Theorem smfid 46140

Description: The identity function is Borel sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfid.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfid.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfid	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem smfid

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfid.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4	2, 3	sseldd 3981	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
5	4	fmpttd 7125	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥):𝐴⟶ℝ)
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑦 ≤ 𝑧)
7		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥))
9		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
10		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
11	8, 9, 10, 10	fvmptd 7012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
12	11	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
13	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥))
14		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
16	13, 14, 15, 15	fvmptd 7012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
17	16	ad4ant13 750	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
18	12, 17	breq12d 5161	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧) ↔ 𝑦 ≤ 𝑧))
19	6, 18	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧))
20	19	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧)))
21	20	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧)))
22	21	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧)))
23		smfid.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
24		smfid.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
25	1, 5, 22, 23, 24	incsmf 46130	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5679  ‘cfv 6548  ℝcr 11137   ≤ cle 11279  (,)cioo 13356  topGenctg 17418  SalGencsalgen 45700  SMblFncsmblfn 46083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-fl 13789  df-rest 17403  df-topgen 17424  df-top 22795  df-bases 22848  df-salg 45697  df-salgen 45701  df-smblfn 46084

This theorem is referenced by:  smf2id  46189