Theorem smfid 46769

Description: The identity function is Borel sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfid.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfid.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfid	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem smfid

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfid.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4	2, 3	sseldd 3933	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
5	4	fmpttd 7043	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥):𝐴⟶ℝ)
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑦 ≤ 𝑧)
7		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥))
9		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
10		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
11	8, 9, 10, 10	fvmptd 6931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
13	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥))
14		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
16	13, 14, 15, 15	fvmptd 6931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
17	16	ad4ant13 751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
18	12, 17	breq12d 5102	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧) ↔ 𝑦 ≤ 𝑧))
19	6, 18	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧))
20	19	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧)))
21	20	ralrimiva 3122	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧)))
22	21	ralrimiva 3122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧)))
23		smfid.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
24		smfid.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
25	1, 5, 22, 23, 24	incsmf 46759	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ran crn 5615  ‘cfv 6477  ℝcr 10997   ≤ cle 11139  (,)cioo 13237  topGenctg 17333  SalGencsalgen 46329  SMblFncsmblfn 46712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-card 9824  df-acn 9827  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-ioo 13241  df-ioc 13242  df-ico 13243  df-fl 13688  df-rest 17318  df-topgen 17339  df-top 22802  df-bases 22854  df-salg 46326  df-salgen 46330  df-smblfn 46713

This theorem is referenced by:  smf2id  46818