Theorem dvmptdiv 26201

Description: Function-builder for derivative, quotient rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptdiv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptdiv.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptdiv.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptdiv.da	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
dvmptdiv.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
dvmptdiv.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
dvmptdiv.dc	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
dvmptdiv	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem dvmptdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptdiv.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		dvmptdiv.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
3	2	eldifad 3911	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
4		eldifsn 4748	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
5	2, 4	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
6	5	simprd 501	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ≠ 0)
7	1, 3, 6	divrecd 12018	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
8	7	mpteq2dva 5198	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶))))
9	8	oveq2d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶)))))
10		dvmptdiv.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
11		dvmptdiv.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
12		dvmptdiv.da	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
13	3, 6	reccld 12008	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
14		1cnd 11226	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℂ)
15		dvmptdiv.d	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 11253	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · 𝐷) ∈ ℂ)
17	3	sqcld 14208	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
18	6	neneqd 2960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ 𝐶 = 0)
19		sqeq0 14184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
20	3, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
21	18, 20	mtbird 328	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ (𝐶↑2) = 0)
22	21	neqned 2962	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐶↑2) ≠ 0)
23	16, 17, 22	divcld 12015	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
24	23	negcld 11580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
25		1cnd 11226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
26		dvmptdiv.dc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))
27	10, 25, 2, 15, 26	dvrecg 26200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (1 / 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2))))
28	10, 1, 11, 12, 13, 24, 27	dvmptmul 26188	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐶)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴))))
29	10, 1, 11, 12	dvmptcl 26186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
30	29, 3	mulcld 11253	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
31	30, 17, 22	divcld 12015	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
32	15, 1	mulcld 11253	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
33	32, 17, 22	divcld 12015	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
34	31, 33	negsubd 11599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) + -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
35	29, 14, 3, 6	div12d 12051	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 · (1 / 𝐶)) = (1 · (𝐵 / 𝐶)))
36	29, 3, 6	divcld 12015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
37	36	mullidd 11251	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · (𝐵 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
38	3	sqvald 14207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐶↑2) = (𝐶 · 𝐶))
39	38	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶 · 𝐶)))
40	29, 3, 3, 6, 6	divcan5rd 12042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶 · 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
41	39, 40	eqtr2d 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 / 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)))
42	35, 37, 41	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 · (1 / 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)))
43	15	mullidd 11251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
44	43	oveq1d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) = (𝐷 / (𝐶↑2)))
45	44	negeqd 11475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → -((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) = -(𝐷 / (𝐶↑2)))
46	45	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴) = (-(𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
47	15, 17, 22	divcld 12015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐷 / (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
48	47, 1	mulneg1d 11691	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (-(𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
49	15, 1, 17, 22	div23d 12052	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)) = ((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴))
50	49	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
51	50	negeqd 11475	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → -((𝐷 / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
52	46, 48, 51	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴) = -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2)))
53	42, 52	oveq12d 7431	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴)) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) + -((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
54	30, 32, 17, 22	divsubdird 12054	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2)) = (((𝐵 · 𝐶) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · 𝐴) / (𝐶↑2))))
55	34, 53, 54	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴)) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2)))
56	55	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · (1 / 𝐶)) + (-((1 · 𝐷) / (𝐶↑2)) · 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))
57	9, 28, 56	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐶↑2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3896  {csn 4584  {cpr 4586   ↦ cmpt 5186  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11465  -cneg 11466   / cdiv 11895  2c2 12319  ↑cexp 14125   D cdv 26090

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-t1 23539  df-haus 23540  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-limc 26093  df-dv 26094

This theorem is used by:  dvdivf  46750  dvdivbd  46751  fourierdlem56  46990  fourierdlem57  46991  dvcot  50691