Theorem iserabs 15801

Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of an infinite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iserabs.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iserabs.2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
iserabs.3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
iserabs.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iserabs.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
iserabs.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
iserabs	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iserabs

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iserabs.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		iserabs.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		iserabs.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
4	1	fvexi 6916	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
5	4	mptex 7241	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) ∈ V)
7		iserabs.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
8	1, 2, 7	serf 14035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
9	8	ffvelcdmda 7099	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
10		2fveq3 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)) = (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)))
11		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))
12		fvex 6915	. . . . 5 ⊢ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 7010	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) = (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)))
14	13	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) = (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)))
15	1, 3, 6, 2, 9, 14	climabs 15588	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) ⇝ (abs‘𝐴))
16		iserabs.3	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
17	9	abscld 15423	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)) ∈ ℝ)
18	14, 17	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) ∈ ℝ)
19		iserabs.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
20	7	abscld 15423	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
21	19, 20	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
22	1, 2, 21	serfre 14036	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℝ)
23	22	ffvelcdmda 7099	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛) ∈ ℝ)
24		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
25	24, 1	eleqtrdi 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26		elfzuz 13537	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
27	26, 1	eleqtrrdi 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28	27, 7	sylan2 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
29	28	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	27, 19	sylan2 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
31	30	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
32	25, 29, 31	seqabs 15800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛))
33	14, 32	eqbrtrd 5174	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛))
34	1, 2, 15, 16, 18, 23, 33	climle 15624	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  ℝcr 11145   + caddc 11149   ≤ cle 11287  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ...cfz 13524  seqcseq 14006  abscabs 15221   ⇝ cli 15468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673

This theorem is referenced by:  eftlub  16093  abelthlem7  26395