Theorem iserabs 15739

Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of an infinite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iserabs.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iserabs.2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
iserabs.3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
iserabs.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iserabs.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
iserabs.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
iserabs	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iserabs

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iserabs.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		iserabs.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		iserabs.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
4	1	fvexi 6846	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
5	4	mptex 7169	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) ∈ V)
7		iserabs.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
8	1, 2, 7	serf 13954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
9	8	ffvelcdmda 7028	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
10		2fveq3 6837	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)) = (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)))
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))
12		fvex 6845	. . . . 5 ⊢ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6939	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) = (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)))
14	13	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) = (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)))
15	1, 3, 6, 2, 9, 14	climabs 15528	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) ⇝ (abs‘𝐴))
16		iserabs.3	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
17	9	abscld 15363	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)) ∈ ℝ)
18	14, 17	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) ∈ ℝ)
19		iserabs.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
20	7	abscld 15363	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
21	19, 20	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
22	1, 2, 21	serfre 13955	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℝ)
23	22	ffvelcdmda 7028	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛) ∈ ℝ)
24		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
25	24, 1	eleqtrdi 2847	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26		elfzuz 13437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
27	26, 1	eleqtrrdi 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28	27, 7	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
29	28	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	27, 19	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
31	30	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
32	25, 29, 31	seqabs 15738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛))
33	14, 32	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛))
34	1, 2, 15, 16, 18, 23, 33	climle 15564	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  ℝcr 11026   + caddc 11030   ≤ cle 11168  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12752  ...cfz 13424  seqcseq 13925  abscabs 15158   ⇝ cli 15408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-rp 12907  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-seq 13926  df-exp 13986  df-hash 14255  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-clim 15412  df-rlim 15413  df-sum 15611

This theorem is referenced by:  eftlub  16035  abelthlem7  26388