Theorem dvmptdiv 26098

Description: Function-builder for derivative, quotient rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptdiv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptdiv.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptdiv.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptdiv.da	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
dvmptdiv.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
dvmptdiv.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
dvmptdiv.dc	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
dvmptdiv	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem dvmptdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptdiv.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		dvmptdiv.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
3	2	eldifad 3925	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
4		eldifsn 4755	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
5	2, 4	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
6	5	simprd 500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ≠ 0)
7	1, 3, 6	divrecd 11990	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
8	7	mpteq2dva 5205	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶))))
9	8	oveq2d 7424	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶)))))
10		dvmptdiv.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
11		dvmptdiv.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
12		dvmptdiv.da	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
13	3, 6	reccld 11980	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
14		1cnd 11198	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℂ)
15		dvmptdiv.d	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 11225	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · 𝐷) ∈ ℂ)
17	3	sqcld 14176	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
18	6	neneqd 2969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ 𝐶 = 0)
19		sqeq0 14152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
20	3, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
21	18, 20	mtbird 328	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ (𝐶↑2) = 0)
22	21	neqned 2971	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐶↑2) ≠ 0)
23	16, 17, 22	divcld 11987	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
24	23	negcld 11552	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
25		1cnd 11198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
26		dvmptdiv.dc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))
27	10, 25, 2, 15, 26	dvrecg 26097	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (1 / 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2))))
28	10, 1, 11, 12, 13, 24, 27	dvmptmul 26085	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴))))
29	10, 1, 11, 12	dvmptcl 26083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
30	29, 3	mulcld 11225	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
31	30, 17, 22	divcld 11987	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
32	15, 1	mulcld 11225	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
33	32, 17, 22	divcld 11987	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
34	31, 33	negsubd 11571	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) + -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
35	29, 14, 3, 6	div12d 12023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 · (1 / 𝐶)) = (1 · (𝐵 / 𝐶)))
36	29, 3, 6	divcld 11987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
37	36	mullidd 11223	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · (𝐵 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
38	3	sqvald 14175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐶↑2) = (𝐶 · 𝐶))
39	38	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶 · 𝐶)))
40	29, 3, 3, 6, 6	divcan5rd 12014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶 · 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
41	39, 40	eqtr2d 2805	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 / 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)))
42	35, 37, 41	3eqtrd 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 · (1 / 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)))
43	15	mullidd 11223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
44	43	oveq1d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) = (𝐷 / (𝐶↑2)))
45	44	negeqd 11447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) = -(𝐷 / (𝐶↑2)))
46	45	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴) = (-(𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
47	15, 17, 22	divcld 11987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐷 / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
48	47, 1	mulneg1d 11663	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (-(𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
49	15, 1, 17, 22	div23d 12024	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)) = ((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
50	49	eqcomd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
51	50	negeqd 11447	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → -((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
52	46, 48, 51	3eqtrd 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
53	42, 52	oveq12d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴)) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) + -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
54	30, 32, 17, 22	divsubdird 12026	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2)) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
55	34, 53, 54	3eqtr4d 2814	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴)) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2)))
56	55	mpteq2dva 5205	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))
57	9, 28, 56	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∖ cdif 3910  {csn 4591  {cpr 4593   ↦ cmpt 5193  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101   − cmin 11437  -cneg 11438   / cdiv 11867  2c2 12291  ↑cexp 14093   D cdv 25987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-t1 23436  df-haus 23437  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cncf 25002  df-limc 25990  df-dv 25991

This theorem is referenced by:  dvdivf  46521  dvdivbd  46522  fourierdlem56  46761  fourierdlem57  46762