Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1addcl Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The sum of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1rcl.q 𝑄 = ran (eval1𝑅)
Assertion
Ref Expression
pf1addcl ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ 𝑄)

StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . 3 (𝑅s (Base‘𝑅)) = (𝑅s (Base‘𝑅))
2 eqid 2778 . . 3 (Base‘(𝑅s (Base‘𝑅))) = (Base‘(𝑅s (Base‘𝑅)))
3 pf1rcl.q . . . . 5 𝑄 = ran (eval1𝑅)
43pf1rcl 20120 . . . 4 (𝐹𝑄𝑅 ∈ CRing)
54adantr 474 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝑅 ∈ CRing)
6 fvexd 6463 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (Base‘𝑅) ∈ V)
7 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
83, 7pf1f 20121 . . . . 5 (𝐹𝑄𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
98adantr 474 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
10 fvex 6461 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
111, 7, 2pwselbasb 16545 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝐹 ∈ (Base‘(𝑅s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
125, 10, 11sylancl 580 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹 ∈ (Base‘(𝑅s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
139, 12mpbird 249 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐹 ∈ (Base‘(𝑅s (Base‘𝑅))))
143, 7pf1f 20121 . . . . 5 (𝐺𝑄𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
1514adantl 475 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
161, 7, 2pwselbasb 16545 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝐺 ∈ (Base‘(𝑅s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
175, 10, 16sylancl 580 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐺 ∈ (Base‘(𝑅s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
1815, 17mpbird 249 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐺 ∈ (Base‘(𝑅s (Base‘𝑅))))
19 pf1addcl.a . . 3 + = (+g𝑅)
20 eqid 2778 . . 3 (+g‘(𝑅s (Base‘𝑅))) = (+g‘(𝑅s (Base‘𝑅)))
211, 2, 5, 6, 13, 18, 19, 20pwsplusgval 16547 . 2 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(+g‘(𝑅s (Base‘𝑅)))𝐺) = (𝐹𝑓 + 𝐺))
227, 3pf1subrg 20119 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅s (Base‘𝑅))))
235, 22syl 17 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅s (Base‘𝑅))))
2420subrgacl 19194 . . . 4 ((𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅s (Base‘𝑅))) ∧ 𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(+g‘(𝑅s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄)
25243expib 1113 . . 3 (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅s (Base‘𝑅))) → ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(+g‘(𝑅s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄))
2623, 25mpcom 38 . 2 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(+g‘(𝑅s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄)
2721, 26eqeltrrd 2860 1 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ 𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398  ran crn 5358  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ∘𝑓 cof 7174  Basecbs 16266  +gcplusg 16349   ↑s cpws 16504  CRingccrg 18946  SubRingcsubrg 19179  eval1ce1 20086 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-ofr 7177  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-sup 8638  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-seq 13125  df-hash 13442  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-hom 16373  df-cco 16374  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-prds 16505  df-pws 16507  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-mhm 17732  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-mulg 17939  df-subg 17986  df-ghm 18053  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-abl 18593  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-srg 18904  df-ring 18947  df-cring 18948  df-rnghom 19115  df-subrg 19181  df-lmod 19268  df-lss 19336  df-lsp 19378  df-assa 19720  df-asp 19721  df-ascl 19722  df-psr 19764  df-mvr 19765  df-mpl 19766  df-opsr 19768  df-evls 19913  df-evl 19914  df-psr1 19957  df-ply1 19959  df-evl1 20088 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator