Theorem fsumser 15806

Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. The recursive definition follows as fsum1 15823 and fsump1i 15845, which should make our notation clear and from which, along with closure fsumcl 15809, we will derive the basic properties of finite sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumser.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
fsumser.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fsumser.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumser	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fsumser

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
2		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
3	1, 2	ifbieq1d 4514	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0))
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0)) = (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))
5		fvex 6898	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
6		c0ex 11217	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
7	5, 6	ifex 4540	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0) ∈ V
8	3, 4, 7	fvmpt 6993	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0))
9		fsumser.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
10	9	ifeq1da 4521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), 𝐴, 0))
11	8, 10	sylan9eqr 2822	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), 𝐴, 0))
12		fsumser.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13		fsumser.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		ssidd 3961	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
15	11, 12, 13, 14	fsumsers 15804	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0)))‘𝑁))
16		elfzuz 13566	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17	16, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0))
18		iftrue 4495	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑘))
19	17, 18	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
20	19	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
21	12, 20	seqfveq 14082	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹‘𝑚), 0)))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
22	15, 21	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4489   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  0cc0 11117   + caddc 11120  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  seqcseq 14057  Σcsu 15763

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764

This theorem is used by:  isumclim3  15835  seqabs  15891  cvgcmpce  15895  isumsplit  15919  climcndslem1  15928  climcndslem2  15929  climcnds  15930  trireciplem  15941  geolim  15949  geo2lim  15954  mertenslem2  15964  mertens  15965  efcvgfsum  16164  effsumlt  16191  prmreclem6  17005  prmrec  17006  ovollb2lem  25700  ovoliunlem1  25714  ovoliun2  25718  ovolscalem1  25725  ovolicc2lem4  25732  uniioovol  25791  uniioombllem3  25797  uniioombllem6  25800  mtest  26620  mtestbdd  26621  psercn2  26639  pserdvlem2  26644  abelthlem6  26652  logfac  26819  emcllem5  27217  lgamcvg2  27272  basellem8  27305  prmorcht  27395  pclogsum  27432  dchrisumlem2  27707  dchrmusum2  27711  dchrvmasumiflem1  27718  dchrisum0re  27730  dchrisum0lem1b  27732  dchrisum0lem2a  27734  dchrisum0lem2  27735  esumpcvgval  34534  esumcvg  34542  esumcvgsum  34544  knoppcnlem11  37151  fsumsermpt  46355  sumnnodd  46406  fourierdlem112  46992  sge0isum  47201  sge0seq  47220