MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsmulg 18844
Description: Value of a group multiple in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmulg.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsmulg.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsmulg.s = (.g𝑌)
pwsmulg.t · = (.g𝑅)
Assertion
Ref Expression
pwsmulg (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑁 𝑋)‘𝐴) = (𝑁 · (𝑋𝐴)))

Proof of Theorem pwsmulg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝑅 ∈ Mnd)
2 simplr 766 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝐼𝑉)
3 simpr3 1195 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝐴𝐼)
4 pwsmulg.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
5 pwsmulg.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
64, 5pwspjmhm 18565 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
71, 2, 3, 6syl3anc 1370 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
8 simpr1 1193 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9 simpr2 1194 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝑋𝐵)
10 pwsmulg.s . . . 4 = (.g𝑌)
11 pwsmulg.t . . . 4 · = (.g𝑅)
125, 10, 11mhmmulg 18840 . . 3 (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁 · ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋)))
137, 8, 9, 12syl3anc 1370 . 2 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁 · ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋)))
144pwsmnd 18517 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ Mnd)
1514adantr 481 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝑌 ∈ Mnd)
165, 10mulgnn0cl 18816 . . . 4 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 𝑋) ∈ 𝐵)
1715, 8, 9, 16syl3anc 1370 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → (𝑁 𝑋) ∈ 𝐵)
18 fveq1 6824 . . . 4 (𝑥 = (𝑁 𝑋) → (𝑥𝐴) = ((𝑁 𝑋)‘𝐴))
19 eqid 2736 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))
20 fvex 6838 . . . 4 ((𝑁 𝑋)‘𝐴) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 6931 . . 3 ((𝑁 𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = ((𝑁 𝑋)‘𝐴))
2217, 21syl 17 . 2 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = ((𝑁 𝑋)‘𝐴))
23 fveq1 6824 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐴) = (𝑋𝐴))
24 fvex 6838 . . . . 5 (𝑋𝐴) ∈ V
2523, 19, 24fvmpt 6931 . . . 4 (𝑋𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋) = (𝑋𝐴))
269, 25syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋) = (𝑋𝐴))
2726oveq2d 7353 . 2 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → (𝑁 · ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋)) = (𝑁 · (𝑋𝐴)))
2813, 22, 273eqtr3d 2784 1 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑁 𝑋)‘𝐴) = (𝑁 · (𝑋𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  cmpt 5175  cfv 6479  (class class class)co 7337  0cn0 12334  Basecbs 17009  s cpws 17254  Mndcmnd 18482   MndHom cmhm 18525  .gcmg 18796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-fz 13341  df-seq 13823  df-struct 16945  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-hom 17083  df-cco 17084  df-0g 17249  df-prds 17255  df-pws 17257  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-mhm 18527  df-mulg 18797
This theorem is referenced by:  evl1expd  21617
  Copyright terms: Public domain W3C validator