MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptdiv 26027
Description: Function-builder for derivative, quotient rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptdiv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptdiv.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptdiv.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptdiv.da (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptdiv.c ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
dvmptdiv.d ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
dvmptdiv.dc (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
Assertion
Ref Expression
dvmptdiv (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem dvmptdiv
StepHypRef Expression
1 dvmptdiv.a . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 dvmptdiv.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
32eldifad 3975 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
4 eldifsn 4791 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
52, 4sylib 218 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
65simprd 495 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ≠ 0)
71, 3, 6divrecd 12044 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
87mpteq2dva 5248 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶))))
98oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶)))))
10 dvmptdiv.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
11 dvmptdiv.b . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
12 dvmptdiv.da . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
133, 6reccld 12034 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
14 1cnd 11254 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ∈ ℂ)
15 dvmptdiv.d . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
1614, 15mulcld 11279 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 · 𝐷) ∈ ℂ)
173sqcld 14181 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
186neneqd 2943 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ 𝐶 = 0)
19 sqeq0 14157 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
203, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
2118, 20mtbird 325 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ (𝐶↑2) = 0)
2221neqned 2945 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶↑2) ≠ 0)
2316, 17, 22divcld 12041 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
2423negcld 11605 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
25 1cnd 11254 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
26 dvmptdiv.dc . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
2710, 25, 2, 15, 26dvrecg 26026 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (1 / 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2))))
2810, 1, 11, 12, 13, 24, 27dvmptmul 26014 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶)))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴))))
2910, 1, 11, 12dvmptcl 26012 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
3029, 3mulcld 11279 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
3130, 17, 22divcld 12041 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
3215, 1mulcld 11279 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
3332, 17, 22divcld 12041 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
3431, 33negsubd 11624 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) + -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
3529, 14, 3, 6div12d 12077 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 · (1 / 𝐶)) = (1 · (𝐵 / 𝐶)))
3629, 3, 6divcld 12041 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
3736mullidd 11277 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 · (𝐵 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
383sqvald 14180 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶↑2) = (𝐶 · 𝐶))
3938oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶 · 𝐶)))
4029, 3, 3, 6, 6divcan5rd 12068 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶 · 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
4139, 40eqtr2d 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 / 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)))
4235, 37, 413eqtrd 2779 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 · (1 / 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)))
4315mullidd 11277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
4443oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) = (𝐷 / (𝐶↑2)))
4544negeqd 11500 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) = -(𝐷 / (𝐶↑2)))
4645oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴) = (-(𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
4715, 17, 22divcld 12041 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
4847, 1mulneg1d 11714 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (-(𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
4915, 1, 17, 22div23d 12078 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)) = ((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
5049eqcomd 2741 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
5150negeqd 11500 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → -((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
5246, 48, 513eqtrd 2779 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
5342, 52oveq12d 7449 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴)) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) + -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
5430, 32, 17, 22divsubdird 12080 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2)) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
5534, 53, 543eqtr4d 2785 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴)) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2)))
5655mpteq2dva 5248 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))
579, 28, 563eqtrd 2779 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  {csn 4631  {cpr 4633  cmpt 5231  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  cexp 14099   D cdv 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-t1 23338  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  dvdivf  45878  dvdivbd  45879  fourierdlem56  46118  fourierdlem57  46119
  Copyright terms: Public domain W3C validator