Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfid 46406
Description: The identity function is Borel sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfid.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfid.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfid.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
smfid (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem smfid
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfid.a . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
21adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
42, 3sseldd 3979 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
54fmpttd 7118 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥):𝐴⟶ℝ)
6 simpr 483 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦𝑧)
7 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝑥) = (𝑥𝐴𝑥)
87a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑥𝐴𝑥) = (𝑥𝐴𝑥))
9 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
10 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
118, 9, 10, 10fvmptd 7005 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
1211ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
137a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑥𝐴𝑥) = (𝑥𝐴𝑥))
14 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
15 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
1613, 14, 15, 15fvmptd 7005 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
1716ad4ant13 749 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
1812, 17breq12d 5156 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦𝑧) → (((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧) ↔ 𝑦𝑧))
196, 18mpbird 256 . . . . 5 ((((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧))
2019ex 411 . . . 4 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧)))
2120ralrimiva 3136 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧)))
2221ralrimiva 3136 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧)))
23 smfid.j . 2 𝐽 = (topGen‘ran (,))
24 smfid.b . 2 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
251, 5, 22, 23, 24incsmf 46396 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wss 3946   class class class wbr 5143  cmpt 5226  ran crn 5673  cfv 6543  cr 11145  cle 11287  (,)cioo 13369  topGenctg 17444  SalGencsalgen 45966  SMblFncsmblfn 46349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-inf2 9674  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9475  df-inf 9476  df-card 9972  df-acn 9975  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-ioo 13373  df-ioc 13374  df-ico 13375  df-fl 13803  df-rest 17429  df-topgen 17450  df-top 22881  df-bases 22934  df-salg 45963  df-salgen 45967  df-smblfn 46350
This theorem is referenced by:  smf2id  46455
  Copyright terms: Public domain W3C validator