MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iserabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iserabs 15801
Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of an infinite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iserabs.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iserabs.2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
iserabs.3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐡)
iserabs.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iserabs.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
iserabs.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
iserabs (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΄) ≀ 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem iserabs
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iserabs.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 iserabs.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 iserabs.2 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
41fvexi 6916 . . . . 5 𝑍 ∈ V
54mptex 7241 . . . 4 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š))) ∈ V
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š))) ∈ V)
7 iserabs.6 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
81, 2, 7serf 14035 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
98ffvelcdmda 7099 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
10 2fveq3 6907 . . . . 5 (π‘š = 𝑛 β†’ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)) = (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)))
11 eqid 2728 . . . . 5 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š))) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)))
12 fvex 6915 . . . . 5 (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 7010 . . . 4 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)))β€˜π‘›) = (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)))
1413adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)))β€˜π‘›) = (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)))
151, 3, 6, 2, 9, 14climabs 15588 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š))) ⇝ (absβ€˜π΄))
16 iserabs.3 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐡)
179abscld 15423 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)) ∈ ℝ)
1814, 17eqeltrd 2829 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)))β€˜π‘›) ∈ ℝ)
19 iserabs.7 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
207abscld 15423 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
2119, 20eqeltrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
221, 2, 21serfre 14036 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺):π‘βŸΆβ„)
2322ffvelcdmda 7099 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) ∈ ℝ)
24 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
2524, 1eleqtrdi 2839 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
26 elfzuz 13537 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2726, 1eleqtrrdi 2840 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2827, 7sylan2 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2928adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3027, 19sylan2 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
3130adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
3225, 29, 31seqabs 15800 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)) ≀ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›))
3314, 32eqbrtrd 5174 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)))β€˜π‘›) ≀ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›))
341, 2, 15, 16, 18, 23, 33climle 15624 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΄) ≀ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145   + caddc 11149   ≀ cle 11287  β„€cz 12596  β„€β‰₯cuz 12860  ...cfz 13524  seqcseq 14006  abscabs 15221   ⇝ cli 15468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673
This theorem is referenced by:  eftlub  16093  abelthlem7  26395
  Copyright terms: Public domain W3C validator