ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄))
26	23, 25	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄)
27	21, 26	eqeltrrd 2832	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ran crn 5617  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∘_f cof 7608  Basecbs 17117  ._rcmulr 17159   ↑_s cpws 17347  CRingccrg 20150  SubRingcsubrg 20482  eval₁ce1 22227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-hash 14235  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-hom 17182  df-cco 17183  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-prds 17348  df-pws 17350  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-mulg 18978  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rhm 20388  df-subrng 20459  df-subrg 20483  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903  df-assa 21788  df-asp 21789  df-ascl 21790  df-psr 21844  df-mvr 21845  df-mpl 21846  df-opsr 21848  df-evls 22007  df-evl 22008  df-psr1 22090  df-ply1 22092  df-evl1 22229

This theorem is referenced by: (None)