Theorem sge0splitsn 46446

Description: Separate out a term in a generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0splitsn.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0splitsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0splitsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0splitsn.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
sge0splitsn.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0splitsn.d	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
sge0splitsn.e	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0splitsn	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sge0splitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0splitsn.ph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0splitsn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		snfi 9017	. . . . 5 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ∈ Fin)
5	4	elexd 3474	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ∈ V)
6		sge0splitsn.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
7		disjsn 4678	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
9		sge0splitsn.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
10		elsni 4609	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
11		sge0splitsn.d	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
13	10, 12	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 = 𝐷)
14		sge0splitsn.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
16	13, 15	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
17	1, 2, 5, 8, 9, 16	sge0splitmpt 46416	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))))
18		sge0splitsn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
19	1, 18, 14, 11	sge0snmptf 46442	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐷)
20	19	oveq2d 7406	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝐷))
21	17, 20	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916  ∅c0 4299  {csn 4592   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  0cc0 11075  +∞cpnf 11212   +_𝑒 cxad 13077  [,]cicc 13316  Σ^{^}csumge0 46367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-xadd 13080  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-sumge0 46368

This theorem is referenced by:  hoidmv1lelem2  46597