Theorem sge0fsummptf 43974

Description: The generalized sum of a finite set of nonnegative extended real numbers is equal to the sum of those numbers, when none of them is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0fsummptf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0fsummptf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
sge0fsummptf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0fsummptf	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sge0fsummptf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0fsummptf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		sge0fsummptf.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		sge0fsummptf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 6991	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
6	1, 5	sge0fsum 43925	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗))
7		fveq2 6774	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘))
8		nfcv 2907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
9		nfcv 2907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
10		nfmpt1 5182	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
11		nfcv 2907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
12	10, 11	nffv 6784	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗)
13		nfcv 2907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘)
14	7, 8, 9, 12, 13	cbvsum 15407	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘)
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘))
16		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
17	4	fvmpt2 6886	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
18	16, 3, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
19	18	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐵))
20	2, 19	ralrimi 3141	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
21	20	sumeq2d 15414	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
22	6, 15, 21	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  [,)cico 13081  Σcsu 15397  Σ^{^}csumge0 43900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-sumge0 43901

This theorem is referenced by:  sge0pnffsumgt  43980