Theorem ressmplbas 22067

Description: A restricted polynomial algebra has the same base set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmpl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressmpl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ressmpl.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressmplbas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))

Proof of Theorem ressmplbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmpl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		ressmpl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		ressmpl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
4		ressmpl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
5		ressmpl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		ressmpl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
9		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ressmplbas2 22066	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)))
11		inss2 4187	. . 3 ⊢ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)) ⊆ (Base‘𝑆)
12	10, 11	eqsstrdi 3978	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
13		ressmpl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
14	13, 9	ressbas2 17264	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) → 𝐵 = (Base‘𝑃))
15	12, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235   ↾_s cress 17256  SubRingcsubrg 20605   mPwSer cmps 21943   mPoly cmpl 21945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-ofr 7655  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-sup 9381  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-hash 14337  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-mhm 18807  df-submnd 18808  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-mulg 19100  df-subg 19155  df-ghm 19244  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-ring 20271  df-subrng 20582  df-subrg 20606  df-psr 21948  df-mpl 21950

This theorem is referenced by:  mplsubrgcl  22072