MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsmulg 19150
Description: Value of a group multiple in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmulg.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsmulg.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsmulg.s = (.g𝑌)
pwsmulg.t · = (.g𝑅)
Assertion
Ref Expression
pwsmulg (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑁 𝑋)‘𝐴) = (𝑁 · (𝑋𝐴)))

Proof of Theorem pwsmulg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝑅 ∈ Mnd)
2 simplr 769 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝐼𝑉)
3 simpr3 1195 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝐴𝐼)
4 pwsmulg.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
5 pwsmulg.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
64, 5pwspjmhm 18856 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
71, 2, 3, 6syl3anc 1370 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
8 simpr1 1193 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9 simpr2 1194 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝑋𝐵)
10 pwsmulg.s . . . 4 = (.g𝑌)
11 pwsmulg.t . . . 4 · = (.g𝑅)
125, 10, 11mhmmulg 19146 . . 3 (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁 · ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋)))
137, 8, 9, 12syl3anc 1370 . 2 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁 · ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋)))
144pwsmnd 18798 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ Mnd)
1514adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝑌 ∈ Mnd)
165, 10, 15, 8, 9mulgnn0cld 19126 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → (𝑁 𝑋) ∈ 𝐵)
17 fveq1 6906 . . . 4 (𝑥 = (𝑁 𝑋) → (𝑥𝐴) = ((𝑁 𝑋)‘𝐴))
18 eqid 2735 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))
19 fvex 6920 . . . 4 ((𝑁 𝑋)‘𝐴) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 7016 . . 3 ((𝑁 𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = ((𝑁 𝑋)‘𝐴))
2116, 20syl 17 . 2 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = ((𝑁 𝑋)‘𝐴))
22 fveq1 6906 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐴) = (𝑋𝐴))
23 fvex 6920 . . . . 5 (𝑋𝐴) ∈ V
2422, 18, 23fvmpt 7016 . . . 4 (𝑋𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋) = (𝑋𝐴))
259, 24syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋) = (𝑋𝐴))
2625oveq2d 7447 . 2 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → (𝑁 · ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋)) = (𝑁 · (𝑋𝐴)))
2713, 21, 263eqtr3d 2783 1 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑁 𝑋)‘𝐴) = (𝑁 · (𝑋𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cn0 12524  Basecbs 17245  s cpws 17493  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807  .gcmg 19098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-mulg 19099
This theorem is referenced by:  evl1expd  22365
  Copyright terms: Public domain W3C validator