MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumser 15620
Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. The recursive definition follows as fsum1 15637 and fsump1i 15659, which should make our notation clear and from which, along with closure fsumcl 15623, we will derive the basic properties of finite sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumser.1 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
fsumser.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fsumser.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumser (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fsumser
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2817 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
2 fveq2 6843 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
31, 2ifbieq1d 4511 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0))
4 eqid 2733 . . . . 5 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))
5 fvex 6856 . . . . . 6 (𝐹𝑘) ∈ V
6 c0ex 11154 . . . . . 6 0 ∈ V
75, 6ifex 4537 . . . . 5 if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0) ∈ V
83, 4, 7fvmpt 6949 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0))
9 fsumser.1 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
109ifeq1da 4518 . . . 4 (𝜑 → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), 𝐴, 0))
118, 10sylan9eqr 2795 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), 𝐴, 0))
12 fsumser.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
13 fsumser.3 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14 ssidd 3968 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
1511, 12, 13, 14fsumsers 15618 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0)))‘𝑁))
16 elfzuz 13443 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1716, 8syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0))
18 iftrue 4493 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑘))
1917, 18eqtrd 2773 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
2019adantl 483 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
2112, 20seqfveq 13938 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0)))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
2215, 21eqtrd 2773 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4487  cmpt 5189  cfv 6497  (class class class)co 7358  cc 11054  0cc0 11056   + caddc 11059  cuz 12768  ...cfz 13430  seqcseq 13912  Σcsu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by:  isumclim3  15649  seqabs  15704  cvgcmpce  15708  isumsplit  15730  climcndslem1  15739  climcndslem2  15740  climcnds  15741  trireciplem  15752  geolim  15760  geo2lim  15765  mertenslem2  15775  mertens  15776  efcvgfsum  15973  effsumlt  15998  prmreclem6  16798  prmrec  16799  ovollb2lem  24868  ovoliunlem1  24882  ovoliun2  24886  ovolscalem1  24893  ovolicc2lem4  24900  uniioovol  24959  uniioombllem3  24965  uniioombllem6  24968  mtest  25779  mtestbdd  25780  psercn2  25798  pserdvlem2  25803  abelthlem6  25811  logfac  25972  emcllem5  26365  lgamcvg2  26420  basellem8  26453  prmorcht  26543  pclogsum  26579  dchrisumlem2  26854  dchrmusum2  26858  dchrvmasumiflem1  26865  dchrisum0re  26877  dchrisum0lem1b  26879  dchrisum0lem2a  26881  dchrisum0lem2  26882  esumpcvgval  32734  esumcvg  32742  esumcvgsum  32744  knoppcnlem11  35012  fsumsermpt  43906  sumnnodd  43957  fourierdlem112  44545  sge0isum  44754  sge0seq  44773
  Copyright terms: Public domain W3C validator