Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0fsummptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0fsummptf 41163
Description: The generalized sum of a finite set of nonnegative extended real numbers is equal to the sum of those numbers, when none of them is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0fsummptf.k 𝑘𝜑
sge0fsummptf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
sge0fsummptf.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0fsummptf (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sge0fsummptf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0fsummptf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 sge0fsummptf.k . . . 4 𝑘𝜑
3 sge0fsummptf.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4 eqid 2771 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 6527 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
61, 5sge0fsum 41114 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗))
7 fveq2 6330 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘))
8 nfcv 2913 . . . 4 𝑘𝐴
9 nfcv 2913 . . . 4 𝑗𝐴
10 nfmpt1 4881 . . . . 5 𝑘(𝑘𝐴𝐵)
11 nfcv 2913 . . . . 5 𝑘𝑗
1210, 11nffv 6337 . . . 4 𝑘((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗)
13 nfcv 2913 . . . 4 𝑗((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘)
147, 8, 9, 12, 13cbvsum 14626 . . 3 Σ𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘)
1514a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘))
16 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
174fvmpt2 6431 . . . . . 6 ((𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
1816, 3, 17syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
1918ex 397 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘) = 𝐵))
202, 19ralrimi 3106 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
2120sumeq2d 14633 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
226, 15, 213eqtrd 2809 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wnf 1856  wcel 2145  cmpt 4863  cfv 6029  (class class class)co 6791  Fincfn 8107  0cc0 10136  +∞cpnf 10271  [,)cico 12375  Σcsu 14617  Σ^csumge0 41089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-oi 8569  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-rp 12029  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-seq 13002  df-exp 13061  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-sum 14618  df-sumge0 41090
This theorem is referenced by:  sge0pnffsumgt  41169
  Copyright terms: Public domain W3C validator