MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptdiv 24895
Description: Function-builder for derivative, quotient rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptdiv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptdiv.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptdiv.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptdiv.da (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptdiv.c ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
dvmptdiv.d ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
dvmptdiv.dc (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
Assertion
Ref Expression
dvmptdiv (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem dvmptdiv
StepHypRef Expression
1 dvmptdiv.a . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 dvmptdiv.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
32eldifad 3892 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
4 eldifsn 4714 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
52, 4sylib 221 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
65simprd 499 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ≠ 0)
71, 3, 6divrecd 11635 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
87mpteq2dva 5164 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶))))
98oveq2d 7247 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶)))))
10 dvmptdiv.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
11 dvmptdiv.b . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
12 dvmptdiv.da . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
133, 6reccld 11625 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
14 1cnd 10852 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ∈ ℂ)
15 dvmptdiv.d . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
1614, 15mulcld 10877 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 · 𝐷) ∈ ℂ)
173sqcld 13738 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
186neneqd 2946 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ 𝐶 = 0)
19 sqeq0 13716 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
203, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
2118, 20mtbird 328 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ (𝐶↑2) = 0)
2221neqned 2948 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶↑2) ≠ 0)
2316, 17, 22divcld 11632 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
2423negcld 11200 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
25 1cnd 10852 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
26 dvmptdiv.dc . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
2710, 25, 2, 15, 26dvrecg 24894 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (1 / 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2))))
2810, 1, 11, 12, 13, 24, 27dvmptmul 24882 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶)))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴))))
2910, 1, 11, 12dvmptcl 24880 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
3029, 3mulcld 10877 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
3130, 17, 22divcld 11632 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
3215, 1mulcld 10877 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
3332, 17, 22divcld 11632 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
3431, 33negsubd 11219 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) + -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
3529, 14, 3, 6div12d 11668 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 · (1 / 𝐶)) = (1 · (𝐵 / 𝐶)))
3629, 3, 6divcld 11632 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
3736mulid2d 10875 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 · (𝐵 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
383sqvald 13737 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶↑2) = (𝐶 · 𝐶))
3938oveq2d 7247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶 · 𝐶)))
4029, 3, 3, 6, 6divcan5rd 11659 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶 · 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
4139, 40eqtr2d 2779 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 / 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)))
4235, 37, 413eqtrd 2782 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 · (1 / 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)))
4315mulid2d 10875 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
4443oveq1d 7246 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) = (𝐷 / (𝐶↑2)))
4544negeqd 11096 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) = -(𝐷 / (𝐶↑2)))
4645oveq1d 7246 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴) = (-(𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
4715, 17, 22divcld 11632 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
4847, 1mulneg1d 11309 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (-(𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
4915, 1, 17, 22div23d 11669 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)) = ((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
5049eqcomd 2744 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
5150negeqd 11096 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → -((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
5246, 48, 513eqtrd 2782 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
5342, 52oveq12d 7249 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴)) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) + -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
5430, 32, 17, 22divsubdird 11671 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2)) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
5534, 53, 543eqtr4d 2788 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴)) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2)))
5655mpteq2dva 5164 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))
579, 28, 563eqtrd 2782 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  wne 2941  cdif 3877  {csn 4555  {cpr 4557  cmpt 5149  (class class class)co 7231  cc 10751  cr 10752  0cc0 10753  1c1 10754   + caddc 10756   · cmul 10758  cmin 11086  -cneg 11087   / cdiv 11513  2c2 11909  cexp 13659   D cdv 24784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-cnex 10809  ax-resscn 10810  ax-1cn 10811  ax-icn 10812  ax-addcl 10813  ax-addrcl 10814  ax-mulcl 10815  ax-mulrcl 10816  ax-mulcom 10817  ax-addass 10818  ax-mulass 10819  ax-distr 10820  ax-i2m1 10821  ax-1ne0 10822  ax-1rid 10823  ax-rnegex 10824  ax-rrecex 10825  ax-cnre 10826  ax-pre-lttri 10827  ax-pre-lttrn 10828  ax-pre-ltadd 10829  ax-pre-mulgt0 10830  ax-pre-sup 10831  ax-addf 10832  ax-mulf 10833
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-pss 3899  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4834  df-int 4874  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5469  df-eprel 5474  df-po 5482  df-so 5483  df-fr 5523  df-se 5524  df-we 5525  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-pred 6175  df-ord 6233  df-on 6234  df-lim 6235  df-suc 6236  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-isom 6406  df-riota 7188  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-of 7487  df-om 7663  df-1st 7779  df-2nd 7780  df-supp 7924  df-wrecs 8067  df-recs 8128  df-rdg 8166  df-1o 8222  df-2o 8223  df-er 8411  df-map 8530  df-pm 8531  df-ixp 8599  df-en 8647  df-dom 8648  df-sdom 8649  df-fin 8650  df-fsupp 9010  df-fi 9051  df-sup 9082  df-inf 9083  df-oi 9150  df-card 9579  df-pnf 10893  df-mnf 10894  df-xr 10895  df-ltxr 10896  df-le 10897  df-sub 11088  df-neg 11089  df-div 11514  df-nn 11855  df-2 11917  df-3 11918  df-4 11919  df-5 11920  df-6 11921  df-7 11922  df-8 11923  df-9 11924  df-n0 12115  df-z 12201  df-dec 12318  df-uz 12463  df-q 12569  df-rp 12611  df-xneg 12728  df-xadd 12729  df-xmul 12730  df-icc 12966  df-fz 13120  df-fzo 13263  df-seq 13599  df-exp 13660  df-hash 13921  df-cj 14686  df-re 14687  df-im 14688  df-sqrt 14822  df-abs 14823  df-struct 16724  df-sets 16741  df-slot 16759  df-ndx 16769  df-base 16785  df-ress 16809  df-plusg 16839  df-mulr 16840  df-starv 16841  df-sca 16842  df-vsca 16843  df-ip 16844  df-tset 16845  df-ple 16846  df-ds 16848  df-unif 16849  df-hom 16850  df-cco 16851  df-rest 16951  df-topn 16952  df-0g 16970  df-gsum 16971  df-topgen 16972  df-pt 16973  df-prds 16976  df-xrs 17031  df-qtop 17036  df-imas 17037  df-xps 17039  df-mre 17113  df-mrc 17114  df-acs 17116  df-mgm 18138  df-sgrp 18187  df-mnd 18198  df-submnd 18243  df-mulg 18513  df-cntz 18735  df-cmn 19196  df-psmet 20379  df-xmet 20380  df-met 20381  df-bl 20382  df-mopn 20383  df-fbas 20384  df-fg 20385  df-cnfld 20388  df-top 21815  df-topon 21832  df-topsp 21854  df-bases 21867  df-cld 21940  df-ntr 21941  df-cls 21942  df-nei 22019  df-lp 22057  df-perf 22058  df-cn 22148  df-cnp 22149  df-t1 22235  df-haus 22236  df-tx 22483  df-hmeo 22676  df-fil 22767  df-fm 22859  df-flim 22860  df-flf 22861  df-xms 23242  df-ms 23243  df-tms 23244  df-cncf 23799  df-limc 24787  df-dv 24788
This theorem is referenced by:  dvdivf  43166  dvdivbd  43167  fourierdlem56  43406  fourierdlem57  43407
  Copyright terms: Public domain W3C validator