MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iserabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iserabs 15764
Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of an infinite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iserabs.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iserabs.2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
iserabs.3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐡)
iserabs.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iserabs.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
iserabs.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
iserabs (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΄) ≀ 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem iserabs
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iserabs.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 iserabs.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 iserabs.2 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
41fvexi 6898 . . . . 5 𝑍 ∈ V
54mptex 7219 . . . 4 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š))) ∈ V
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š))) ∈ V)
7 iserabs.6 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
81, 2, 7serf 13998 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
98ffvelcdmda 7079 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
10 2fveq3 6889 . . . . 5 (π‘š = 𝑛 β†’ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)) = (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)))
11 eqid 2726 . . . . 5 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š))) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)))
12 fvex 6897 . . . . 5 (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6991 . . . 4 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)))β€˜π‘›) = (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)))
1413adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)))β€˜π‘›) = (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)))
151, 3, 6, 2, 9, 14climabs 15551 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š))) ⇝ (absβ€˜π΄))
16 iserabs.3 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐡)
179abscld 15386 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)) ∈ ℝ)
1814, 17eqeltrd 2827 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)))β€˜π‘›) ∈ ℝ)
19 iserabs.7 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
207abscld 15386 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
2119, 20eqeltrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
221, 2, 21serfre 13999 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺):π‘βŸΆβ„)
2322ffvelcdmda 7079 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) ∈ ℝ)
24 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
2524, 1eleqtrdi 2837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
26 elfzuz 13500 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2726, 1eleqtrrdi 2838 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2827, 7sylan2 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2928adantlr 712 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3027, 19sylan2 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
3130adantlr 712 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
3225, 29, 31seqabs 15763 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)) ≀ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›))
3314, 32eqbrtrd 5163 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)))β€˜π‘›) ≀ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›))
341, 2, 15, 16, 18, 23, 33climle 15587 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΄) ≀ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108   + caddc 11112   ≀ cle 11250  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  ...cfz 13487  seqcseq 13969  abscabs 15184   ⇝ cli 15431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636
This theorem is referenced by:  eftlub  16056  abelthlem7  26325
  Copyright terms: Public domain W3C validator