Theorem sge0splitsn 45742

Description: Separate out a term in a generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0splitsn.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0splitsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0splitsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0splitsn.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
sge0splitsn.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0splitsn.d	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
sge0splitsn.e	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0splitsn	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sge0splitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0splitsn.ph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0splitsn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		snfi 9058	. . . . 5 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ∈ Fin)
5	4	elexd 3490	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ∈ V)
6		sge0splitsn.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
7		disjsn 4711	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
9		sge0splitsn.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
10		elsni 4641	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
11		sge0splitsn.d	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
13	10, 12	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 = 𝐷)
14		sge0splitsn.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
16	13, 15	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
17	1, 2, 5, 8, 9, 16	sge0splitmpt 45712	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))))
18		sge0splitsn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
19	1, 18, 14, 11	sge0snmptf 45738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐷)
20	19	oveq2d 7430	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝐷))
21	17, 20	eqtrd 2767	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ∪ cun 3942   ∩ cin 3943  ∅c0 4318  {csn 4624   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  0cc0 11124  +∞cpnf 11261   +_𝑒 cxad 13108  [,]cicc 13345  Σ^{^}csumge0 45663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-xadd 13111  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651  df-sumge0 45664

This theorem is referenced by:  hoidmv1lelem2  45893