MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  effsumlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem effsumlt 15998
Description: The partial sums of the series expansion of the exponential function at a positive real number are bounded by the value of the function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
effsumlt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
effsumlt.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
effsumlt.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
effsumlt (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) < (expβ€˜π΄))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem effsumlt
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12810 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12516 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
3 effsumlt.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
43eftval 15964 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
54adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
6 effsumlt.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
76rpred 12962 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8 reeftcl 15962 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
97, 8sylan 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
105, 9eqeltrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
111, 2, 10serfre 13943 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐹):β„•0βŸΆβ„)
12 effsumlt.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1311, 12ffvelcdmd 7037 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) ∈ ℝ)
14 eqid 2733 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))
15 peano2nn0 12458 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
1612, 15syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
17 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
18 nn0z 12529 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
19 rpexpcl 13992 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π΄β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
206, 18, 19syl2an 597 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
21 faccl 14189 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
2221adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
2322nnrpd 12960 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
2420, 23rpdivcld 12979 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ ℝ+)
255, 24eqeltrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
267recnd 11188 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
273efcllem 15965 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
2826, 27syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
291, 14, 16, 17, 25, 28isumrpcl 15733 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
3013, 29ltaddrpd 12995 . 2 (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) < ((seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜)))
313efval2 15971 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘˜))
3226, 31syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (expβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘˜))
3310recnd 11188 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
341, 14, 16, 17, 33, 28isumsplit 15730 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜)))
3512nn0cnd 12480 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
36 ax-1cn 11114 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
37 pncan 11412 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
3835, 36, 37sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
3938oveq2d 7374 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (0...𝑁))
4039sumeq1d 15591 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜))
41 eqidd 2734 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
4212, 1eleqtrdi 2844 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
43 elfznn0 13540 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
4443, 33sylan2 594 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4541, 42, 44fsumser 15620 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) = (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘))
4640, 45eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) = (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘))
4746oveq1d 7373 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜)) = ((seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜)))
4832, 34, 473eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (expβ€˜π΄) = ((seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜)))
4930, 48breqtrrd 5134 1 (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) < (expβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  β„+crp 12920  ...cfz 13430  seqcseq 13912  β†‘cexp 13973  !cfa 14179   ⇝ cli 15372  Ξ£csu 15576  expce 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955
This theorem is referenced by:  efgt1p2  16001  efgt1p  16002
  Copyright terms: Public domain W3C validator