MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptdiv 26012
Description: Function-builder for derivative, quotient rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptdiv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptdiv.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptdiv.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptdiv.da (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptdiv.c ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
dvmptdiv.d ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
dvmptdiv.dc (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
Assertion
Ref Expression
dvmptdiv (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem dvmptdiv
StepHypRef Expression
1 dvmptdiv.a . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 dvmptdiv.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
32eldifad 3963 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
4 eldifsn 4786 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
52, 4sylib 218 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
65simprd 495 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ≠ 0)
71, 3, 6divrecd 12046 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
87mpteq2dva 5242 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶))))
98oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶)))))
10 dvmptdiv.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
11 dvmptdiv.b . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
12 dvmptdiv.da . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
133, 6reccld 12036 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
14 1cnd 11256 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ∈ ℂ)
15 dvmptdiv.d . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
1614, 15mulcld 11281 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 · 𝐷) ∈ ℂ)
173sqcld 14184 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
186neneqd 2945 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ 𝐶 = 0)
19 sqeq0 14160 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
203, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
2118, 20mtbird 325 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ (𝐶↑2) = 0)
2221neqned 2947 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶↑2) ≠ 0)
2316, 17, 22divcld 12043 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
2423negcld 11607 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
25 1cnd 11256 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
26 dvmptdiv.dc . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
2710, 25, 2, 15, 26dvrecg 26011 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (1 / 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2))))
2810, 1, 11, 12, 13, 24, 27dvmptmul 25999 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶)))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴))))
2910, 1, 11, 12dvmptcl 25997 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
3029, 3mulcld 11281 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
3130, 17, 22divcld 12043 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
3215, 1mulcld 11281 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
3332, 17, 22divcld 12043 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
3431, 33negsubd 11626 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) + -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
3529, 14, 3, 6div12d 12079 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 · (1 / 𝐶)) = (1 · (𝐵 / 𝐶)))
3629, 3, 6divcld 12043 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
3736mullidd 11279 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 · (𝐵 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
383sqvald 14183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶↑2) = (𝐶 · 𝐶))
3938oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶 · 𝐶)))
4029, 3, 3, 6, 6divcan5rd 12070 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶 · 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
4139, 40eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 / 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)))
4235, 37, 413eqtrd 2781 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 · (1 / 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)))
4315mullidd 11279 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
4443oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) = (𝐷 / (𝐶↑2)))
4544negeqd 11502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) = -(𝐷 / (𝐶↑2)))
4645oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴) = (-(𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
4715, 17, 22divcld 12043 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
4847, 1mulneg1d 11716 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (-(𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
4915, 1, 17, 22div23d 12080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)) = ((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
5049eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
5150negeqd 11502 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → -((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
5246, 48, 513eqtrd 2781 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
5342, 52oveq12d 7449 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴)) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) + -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
5430, 32, 17, 22divsubdird 12082 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2)) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
5534, 53, 543eqtr4d 2787 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴)) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2)))
5655mpteq2dva 5242 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))
579, 28, 563eqtrd 2781 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  {csn 4626  {cpr 4628  cmpt 5225  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  cexp 14102   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-t1 23322  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  dvdivf  45937  dvdivbd  45938  fourierdlem56  46177  fourierdlem57  46178
  Copyright terms: Public domain W3C validator