MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iserabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iserabs 15851
Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of an infinite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iserabs.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iserabs.2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
iserabs.3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
iserabs.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iserabs.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
iserabs.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
iserabs (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iserabs
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iserabs.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iserabs.5 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iserabs.2 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
41fvexi 6920 . . . . 5 𝑍 ∈ V
54mptex 7243 . . . 4 (𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) ∈ V
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) ∈ V)
7 iserabs.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
81, 2, 7serf 14071 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
98ffvelcdmda 7104 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
10 2fveq3 6911 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)) = (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)))
11 eqid 2737 . . . . 5 (𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) = (𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))
12 fvex 6919 . . . . 5 (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 7016 . . . 4 (𝑛𝑍 → ((𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) = (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)))
1413adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) = (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)))
151, 3, 6, 2, 9, 14climabs 15640 . 2 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) ⇝ (abs‘𝐴))
16 iserabs.3 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
179abscld 15475 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)) ∈ ℝ)
1814, 17eqeltrd 2841 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) ∈ ℝ)
19 iserabs.7 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
207abscld 15475 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2119, 20eqeltrd 2841 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
221, 2, 21serfre 14072 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℝ)
2322ffvelcdmda 7104 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛) ∈ ℝ)
24 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
2524, 1eleqtrdi 2851 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
26 elfzuz 13560 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2726, 1eleqtrrdi 2852 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘𝑍)
2827, 7sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2928adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3027, 19sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
3130adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
3225, 29, 31seqabs 15850 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛))
3314, 32eqbrtrd 5165 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛))
341, 2, 15, 16, 18, 23, 33climle 15676 1 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154   + caddc 11158  cle 11296  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  seqcseq 14042  abscabs 15273  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  eftlub  16145  abelthlem7  26482
  Copyright terms: Public domain W3C validator