Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqabs 15160
 Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of a finite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqabs.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqabs.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
seqabs.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
seqabs (𝜑 → (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem seqabs
StepHypRef Expression
1 fzfid 13336 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
2 seqabs.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
31, 2fsumabs 15147 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(abs‘(𝐹𝑘)))
4 eqidd 2825 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
5 seqabs.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
64, 5, 2fsumser 15078 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
76fveq2d 6657 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘)) = (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
8 seqabs.3 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
9 abscl 14629 . . . . 5 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
109recnd 10656 . . . 4 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
112, 10syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
128, 5, 11fsumser 15078 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(abs‘(𝐹𝑘)) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
133, 7, 123brtr3d 5080 1 (𝜑 → (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5049  ‘cfv 6338  (class class class)co 7140  ℂcc 10522   + caddc 10527   ≤ cle 10663  ℤ≥cuz 12231  ...cfz 12885  seqcseq 13364  abscabs 14584  Σcsu 15033 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-inf2 9090  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-se 5498  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-isom 6347  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034 This theorem is referenced by:  iserabs  15161
 Copyright terms: Public domain W3C validator