MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsmulg 18046
Description: Value of a group multiple in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmulg.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsmulg.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsmulg.s = (.g𝑌)
pwsmulg.t · = (.g𝑅)
Assertion
Ref Expression
pwsmulg (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑁 𝑋)‘𝐴) = (𝑁 · (𝑋𝐴)))

Proof of Theorem pwsmulg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 754 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝑅 ∈ Mnd)
2 simplr 756 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝐼𝑉)
3 simpr3 1176 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝐴𝐼)
4 pwsmulg.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
5 pwsmulg.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
64, 5pwspjmhm 17826 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
71, 2, 3, 6syl3anc 1351 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
8 simpr1 1174 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9 simpr2 1175 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝑋𝐵)
10 pwsmulg.s . . . 4 = (.g𝑌)
11 pwsmulg.t . . . 4 · = (.g𝑅)
125, 10, 11mhmmulg 18042 . . 3 (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁 · ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋)))
137, 8, 9, 12syl3anc 1351 . 2 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁 · ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋)))
144pwsmnd 17783 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ Mnd)
1514adantr 473 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝑌 ∈ Mnd)
165, 10mulgnn0cl 18019 . . . 4 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 𝑋) ∈ 𝐵)
1715, 8, 9, 16syl3anc 1351 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → (𝑁 𝑋) ∈ 𝐵)
18 fveq1 6492 . . . 4 (𝑥 = (𝑁 𝑋) → (𝑥𝐴) = ((𝑁 𝑋)‘𝐴))
19 eqid 2772 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))
20 fvex 6506 . . . 4 ((𝑁 𝑋)‘𝐴) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 6589 . . 3 ((𝑁 𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = ((𝑁 𝑋)‘𝐴))
2217, 21syl 17 . 2 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = ((𝑁 𝑋)‘𝐴))
23 fveq1 6492 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐴) = (𝑋𝐴))
24 fvex 6506 . . . . 5 (𝑋𝐴) ∈ V
2523, 19, 24fvmpt 6589 . . . 4 (𝑋𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋) = (𝑋𝐴))
269, 25syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋) = (𝑋𝐴))
2726oveq2d 6986 . 2 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → (𝑁 · ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋)) = (𝑁 · (𝑋𝐴)))
2813, 22, 273eqtr3d 2816 1 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑁 𝑋)‘𝐴) = (𝑁 · (𝑋𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  cmpt 5002  cfv 6182  (class class class)co 6970  0cn0 11700  Basecbs 16329  s cpws 16566  Mndcmnd 17752   MndHom cmhm 17791  .gcmg 18001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-fz 12702  df-seq 13178  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-hom 16435  df-cco 16436  df-0g 16561  df-prds 16567  df-pws 16569  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-mhm 17793  df-mulg 18002
This theorem is referenced by:  evl1expd  20200
  Copyright terms: Public domain W3C validator