Theorem pwsmulg 19042

Description: Value of a group multiple in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsmulg.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsmulg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsmulg.s	⊢ ∙ = (.g‘𝑌)
pwsmulg.t	⊢ · = (.g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pwsmulg	⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼)) → ((𝑁 ∙ 𝑋)‘𝐴) = (𝑁 · (𝑋‘𝐴)))

Proof of Theorem pwsmulg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 764	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼)) → 𝑅 ∈ Mnd)
2		simplr 766	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		simpr3 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼)) → 𝐴 ∈ 𝐼)
4		pwsmulg.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
5		pwsmulg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6	4, 5	pwspjmhm 18751	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
8		simpr1 1191	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9		simpr2 1192	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		pwsmulg.s	. . . 4 ⊢ ∙ = (.g‘𝑌)
11		pwsmulg.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑅)
12	5, 10, 11	mhmmulg 19038	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑁 ∙ 𝑋)) = (𝑁 · ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑋)))
13	7, 8, 9, 12	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑁 ∙ 𝑋)) = (𝑁 · ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑋)))
14	4	pwsmnd 18698	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Mnd)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼)) → 𝑌 ∈ Mnd)
16	5, 10, 15, 8, 9	mulgnn0cld 19018	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼)) → (𝑁 ∙ 𝑋) ∈ 𝐵)
17		fveq1 6881	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑁 ∙ 𝑋) → (𝑥‘𝐴) = ((𝑁 ∙ 𝑋)‘𝐴))
18		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))
19		fvex 6895	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∙ 𝑋)‘𝐴) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 6989	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∙ 𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑁 ∙ 𝑋)) = ((𝑁 ∙ 𝑋)‘𝐴))
21	16, 20	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑁 ∙ 𝑋)) = ((𝑁 ∙ 𝑋)‘𝐴))
22		fveq1 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥‘𝐴) = (𝑋‘𝐴))
23		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (𝑋‘𝐴) ∈ V
24	22, 18, 23	fvmpt 6989	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑋) = (𝑋‘𝐴))
25	9, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑋) = (𝑋‘𝐴))
26	25	oveq2d 7418	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼)) → (𝑁 · ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑋)) = (𝑁 · (𝑋‘𝐴)))
27	13, 21, 26	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼)) → ((𝑁 ∙ 𝑋)‘𝐴) = (𝑁 · (𝑋‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5222  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℕ₀cn0 12471  Basecbs 17149   ↑_s cpws 17397  Mndcmnd 18663   MndHom cmhm 18707  ._gcmg 18991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-seq 13968  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-mulg 18992

This theorem is referenced by:  evl1expd  22208