MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumser 15075
Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. The recursive definition follows as fsum1 15090 and fsump1i 15112, which should make our notation clear and from which, along with closure fsumcl 15078, we will derive the basic properties of finite sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumser.1 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
fsumser.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fsumser.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumser (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fsumser
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2892 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
2 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
31, 2ifbieq1d 4486 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0))
4 eqid 2818 . . . . 5 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))
5 fvex 6676 . . . . . 6 (𝐹𝑘) ∈ V
6 c0ex 10623 . . . . . 6 0 ∈ V
75, 6ifex 4511 . . . . 5 if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0) ∈ V
83, 4, 7fvmpt 6761 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0))
9 fsumser.1 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
109ifeq1da 4493 . . . 4 (𝜑 → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), 𝐴, 0))
118, 10sylan9eqr 2875 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), 𝐴, 0))
12 fsumser.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
13 fsumser.3 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14 ssidd 3987 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
1511, 12, 13, 14fsumsers 15073 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0)))‘𝑁))
16 elfzuz 12892 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1716, 8syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0))
18 iftrue 4469 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑘))
1917, 18eqtrd 2853 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
2019adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
2112, 20seqfveq 13382 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0)))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
2215, 21eqtrd 2853 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  ifcif 4463  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525   + caddc 10528  cuz 12231  ...cfz 12880  seqcseq 13357  Σcsu 15030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031
This theorem is referenced by:  isumclim3  15102  seqabs  15157  cvgcmpce  15161  isumsplit  15183  climcndslem1  15192  climcndslem2  15193  climcnds  15194  trireciplem  15205  geolim  15214  geo2lim  15219  mertenslem2  15229  mertens  15230  efcvgfsum  15427  effsumlt  15452  prmreclem6  16245  prmrec  16246  ovollb2lem  24016  ovoliunlem1  24030  ovoliun2  24034  ovolscalem1  24041  ovolicc2lem4  24048  uniioovol  24107  uniioombllem3  24113  uniioombllem6  24116  mtest  24919  mtestbdd  24920  psercn2  24938  pserdvlem2  24943  abelthlem6  24951  logfac  25111  emcllem5  25504  lgamcvg2  25559  basellem8  25592  prmorcht  25682  pclogsum  25718  dchrisumlem2  25993  dchrmusum2  25997  dchrvmasumiflem1  26004  dchrisum0re  26016  dchrisum0lem1b  26018  dchrisum0lem2a  26020  dchrisum0lem2  26021  esumpcvgval  31236  esumcvg  31244  esumcvgsum  31246  knoppcnlem11  33739  fsumsermpt  41736  sumnnodd  41787  fourierdlem112  42380  sge0isum  42586  sge0seq  42605
  Copyright terms: Public domain W3C validator