Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0snmptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0snmptf 43071
 Description: A sum of a nonnegative extended real is the term. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0snmptf.k 𝑘𝜑
sge0snmptf.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0snmptf.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0snmptf.b (𝑘 = 𝐴𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
sge0snmptf (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0snmptf
StepHypRef Expression
1 sge0snmptf.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0snmptf.k . . . 4 𝑘𝜑
3 elsni 4542 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝐴} → 𝑘 = 𝐴)
4 sge0snmptf.b . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴𝐵 = 𝐶)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐶)
65adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐵 = 𝐶)
7 sge0snmptf.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (0[,]+∞))
87adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
96, 8eqeltrd 2890 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10 eqid 2798 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)
112, 9, 10fmptdf 6858 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵):{𝐴}⟶(0[,]+∞))
121, 11sge0sn 43013 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)) = ((𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)‘𝐴))
13 snidg 4559 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴})
141, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ {𝐴})
1510, 4, 14, 7fvmptd3 6768 . 2 (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)‘𝐴) = 𝐶)
1612, 15eqtrd 2833 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)) = 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  {csn 4525   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  [,]cicc 12729  Σ^csumge0 42996 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-sumge0 42997 This theorem is referenced by:  sge0splitsn  43075
 Copyright terms: Public domain W3C validator