Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0ssrempt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0ssrempt 41283
Description: If a sum of nonnegative extended reals is real, than any subsum is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0ssrempt.xph 𝑥𝜑
sge0ssrempt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0ssrempt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0ssrempt.re (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
sge0ssrempt.c (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
sge0ssrempt (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐶𝐵)) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0ssrempt
StepHypRef Expression
1 sge0ssrempt.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
21resmptd 5631 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶) = (𝑥𝐶𝐵))
32fveq2d 6383 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐶𝐵)))
43eqcomd 2771 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐶𝐵)) = (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶)))
5 sge0ssrempt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 sge0ssrempt.xph . . . 4 𝑥𝜑
7 sge0ssrempt.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8 eqid 2765 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
96, 7, 8fmptdf 6581 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
10 sge0ssrempt.re . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
115, 9, 10sge0ssre 41275 . 2 (𝜑 → (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶)) ∈ ℝ)
124, 11eqeltrd 2844 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐶𝐵)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wnf 1878  wcel 2155  wss 3734  cmpt 4890  cres 5281  cfv 6070  (class class class)co 6846  cr 10192  0cc0 10193  +∞cpnf 10329  [,]cicc 12385  Σ^csumge0 41240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-sup 8559  df-oi 8626  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-rp 12034  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-clim 14518  df-sum 14716  df-sumge0 41241
This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  41293  hoidmv1lelem2  41470  hoidmvlelem2  41474
  Copyright terms: Public domain W3C validator