Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0ssrempt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0ssrempt 41132
Description: If a sum of nonnegative extended reals is real, than any subsum is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0ssrempt.xph 𝑥𝜑
sge0ssrempt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0ssrempt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0ssrempt.re (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
sge0ssrempt.c (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
sge0ssrempt (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐶𝐵)) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0ssrempt
StepHypRef Expression
1 sge0ssrempt.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
21resmptd 5591 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶) = (𝑥𝐶𝐵))
32fveq2d 6334 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐶𝐵)))
43eqcomd 2777 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐶𝐵)) = (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶)))
5 sge0ssrempt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 sge0ssrempt.xph . . . 4 𝑥𝜑
7 sge0ssrempt.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8 eqid 2771 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
96, 7, 8fmptdf 6527 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
10 sge0ssrempt.re . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
115, 9, 10sge0ssre 41124 . 2 (𝜑 → (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶)) ∈ ℝ)
124, 11eqeltrd 2850 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐶𝐵)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wnf 1856  wcel 2145  wss 3723  cmpt 4863  cres 5251  cfv 6029  (class class class)co 6791  cr 10135  0cc0 10136  +∞cpnf 10271  [,]cicc 12376  Σ^csumge0 41089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-oi 8569  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-rp 12029  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-seq 13002  df-exp 13061  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-sum 14618  df-sumge0 41090
This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  41142  hoidmv1lelem2  41319  hoidmvlelem2  41323
  Copyright terms: Public domain W3C validator