Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfid 43252
 Description: The identity function is Borel sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfid.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfid.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfid.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
smfid (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem smfid
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfid.a . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
21adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
42, 3sseldd 3954 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
54fmpttd 6868 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥):𝐴⟶ℝ)
6 simpr 488 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦𝑧)
7 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝑥) = (𝑥𝐴𝑥)
87a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑥𝐴𝑥) = (𝑥𝐴𝑥))
9 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
10 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
118, 9, 10, 10fvmptd 6764 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
1211ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
137a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑥𝐴𝑥) = (𝑥𝐴𝑥))
14 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
15 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
1613, 14, 15, 15fvmptd 6764 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
1716ad4ant13 750 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
1812, 17breq12d 5066 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦𝑧) → (((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧) ↔ 𝑦𝑧))
196, 18mpbird 260 . . . . 5 ((((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧))
2019ex 416 . . . 4 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧)))
2120ralrimiva 3177 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧)))
2221ralrimiva 3177 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧)))
23 smfid.j . 2 𝐽 = (topGen‘ran (,))
24 smfid.b . 2 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
251, 5, 22, 23, 24incsmf 43242 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133   ⊆ wss 3919   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5133  ran crn 5544  ‘cfv 6344  ℝcr 10530   ≤ cle 10670  (,)cioo 12733  topGenctg 16709  SalGencsalgen 42820  SMblFncsmblfn 43200 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8899  df-inf 8900  df-card 9361  df-acn 9364  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-fl 13164  df-rest 16694  df-topgen 16715  df-top 21497  df-bases 21549  df-salg 42817  df-salgen 42821  df-smblfn 43201 This theorem is referenced by:  smf2id  43299
 Copyright terms: Public domain W3C validator