MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptdiv 25375
Description: Function-builder for derivative, quotient rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptdiv.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ {โ„, โ„‚})
dvmptdiv.a ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
dvmptdiv.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
dvmptdiv.da (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ต))
dvmptdiv.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ถ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
dvmptdiv.d ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
dvmptdiv.dc (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ถ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ท))
Assertion
Ref Expression
dvmptdiv (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด / ๐ถ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท ๐ด)) / (๐ถโ†‘2))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐‘‰   ๐‘ฅ,๐‘‹   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐ท(๐‘ฅ)

Proof of Theorem dvmptdiv
StepHypRef Expression
1 dvmptdiv.a . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 dvmptdiv.c . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ถ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
32eldifad 3925 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4 eldifsn 4752 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0))
52, 4sylib 217 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0))
65simprd 496 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
71, 3, 6divrecd 11943 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ด / ๐ถ) = (๐ด ยท (1 / ๐ถ)))
87mpteq2dva 5210 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด / ๐ถ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท (1 / ๐ถ))))
98oveq2d 7378 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด / ๐ถ))) = (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท (1 / ๐ถ)))))
10 dvmptdiv.s . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ {โ„, โ„‚})
11 dvmptdiv.b . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
12 dvmptdiv.da . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ต))
133, 6reccld 11933 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
14 1cnd 11159 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
15 dvmptdiv.d . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1614, 15mulcld 11184 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (1 ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
173sqcld 14059 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
186neneqd 2944 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ยฌ ๐ถ = 0)
19 sqeq0 14035 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ถโ†‘2) = 0 โ†” ๐ถ = 0))
203, 19syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐ถโ†‘2) = 0 โ†” ๐ถ = 0))
2118, 20mtbird 324 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ยฌ (๐ถโ†‘2) = 0)
2221neqned 2946 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ถโ†‘2) โ‰  0)
2316, 17, 22divcld 11940 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((1 ยท ๐ท) / (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
2423negcld 11508 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ -((1 ยท ๐ท) / (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
25 1cnd 11159 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
26 dvmptdiv.dc . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ถ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ท))
2710, 25, 2, 15, 26dvrecg 25374 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (1 / ๐ถ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ -((1 ยท ๐ท) / (๐ถโ†‘2))))
2810, 1, 11, 12, 13, 24, 27dvmptmul 25362 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท (1 / ๐ถ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐ต ยท (1 / ๐ถ)) + (-((1 ยท ๐ท) / (๐ถโ†‘2)) ยท ๐ด))))
2910, 1, 11, 12dvmptcl 25360 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3029, 3mulcld 11184 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3130, 17, 22divcld 11940 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) / (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3215, 1mulcld 11184 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ท ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3332, 17, 22divcld 11940 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐ท ยท ๐ด) / (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3431, 33negsubd 11527 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) / (๐ถโ†‘2)) + -((๐ท ยท ๐ด) / (๐ถโ†‘2))) = (((๐ต ยท ๐ถ) / (๐ถโ†‘2)) โˆ’ ((๐ท ยท ๐ด) / (๐ถโ†‘2))))
