Theorem sge0splitsn 46432

Description: Separate out a term in a generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0splitsn.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0splitsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0splitsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0splitsn.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
sge0splitsn.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0splitsn.d	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
sge0splitsn.e	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0splitsn	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sge0splitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0splitsn.ph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0splitsn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		snfi 8991	. . . . 5 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ∈ Fin)
5	4	elexd 3468	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ∈ V)
6		sge0splitsn.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
7		disjsn 4671	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
9		sge0splitsn.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
10		elsni 4602	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
11		sge0splitsn.d	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
13	10, 12	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 = 𝐷)
14		sge0splitsn.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
16	13, 15	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
17	1, 2, 5, 8, 9, 16	sge0splitmpt 46402	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))))
18		sge0splitsn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
19	1, 18, 14, 11	sge0snmptf 46428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐷)
20	19	oveq2d 7385	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝐷))
21	17, 20	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∪ cun 3909   ∩ cin 3910  ∅c0 4292  {csn 4585   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  0cc0 11044  +∞cpnf 11181   +_𝑒 cxad 13046  [,]cicc 13285  Σ^{^}csumge0 46353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-xadd 13049  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-sumge0 46354

This theorem is referenced by:  hoidmv1lelem2  46583