Theorem fsumser 15637

Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. The recursive definition follows as fsum1 15654 and fsump1i 15676, which should make our notation clear and from which, along with closure fsumcl 15640, we will derive the basic properties of finite sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumser.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
fsumser.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fsumser.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumser	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fsumser

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
2		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
3	1, 2	ifbieq1d 4497	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0))
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0)) = (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))
5		fvex 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
6		c0ex 11106	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
7	5, 6	ifex 4523	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0) ∈ V
8	3, 4, 7	fvmpt 6929	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0))
9		fsumser.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
10	9	ifeq1da 4504	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), 𝐴, 0))
11	8, 10	sylan9eqr 2788	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), 𝐴, 0))
12		fsumser.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13		fsumser.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		ssidd 3953	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
15	11, 12, 13, 14	fsumsers 15635	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0)))‘𝑁))
16		elfzuz 13420	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17	16, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0))
18		iftrue 4478	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑘))
19	17, 18	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
20	19	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
21	12, 20	seqfveq 13933	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0)))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
22	15, 21	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ifcif 4472   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006   + caddc 11009  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407  seqcseq 13908  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594

This theorem is referenced by:  isumclim3  15666  seqabs  15721  cvgcmpce  15725  isumsplit  15747  climcndslem1  15756  climcndslem2  15757  climcnds  15758  trireciplem  15769  geolim  15777  geo2lim  15782  mertenslem2  15792  mertens  15793  efcvgfsum  15993  effsumlt  16020  prmreclem6  16833  prmrec  16834  ovollb2lem  25416  ovoliunlem1  25430  ovoliun2  25434  ovolscalem1  25441  ovolicc2lem4  25448  uniioovol  25507  uniioombllem3  25513  uniioombllem6  25516  mtest  26340  mtestbdd  26341  psercn2  26359  psercn2OLD  26360  pserdvlem2  26365  abelthlem6  26373  logfac  26537  emcllem5  26937  lgamcvg2  26992  basellem8  27025  prmorcht  27115  pclogsum  27153  dchrisumlem2  27428  dchrmusum2  27432  dchrvmasumiflem1  27439  dchrisum0re  27451  dchrisum0lem1b  27453  dchrisum0lem2a  27455  dchrisum0lem2  27456  esumpcvgval  34091  esumcvg  34099  esumcvgsum  34101  knoppcnlem11  36547  fsumsermpt  45689  sumnnodd  45740  fourierdlem112  46326  sge0isum  46535  sge0seq  46554