Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumser 15087
 Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. The recursive definition follows as fsum1 15102 and fsump1i 15124, which should make our notation clear and from which, along with closure fsumcl 15090, we will derive the basic properties of finite sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumser.1 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
fsumser.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fsumser.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumser (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fsumser
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2898 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
2 fveq2 6661 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
31, 2ifbieq1d 4473 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0))
4 eqid 2824 . . . . 5 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))
5 fvex 6674 . . . . . 6 (𝐹𝑘) ∈ V
6 c0ex 10633 . . . . . 6 0 ∈ V
75, 6ifex 4498 . . . . 5 if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0) ∈ V
83, 4, 7fvmpt 6759 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0))
9 fsumser.1 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
109ifeq1da 4480 . . . 4 (𝜑 → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), 𝐴, 0))
118, 10sylan9eqr 2881 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), 𝐴, 0))
12 fsumser.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
13 fsumser.3 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14 ssidd 3976 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
1511, 12, 13, 14fsumsers 15085 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0)))‘𝑁))
16 elfzuz 12907 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1716, 8syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0))
18 iftrue 4456 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑘))
1917, 18eqtrd 2859 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
2019adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
2112, 20seqfveq 13399 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0)))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
2215, 21eqtrd 2859 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ifcif 4450   ↦ cmpt 5132  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℂcc 10533  0cc0 10535   + caddc 10538  ℤ≥cuz 12240  ...cfz 12894  seqcseq 13373  Σcsu 15042 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043 This theorem is referenced by:  isumclim3  15114  seqabs  15169  cvgcmpce  15173  isumsplit  15195  climcndslem1  15204  climcndslem2  15205  climcnds  15206  trireciplem  15217  geolim  15226  geo2lim  15231  mertenslem2  15241  mertens  15242  efcvgfsum  15439  effsumlt  15464  prmreclem6  16255  prmrec  16256  ovollb2lem  24098  ovoliunlem1  24112  ovoliun2  24116  ovolscalem1  24123  ovolicc2lem4  24130  uniioovol  24189  uniioombllem3  24195  uniioombllem6  24198  mtest  25005  mtestbdd  25006  psercn2  25024  pserdvlem2  25029  abelthlem6  25037  logfac  25198  emcllem5  25591  lgamcvg2  25646  basellem8  25679  prmorcht  25769  pclogsum  25805  dchrisumlem2  26080  dchrmusum2  26084  dchrvmasumiflem1  26091  dchrisum0re  26103  dchrisum0lem1b  26105  dchrisum0lem2a  26107  dchrisum0lem2  26108  esumpcvgval  31397  esumcvg  31405  esumcvgsum  31407  knoppcnlem11  33902  fsumsermpt  42151  sumnnodd  42202  fourierdlem112  42790  sge0isum  42996  sge0seq  43015
 Copyright terms: Public domain W3C validator