Theorem sge0resrn 46424

Description: The sum of nonnegative extended reals restricted to the range of a function is less than or equal to the sum of the composition of the two functions (well-order hypothesis allows to avoid using the axiom of choice). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0resrn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0resrn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
sge0resrn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
sge0resrn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 We 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sge0resrn	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem sge0resrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0resrn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffnd 6736	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
3		sge0resrn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		sge0resrn.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 We 𝐴)
5	2, 3, 4	wessf1orn 45196	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺)
6	3	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺) → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		sge0resrn.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺) → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
9	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺) → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
10		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
11		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺) → (𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺)
12	6, 8, 9, 10, 11	sge0resrnlem 46423	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺) → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))
13	12	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → ((𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))))
14	13	rexlimdv 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺))))
15	5, 14	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069  𝒫 cpw 4599   class class class wbr 5142   We wwe 5635  ran crn 5685   ↾ cres 5686   ∘ ccom 5688  ⟶wf 6556  –1-1-onto→wf1o 6559  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  +∞cpnf 11293   ≤ cle 11297  [,]cicc 13391  Σ^{^}csumge0 46382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-sumge0 46383

This theorem is referenced by:  omeiunle  46537