Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0resrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0resrn 43617
Description: The sum of nonnegative extended reals restricted to the range of a function is less than or equal to the sum of the composition of the two functions (well-order hypothesis allows to avoid using the axiom of choice). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0resrn.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0resrn.f (𝜑𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
sge0resrn.g (𝜑𝐺:𝐴𝐵)
sge0resrn.r (𝜑𝑅 We 𝐴)
Assertion
Ref Expression
sge0resrn (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))

Proof of Theorem sge0resrn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0resrn.g . . . 4 (𝜑𝐺:𝐴𝐵)
21ffnd 6546 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
3 sge0resrn.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
4 sge0resrn.r . . 3 (𝜑𝑅 We 𝐴)
52, 3, 4wessf1orn 42396 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺)
633ad2ant1 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺) → 𝐴𝑉)
7 sge0resrn.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
873ad2ant1 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺) → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
913ad2ant1 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺) → 𝐺:𝐴𝐵)
10 simp2 1139 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
11 simp3 1140 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺) → (𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺)
126, 8, 9, 10, 11sge0resrnlem 43616 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺) → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))
13123exp 1121 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → ((𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))))
1413rexlimdv 3202 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺))))
155, 14mpd 15 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1089  wcel 2110  wrex 3062  𝒫 cpw 4513   class class class wbr 5053   We wwe 5508  ran crn 5552  cres 5553  ccom 5555  wf 6376  1-1-ontowf1o 6379  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  +∞cpnf 10864  cle 10868  [,]cicc 12938  Σ^csumge0 43575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250  df-sumge0 43576
This theorem is referenced by:  omeiunle  43730
  Copyright terms: Public domain W3C validator