Theorem effsumlt 16020

Description: The partial sums of the series expansion of the exponential function at a positive real number are bounded by the value of the function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
effsumlt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
effsumlt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
effsumlt.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
effsumlt	⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem effsumlt

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12774	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12480	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		effsumlt.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4	3	eftval 15983	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
6		effsumlt.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7	6	rpred 12934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		reeftcl 15981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
9	7, 8	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
10	5, 9	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
11	1, 2, 10	serfre 13938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹):ℕ0⟶ℝ)
12		effsumlt.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	11, 12	ffvelcdmd 7018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
14		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
15		peano2nn0 12421	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
16	12, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
17		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
18		nn0z 12493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
19		rpexpcl 13987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
20	6, 18, 19	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
21		faccl 14190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
23	22	nnrpd 12932	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
24	20, 23	rpdivcld 12951	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
25	5, 24	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
26	7	recnd 11140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
27	3	efcllem 15984	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
28	26, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
29	1, 14, 16, 17, 25, 28	isumrpcl 15750	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
30	13, 29	ltaddrpd 12967	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
31	3	efval2 15991	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘))
32	26, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘))
33	10	recnd 11140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	1, 14, 16, 17, 33, 28	isumsplit 15747	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
35	12	nn0cnd 12444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
36		ax-1cn 11064	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		pncan 11366	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
38	35, 36, 37	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
39	38	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
40	39	sumeq1d 15607	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘))
41		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
42	12, 1	eleqtrdi 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
43		elfznn0 13520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
44	43, 33	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
45	41, 42, 44	fsumser 15637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
46	40, 45	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
47	46	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
48	32, 34, 47	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
49	30, 48	breqtrrd 5117	1 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   < clt 11146   − cmin 11344   / cdiv 11774  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ℝ⁺crp 12890  ...cfz 13407  seqcseq 13908  ↑cexp 13968  !cfa 14180   ⇝ cli 15391  Σcsu 15593  expce 15968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974

This theorem is referenced by:  efgt1p2  16023  efgt1p  16024