MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  effsumlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem effsumlt 15252
Description: The partial sums of the series expansion of the exponential function at a positive real number are bounded by the value of the function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
effsumlt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
effsumlt.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
effsumlt.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
effsumlt (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem effsumlt
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12033 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11745 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 effsumlt.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
43eftval 15218 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
54adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
6 effsumlt.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
76rpred 12186 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 reeftcl 15216 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
97, 8sylan 575 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
105, 9eqeltrd 2859 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
111, 2, 10serfre 13153 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐹):ℕ0⟶ℝ)
12 effsumlt.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1311, 12ffvelrnd 6626 . . 3 (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
14 eqid 2778 . . . 4 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
15 peano2nn0 11689 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1612, 15syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
17 eqidd 2779 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
18 nn0z 11757 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
19 rpexpcl 13202 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
206, 18, 19syl2an 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
21 faccl 13394 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2221adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2322nnrpd 12184 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
2420, 23rpdivcld 12203 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
255, 24eqeltrd 2859 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
267recnd 10407 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
273efcllem 15219 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
2826, 27syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
291, 14, 16, 17, 25, 28isumrpcl 14988 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
3013, 29ltaddrpd 12219 . 2 (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)))
313efval2 15225 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘))
3226, 31syl 17 . . 3 (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘))
3310recnd 10407 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
341, 14, 16, 17, 33, 28isumsplit 14985 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)))
3512nn0cnd 11709 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
36 ax-1cn 10332 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
37 pncan 10630 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
3835, 36, 37sylancl 580 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
3938oveq2d 6940 . . . . . 6 (𝜑 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
4039sumeq1d 14848 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘))
41 eqidd 2779 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
4212, 1syl6eleq 2869 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
43 elfznn0 12756 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4443, 33sylan2 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4541, 42, 44fsumser 14877 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
4640, 45eqtrd 2814 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
4746oveq1d 6939 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)))
4832, 34, 473eqtrd 2818 . 2 (𝜑 → (exp‘𝐴) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)))
4930, 48breqtrrd 4916 1 (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4888  cmpt 4967  dom cdm 5357  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   < clt 10413  cmin 10608   / cdiv 11035  cn 11379  0cn0 11647  cz 11733  cuz 11997  +crp 12142  ...cfz 12648  seqcseq 13124  cexp 13183  !cfa 13384  cli 14632  Σcsu 14833  expce 15203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-ico 12498  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-fl 12917  df-seq 13125  df-exp 13184  df-fac 13385  df-hash 13442  df-shft 14220  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-limsup 14619  df-clim 14636  df-rlim 14637  df-sum 14834  df-ef 15209
This theorem is referenced by:  efgt1p2  15255  efgt1p  15256
  Copyright terms: Public domain W3C validator