Theorem sge0splitsn 46884

Description: Separate out a term in a generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0splitsn.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0splitsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0splitsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0splitsn.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
sge0splitsn.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0splitsn.d	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
sge0splitsn.e	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0splitsn	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sge0splitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0splitsn.ph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0splitsn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		snfi 8980	. . . . 5 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ∈ Fin)
5	4	elexd 3454	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ∈ V)
6		sge0splitsn.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
7		disjsn 4643	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sylibr 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
9		sge0splitsn.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
10		elsni 4572	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
11		sge0splitsn.d	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
12	11	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
13	10, 12	sylan2 599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 = 𝐷)
14		sge0splitsn.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
15	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
16	13, 15	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
17	1, 2, 5, 8, 9, 16	sge0splitmpt 46854	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))))
18		sge0splitsn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
19	1, 18, 14, 11	sge0snmptf 46880	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐷)
20	19	oveq2d 7372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝐷))
21	17, 20	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4261  {csn 4555   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  0cc0 11029  +∞cpnf 11167   +_𝑒 cxad 13052  [,]cicc 13292  Σ^{^}csumge0 46805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-xadd 13055  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-sumge0 46806

This theorem is referenced by:  hoidmv1lelem2  47035