Theorem sge0resrn 46590

Description: The sum of nonnegative extended reals restricted to the range of a function is less than or equal to the sum of the composition of the two functions (well-order hypothesis allows to avoid using the axiom of choice). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0resrn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0resrn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
sge0resrn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
sge0resrn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 We 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sge0resrn	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem sge0resrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0resrn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffnd 6661	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
3		sge0resrn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		sge0resrn.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 We 𝐴)
5	2, 3, 4	wessf1orn 45372	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺)
6	3	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺) → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		sge0resrn.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺) → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
9	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺) → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
10		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
11		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺) → (𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺)
12	6, 8, 9, 10, 11	sge0resrnlem 46589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺) → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))
13	12	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → ((𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))))
14	13	rexlimdv 3133	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝐺 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝐺 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺))))
15	5, 14	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058  𝒫 cpw 4552   class class class wbr 5096   We wwe 5574  ran crn 5623   ↾ cres 5624   ∘ ccom 5626  ⟶wf 6486  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  +∞cpnf 11161   ≤ cle 11165  [,]cicc 13262  Σ^{^}csumge0 46548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-sum 15608  df-sumge0 46549

This theorem is referenced by:  omeiunle  46703