Theorem effsumlt 16143

Description: The partial sums of the series expansion of the exponential function at a positive real number are bounded by the value of the function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
effsumlt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
effsumlt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
effsumlt.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
effsumlt	⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem effsumlt

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12917	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12622	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		effsumlt.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4	3	eftval 16108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
6		effsumlt.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7	6	rpred 13074	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		reeftcl 16106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
9	7, 8	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
10	5, 9	eqeltrd 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
11	1, 2, 10	serfre 14068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹):ℕ0⟶ℝ)
12		effsumlt.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	11, 12	ffvelcdmd 7104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
14		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
15		peano2nn0 12563	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
16	12, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
17		eqidd 2735	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
18		nn0z 12635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
19		rpexpcl 14117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
20	6, 18, 19	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
21		faccl 14318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
23	22	nnrpd 13072	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
24	20, 23	rpdivcld 13091	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
25	5, 24	eqeltrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
26	7	recnd 11286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
27	3	efcllem 16109	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
28	26, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
29	1, 14, 16, 17, 25, 28	isumrpcl 15875	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
30	13, 29	ltaddrpd 13107	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
31	3	efval2 16116	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘))
32	26, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘))
33	10	recnd 11286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	1, 14, 16, 17, 33, 28	isumsplit 15872	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
35	12	nn0cnd 12586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
36		ax-1cn 11210	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		pncan 11511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
38	35, 36, 37	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
39	38	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
40	39	sumeq1d 15732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘))
41		eqidd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
42	12, 1	eleqtrdi 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
43		elfznn0 13656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
44	43, 33	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
45	41, 42, 44	fsumser 15762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
46	40, 45	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
47	46	oveq1d 7445	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
48	32, 34, 47	3eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
49	30, 48	breqtrrd 5175	1 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5688  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292   − cmin 11489   / cdiv 11917  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  ℝ⁺crp 13031  ...cfz 13543  seqcseq 14038  ↑cexp 14098  !cfa 14308   ⇝ cli 15516  Σcsu 15718  expce 16093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099

This theorem is referenced by:  efgt1p2  16146  efgt1p  16147