Theorem smfid 41753

Description: The identity function is Borel sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfid.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfid.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfid	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem smfid

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfid.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2	1	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4	2, 3	sseldd 3828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
5	4	fmpttd 6639	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥):𝐴⟶ℝ)
6		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑦 ≤ 𝑧)
7		eqid 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥))
9		simpr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
10		simpr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
11	8, 9, 10, 10	fvmptd 6539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
12	11	ad2antrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
13	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥))
14		simpr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
15		simpr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
16	13, 14, 15, 15	fvmptd 6539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
17	16	ad4ant13 757	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
18	12, 17	breq12d 4888	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧) ↔ 𝑦 ≤ 𝑧))
19	6, 18	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧))
20	19	ex 403	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧)))
21	20	ralrimiva 3175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧)))
22	21	ralrimiva 3175	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧)))
23		smfid.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
24		smfid.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
25	1, 5, 22, 23, 24	incsmf 41743	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117   ⊆ wss 3798   class class class wbr 4875   ↦ cmpt 4954  ran crn 5347  ‘cfv 6127  ℝcr 10258   ≤ cle 10399  (,)cioo 12470  topGenctg 16458  SalGencsalgen 41321  SMblFncsmblfn 41701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-card 9085  df-acn 9088  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-ioo 12474  df-ioc 12475  df-ico 12476  df-fl 12895  df-rest 16443  df-topgen 16464  df-top 21076  df-bases 21128  df-salg 41318  df-salgen 41322  df-smblfn 41702

This theorem is referenced by:  smf2id  41800