MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  effsumlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem effsumlt 16061
Description: The partial sums of the series expansion of the exponential function at a positive real number are bounded by the value of the function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
effsumlt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
effsumlt.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
effsumlt.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
effsumlt (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) < (expβ€˜π΄))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem effsumlt
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12868 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12574 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
3 effsumlt.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
43eftval 16026 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
54adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
6 effsumlt.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
76rpred 13022 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8 reeftcl 16024 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
97, 8sylan 579 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
105, 9eqeltrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
111, 2, 10serfre 14002 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐹):β„•0βŸΆβ„)
12 effsumlt.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1311, 12ffvelcdmd 7081 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) ∈ ℝ)
14 eqid 2726 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))
15 peano2nn0 12516 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
1612, 15syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
17 eqidd 2727 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
18 nn0z 12587 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
19 rpexpcl 14051 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π΄β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
206, 18, 19syl2an 595 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
21 faccl 14248 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
2221adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
2322nnrpd 13020 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
2420, 23rpdivcld 13039 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ ℝ+)
255, 24eqeltrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
267recnd 11246 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
273efcllem 16027 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
2826, 27syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
291, 14, 16, 17, 25, 28isumrpcl 15795 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
3013, 29ltaddrpd 13055 . 2 (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) < ((seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜)))
313efval2 16034 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘˜))
3226, 31syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (expβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘˜))
3310recnd 11246 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
341, 14, 16, 17, 33, 28isumsplit 15792 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜)))
3512nn0cnd 12538 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
36 ax-1cn 11170 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
37 pncan 11470 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
3835, 36, 37sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
3938oveq2d 7421 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (0...𝑁))
4039sumeq1d 15653 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜))
41 eqidd 2727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
4212, 1eleqtrdi 2837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
43 elfznn0 13600 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
4443, 33sylan2 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4541, 42, 44fsumser 15682 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) = (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘))
4640, 45eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) = (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘))
4746oveq1d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜)) = ((seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜)))
4832, 34, 473eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ (expβ€˜π΄) = ((seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜)))
4930, 48breqtrrd 5169 1 (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) < (expβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12980  ...cfz 13490  seqcseq 13972  β†‘cexp 14032  !cfa 14238   ⇝ cli 15434  Ξ£csu 15638  expce 16011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017
This theorem is referenced by:  efgt1p2  16064  efgt1p  16065
  Copyright terms: Public domain W3C validator