Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfid 46767
Description: The identity function is Borel sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfid.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfid.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfid.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
smfid (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem smfid
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfid.a . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
21adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
42, 3sseldd 3984 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
54fmpttd 7135 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥):𝐴⟶ℝ)
6 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦𝑧)
7 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝑥) = (𝑥𝐴𝑥)
87a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑥𝐴𝑥) = (𝑥𝐴𝑥))
9 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
10 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
118, 9, 10, 10fvmptd 7023 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
1211ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
137a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑥𝐴𝑥) = (𝑥𝐴𝑥))
14 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
15 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
1613, 14, 15, 15fvmptd 7023 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
1716ad4ant13 751 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
1812, 17breq12d 5156 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦𝑧) → (((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧) ↔ 𝑦𝑧))
196, 18mpbird 257 . . . . 5 ((((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧))
2019ex 412 . . . 4 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧)))
2120ralrimiva 3146 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧)))
2221ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝑥)‘𝑧)))
23 smfid.j . 2 𝐽 = (topGen‘ran (,))
24 smfid.b . 2 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
251, 5, 22, 23, 24incsmf 46757 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  cr 11154  cle 11296  (,)cioo 13387  topGenctg 17482  SalGencsalgen 46327  SMblFncsmblfn 46710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-fl 13832  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-bases 22953  df-salg 46324  df-salgen 46328  df-smblfn 46711
This theorem is referenced by:  smf2id  46816
  Copyright terms: Public domain W3C validator