Theorem pf1addcl 21529

Description: The sum of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1rcl.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
pf1addcl.a	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pf1addcl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem pf1addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑅 ↑s (Base‘𝑅)) = (𝑅 ↑s (Base‘𝑅))
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) = (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))
3		pf1rcl.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
4	3	pf1rcl 21525	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝑅 ∈ CRing)
6		fvexd 6781	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (Base‘𝑅) ∈ V)
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	3, 7	pf1f 21526	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
10		fvex 6779	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
11	1, 7, 2	pwselbasb 17209	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝐹 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
12	5, 10, 11	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
13	9, 12	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐹 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
14	3, 7	pf1f 21526	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑄 → 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
15	14	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
16	1, 7, 2	pwselbasb 17209	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝐺 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
17	5, 10, 16	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐺 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
18	15, 17	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐺 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
19		pf1addcl.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) = (+g‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))
21	1, 2, 5, 6, 13, 18, 19, 20	pwsplusgval 17211	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(+g‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) = (𝐹 ∘f + 𝐺))
22	7, 3	pf1subrg 21524	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
23	5, 22	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
24	20	subrgacl 20045	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ∧ 𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(+g‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄)
25	24	3expib 1121	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) → ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(+g‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄))
26	23, 25	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(+g‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄)
27	21, 26	eqeltrrd 2840	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3429  ran crn 5585  ⟶wf 6422  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267   ∘_f cof 7521  Basecbs 16922  +_gcplusg 16972   ↑_s cpws 17167  CRingccrg 19794  SubRingcsubrg 20030  eval₁ce1 21490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-ofr 7524  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-sup 9188  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-seq 13732  df-hash 14055  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-hom 16996  df-cco 16997  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-prds 17168  df-pws 17170  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-mhm 18440  df-submnd 18441  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-sbg 18592  df-mulg 18711  df-subg 18762  df-ghm 18842  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-abl 19399  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-srg 19752  df-ring 19795  df-cring 19796  df-rnghom 19969  df-subrg 20032  df-lmod 20135  df-lss 20204  df-lsp 20244  df-assa 21070  df-asp 21071  df-ascl 21072  df-psr 21122  df-mvr 21123  df-mpl 21124  df-opsr 21126  df-evls 21292  df-evl 21293  df-psr1 21361  df-ply1 21363  df-evl1 21492

This theorem is referenced by: (None)