Theorem smfid 45454

Description: The identity function is Borel sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfid.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfid.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfid	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem smfid

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfid.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4	2, 3	sseldd 3982	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
5	4	fmpttd 7111	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥):𝐴⟶ℝ)
6		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑦 ≤ 𝑧)
7		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥))
9		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
10		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
11	8, 9, 10, 10	fvmptd 7002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
12	11	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
13	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥))
14		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
15		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
16	13, 14, 15, 15	fvmptd 7002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
17	16	ad4ant13 749	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
18	12, 17	breq12d 5160	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧) ↔ 𝑦 ≤ 𝑧))
19	6, 18	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧))
20	19	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧)))
21	20	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧)))
22	21	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧)))
23		smfid.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
24		smfid.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
25	1, 5, 22, 23, 24	incsmf 45444	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  ‘cfv 6540  ℝcr 11105   ≤ cle 11245  (,)cioo 13320  topGenctg 17379  SalGencsalgen 45014  SMblFncsmblfn 45397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-fl 13753  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-top 22387  df-bases 22440  df-salg 45011  df-salgen 45015  df-smblfn 45398

This theorem is referenced by:  smf2id  45503