MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  effsumlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem effsumlt 16097
Description: The partial sums of the series expansion of the exponential function at a positive real number are bounded by the value of the function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
effsumlt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
effsumlt.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
effsumlt.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
effsumlt (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) < (expβ€˜π΄))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem effsumlt
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12904 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12610 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
3 effsumlt.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
43eftval 16062 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
54adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
6 effsumlt.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
76rpred 13058 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8 reeftcl 16060 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
97, 8sylan 578 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
105, 9eqeltrd 2829 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
111, 2, 10serfre 14038 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐹):β„•0βŸΆβ„)
12 effsumlt.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1311, 12ffvelcdmd 7100 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) ∈ ℝ)
14 eqid 2728 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))
15 peano2nn0 12552 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
1612, 15syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
17 eqidd 2729 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
18 nn0z 12623 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
19 rpexpcl 14087 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π΄β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
206, 18, 19syl2an 594 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
21 faccl 14284 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
2221adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
2322nnrpd 13056 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
2420, 23rpdivcld 13075 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ ℝ+)
255, 24eqeltrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
267recnd 11282 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
273efcllem 16063 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
2826, 27syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
291, 14, 16, 17, 25, 28isumrpcl 15831 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
3013, 29ltaddrpd 13091 . 2 (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) < ((seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜)))
313efval2 16070 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘˜))
3226, 31syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (expβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘˜))
3310recnd 11282 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
341, 14, 16, 17, 33, 28isumsplit 15828 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜)))
3512nn0cnd 12574 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
36 ax-1cn 11206 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
37 pncan 11506 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
3835, 36, 37sylancl 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
3938oveq2d 7442 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (0...𝑁))
4039sumeq1d 15689 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜))
41 eqidd 2729 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
4212, 1eleqtrdi 2839 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
43 elfznn0 13636 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
4443, 33sylan2 591 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4541, 42, 44fsumser 15718 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) = (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘))
4640, 45eqtrd 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) = (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘))
4746oveq1d 7441 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))(πΉβ€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜)) = ((seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜)))
4832, 34, 473eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ (expβ€˜π΄) = ((seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))(πΉβ€˜π‘˜)))
4930, 48breqtrrd 5180 1 (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐹)β€˜π‘) < (expβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146  β„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   < clt 11288   βˆ’ cmin 11484   / cdiv 11911  β„•cn 12252  β„•0cn0 12512  β„€cz 12598  β„€β‰₯cuz 12862  β„+crp 13016  ...cfz 13526  seqcseq 14008  β†‘cexp 14068  !cfa 14274   ⇝ cli 15470  Ξ£csu 15674  expce 16047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13372  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-hash 14332  df-shft 15056  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-ef 16053
This theorem is referenced by:  efgt1p2  16100  efgt1p  16101
  Copyright terms: Public domain W3C validator