Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0ssrempt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0ssrempt 42553
Description: If a sum of nonnegative extended reals is real, than any subsum is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0ssrempt.xph 𝑥𝜑
sge0ssrempt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0ssrempt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0ssrempt.re (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
sge0ssrempt.c (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
sge0ssrempt (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐶𝐵)) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0ssrempt
StepHypRef Expression
1 sge0ssrempt.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
21resmptd 5907 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶) = (𝑥𝐶𝐵))
32fveq2d 6671 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐶𝐵)))
43eqcomd 2832 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐶𝐵)) = (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶)))
5 sge0ssrempt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 sge0ssrempt.xph . . . 4 𝑥𝜑
7 sge0ssrempt.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8 eqid 2826 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
96, 7, 8fmptdf 6877 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
10 sge0ssrempt.re . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
115, 9, 10sge0ssre 42545 . 2 (𝜑 → (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶)) ∈ ℝ)
124, 11eqeltrd 2918 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐶𝐵)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wnf 1777  wcel 2107  wss 3940  cmpt 5143  cres 5556  cfv 6352  (class class class)co 7148  cr 10525  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  [,]cicc 12731  Σ^csumge0 42510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-sum 15033  df-sumge0 42511
This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  42563  hoidmv1lelem2  42740  hoidmvlelem2  42744
  Copyright terms: Public domain W3C validator