Theorem effsumlt 16079

Description: The partial sums of the series expansion of the exponential function at a positive real number are bounded by the value of the function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
effsumlt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
effsumlt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
effsumlt.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
effsumlt	⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem effsumlt

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12835	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		effsumlt.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4	3	eftval 16042	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
6		effsumlt.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7	6	rpred 12995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		reeftcl 16040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
9	7, 8	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
10	5, 9	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
11	1, 2, 10	serfre 13996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹):ℕ0⟶ℝ)
12		effsumlt.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	11, 12	ffvelcdmd 7057	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
14		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
15		peano2nn0 12482	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
16	12, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
17		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
18		nn0z 12554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
19		rpexpcl 14045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
20	6, 18, 19	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
21		faccl 14248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
23	22	nnrpd 12993	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
24	20, 23	rpdivcld 13012	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
25	5, 24	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
26	7	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
27	3	efcllem 16043	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
28	26, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
29	1, 14, 16, 17, 25, 28	isumrpcl 15809	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
30	13, 29	ltaddrpd 13028	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
31	3	efval2 16050	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘))
32	26, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘))
33	10	recnd 11202	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	1, 14, 16, 17, 33, 28	isumsplit 15806	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
35	12	nn0cnd 12505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
36		ax-1cn 11126	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		pncan 11427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
38	35, 36, 37	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
39	38	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
40	39	sumeq1d 15666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘))
41		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
42	12, 1	eleqtrdi 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
43		elfznn0 13581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
44	43, 33	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
45	41, 42, 44	fsumser 15696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
46	40, 45	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
47	46	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
48	32, 34, 47	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
49	30, 48	breqtrrd 5135	1 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ℝ⁺crp 12951  ...cfz 13468  seqcseq 13966  ↑cexp 14026  !cfa 14238   ⇝ cli 15450  Σcsu 15652  expce 16027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-ico 13312  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033

This theorem is referenced by:  efgt1p2  16082  efgt1p  16083