Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0splitsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0splitsn 43007
 Description: Separate out a term in a generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0splitsn.ph 𝑘𝜑
sge0splitsn.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0splitsn.b (𝜑𝐵𝑊)
sge0splitsn.n (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
sge0splitsn.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0splitsn.d (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
sge0splitsn.e (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0splitsn (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sge0splitsn
StepHypRef Expression
1 sge0splitsn.ph . . 3 𝑘𝜑
2 sge0splitsn.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 snfi 8591 . . . . 5 {𝐵} ∈ Fin
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝐵} ∈ Fin)
54elexd 3501 . . 3 (𝜑 → {𝐵} ∈ V)
6 sge0splitsn.n . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
7 disjsn 4633 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
86, 7sylibr 237 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
9 sge0splitsn.c . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
10 elsni 4568 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
11 sge0splitsn.d . . . . . 6 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
1211adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
1310, 12sylan2 595 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 = 𝐷)
14 sge0splitsn.e . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
1514adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
1613, 15eqeltrd 2916 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
171, 2, 5, 8, 9, 16sge0splitmpt 42977 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))))
18 sge0splitsn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
191, 18, 14, 11sge0snmptf 43003 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐷)
2019oveq2d 7166 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 𝐷))
2117, 20eqtrd 2859 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2115  Vcvv 3481   ∪ cun 3918   ∩ cin 3919  ∅c0 4277  {csn 4551   ↦ cmpt 5133  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150  Fincfn 8506  0cc0 10536  +∞cpnf 10671   +𝑒 cxad 12505  [,]cicc 12741  Σ^csumge0 42928 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-sup 8904  df-oi 8972  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-rp 12390  df-xadd 12508  df-ico 12744  df-icc 12745  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-seq 13377  df-exp 13438  df-hash 13699  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046  df-sumge0 42929 This theorem is referenced by:  hoidmv1lelem2  43158
 Copyright terms: Public domain W3C validator