Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0resrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0resrn 43104
 Description: The sum of nonnegative extended reals restricted to the range of a function is less than or equal to the sum of the composition of the two functions (well-order hypothesis allows to avoid using the axiom of choice). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0resrn.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0resrn.f (𝜑𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
sge0resrn.g (𝜑𝐺:𝐴𝐵)
sge0resrn.r (𝜑𝑅 We 𝐴)
Assertion
Ref Expression
sge0resrn (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))

Proof of Theorem sge0resrn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0resrn.g . . . 4 (𝜑𝐺:𝐴𝐵)
21ffnd 6491 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
3 sge0resrn.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
4 sge0resrn.r . . 3 (𝜑𝑅 We 𝐴)
52, 3, 4wessf1orn 41875 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺)
633ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺) → 𝐴𝑉)
7 sge0resrn.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
873ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺) → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
913ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺) → 𝐺:𝐴𝐵)
10 simp2 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
11 simp3 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺) → (𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺)
126, 8, 9, 10, 11sge0resrnlem 43103 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺) → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))
13123exp 1116 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → ((𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))))
1413rexlimdv 3242 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝐺𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝐺 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺))))
155, 14mpd 15 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5031   We wwe 5478  ran crn 5521   ↾ cres 5522   ∘ ccom 5524  ⟶wf 6323  –1-1-onto→wf1o 6326  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140  0cc0 10533  +∞cpnf 10668   ≤ cle 10672  [,]cicc 12736  Σ^csumge0 43062 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-inf2 9095  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-pre-sup 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-sup 8897  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-rp 12385  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-sum 15042  df-sumge0 43063 This theorem is referenced by:  omeiunle  43217
 Copyright terms: Public domain W3C validator