3529, 14, 3, 6div12d 11976 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ต ยท (1 / ๐ถ)) = (1 ยท (๐ต / ๐ถ)))
3629, 3, 6divcld 11940 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ต / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3736mullidd 11182 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (1 ยท (๐ต / ๐ถ)) = (๐ต / ๐ถ))
383sqvald 14058 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ถโ†‘2) = (๐ถ ยท ๐ถ))
3938oveq2d 7378 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) / (๐ถโ†‘2)) = ((๐ต ยท ๐ถ) / (๐ถ ยท ๐ถ)))
4029, 3, 3, 6, 6divcan5rd 11967 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) / (๐ถ ยท ๐ถ)) = (๐ต / ๐ถ))
4139, 40eqtr2d 2772 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ต / ๐ถ) = ((๐ต ยท ๐ถ) / (๐ถโ†‘2)))
4235, 37, 413eqtrd 2775 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ต ยท (1 / ๐ถ)) = ((๐ต ยท ๐ถ) / (๐ถโ†‘2)))
4315mullidd 11182 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (1 ยท ๐ท) = ๐ท)
4443oveq1d 7377 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((1 ยท ๐ท) / (๐ถโ†‘2)) = (๐ท / (๐ถโ†‘2)))
4544negeqd 11404 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ -((1 ยท ๐ท) / (๐ถโ†‘2)) = -(๐ท / (๐ถโ†‘2)))
4645oveq1d 7377 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (-((1 ยท ๐ท) / (๐ถโ†‘2)) ยท ๐ด) = (-(๐ท / (๐ถโ†‘2)) ยท ๐ด))
4715, 17, 22divcld 11940 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ท / (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
4847, 1mulneg1d 11617 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (-(๐ท / (๐ถโ†‘2)) ยท ๐ด) = -((๐ท / (๐ถโ†‘2)) ยท ๐ด))
4915, 1, 17, 22div23d 11977 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐ท ยท ๐ด) / (๐ถโ†‘2)) = ((๐ท / (๐ถโ†‘2)) ยท ๐ด))
5049eqcomd 2737 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐ท / (๐ถโ†‘2)) ยท ๐ด) = ((๐ท ยท ๐ด) / (๐ถโ†‘2)))
5150negeqd 11404 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ -((๐ท / (๐ถโ†‘2)) ยท ๐ด) = -((๐ท ยท ๐ด) / (๐ถโ†‘2)))
5246, 48, 513eqtrd 2775 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (-((1 ยท ๐ท) / (๐ถโ†‘2)) ยท ๐ด) = -((๐ท ยท ๐ด) / (๐ถโ†‘2)))
5342, 52oveq12d 7380 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐ต ยท (1 / ๐ถ)) + (-((1 ยท ๐ท) / (๐ถโ†‘2)) ยท ๐ด)) = (((๐ต ยท ๐ถ) / (๐ถโ†‘2)) + -((๐ท ยท ๐ด) / (๐ถโ†‘2))))
5430, 32, 17, 22divsubdird 11979 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท ๐ด)) / (๐ถโ†‘2)) = (((๐ต ยท ๐ถ) / (๐ถโ†‘2)) โˆ’ ((๐ท ยท ๐ด) / (๐ถโ†‘2))))
5534, 53, 543eqtr4d 2781 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐ต ยท (1 / ๐ถ)) + (-((1 ยท ๐ท) / (๐ถโ†‘2)) ยท ๐ด)) = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท ๐ด)) / (๐ถโ†‘2)))
5655mpteq2dva 5210 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐ต ยท (1 / ๐ถ)) + (-((1 ยท ๐ท) / (๐ถโ†‘2)) ยท ๐ด))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท ๐ด)) / (๐ถโ†‘2))))
579, 28, 563eqtrd 2775 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด / ๐ถ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท ๐ด)) / (๐ถโ†‘2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2939   โˆ– cdif 3910  {csn 4591  {cpr 4593   โ†ฆ cmpt 5193  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11058  โ„cr 11059  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   ยท cmul 11065   โˆ’ cmin 11394  -cneg 11395   / cdiv 11821  2c2 12217  โ†‘cexp 13977   D cdv 25264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-mulg 18887  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-ntr 22408  df-cls 22409  df-nei 22486  df-lp 22524  df-perf 22525  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-t1 22702  df-haus 22703  df-tx 22950  df-hmeo 23143  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-xms 23710  df-ms 23711  df-tms 23712  df-cncf 24278  df-limc 25267  df-dv 25268
This theorem is referenced by:  dvdivf  44264  dvdivbd  44265  fourierdlem56  44504  fourierdlem57  44505
  Copyright terms: Public domain W3C validator