Theorem effsumlt 15808

Description: The partial sums of the series expansion of the exponential function at a positive real number are bounded by the value of the function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
effsumlt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
effsumlt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
effsumlt.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
effsumlt	⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem effsumlt

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12608	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12319	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		effsumlt.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4	3	eftval 15774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5	4	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
6		effsumlt.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7	6	rpred 12760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		reeftcl 15772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
9	7, 8	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
10	5, 9	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
11	1, 2, 10	serfre 13740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹):ℕ0⟶ℝ)
12		effsumlt.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	11, 12	ffvelrnd 6955	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
15		peano2nn0 12261	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
16	12, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
17		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
18		nn0z 12331	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
19		rpexpcl 13789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
20	6, 18, 19	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
21		faccl 13985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
22	21	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
23	22	nnrpd 12758	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
24	20, 23	rpdivcld 12777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
25	5, 24	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
26	7	recnd 10991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
27	3	efcllem 15775	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
28	26, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
29	1, 14, 16, 17, 25, 28	isumrpcl 15543	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
30	13, 29	ltaddrpd 12793	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
31	3	efval2 15781	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘))
32	26, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘))
33	10	recnd 10991	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	1, 14, 16, 17, 33, 28	isumsplit 15540	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
35	12	nn0cnd 12283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
36		ax-1cn 10917	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		pncan 11215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
38	35, 36, 37	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
39	38	oveq2d 7284	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
40	39	sumeq1d 15401	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘))
41		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
42	12, 1	eleqtrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
43		elfznn0 13337	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
44	43, 33	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
45	41, 42, 44	fsumser 15430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
46	40, 45	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
47	46	oveq1d 7283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
48	32, 34, 47	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))(𝐹‘𝑘)))
49	30, 48	breqtrrd 5102	1 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5585  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  ℂcc 10857  ℝcr 10858  0cc0 10859  1c1 10860   + caddc 10862   < clt 10997   − cmin 11193   / cdiv 11620  ℕcn 11961  ℕ₀cn0 12221  ℤcz 12307  ℤ_≥cuz 12570  ℝ⁺crp 12718  ...cfz 13227  seqcseq 13709  ↑cexp 13770  !cfa 13975   ⇝ cli 15181  Σcsu 15385  expce 15759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-inf2 9387  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-pm 8606  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-rp 12719  df-ico 13073  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-fl 13500  df-seq 13710  df-exp 13771  df-fac 13976  df-hash 14033  df-shft 14766  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-limsup 15168  df-clim 15185  df-rlim 15186  df-sum 15386  df-ef 15765

This theorem is referenced by:  efgt1p2  15811  efgt1p  15812