Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressdeg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressdeg1 32646
Description: The degree of a univariate polynomial in a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ressdeg1.h 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
ressdeg1.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
ressdeg1.u π‘ˆ = (Poly1β€˜π»)
ressdeg1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
ressdeg1.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
ressdeg1.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
ressdeg1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘ƒ) = (( deg1 β€˜π»)β€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem ressdeg1
StepHypRef Expression
1 ressdeg1.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
2 ressdeg1.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
3 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
42, 3subrg0 20325 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π»))
51, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π»))
65oveq2d 7424 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π‘…)) = ((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π»)))
76supeq1d 9440 . 2 (πœ‘ β†’ sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ) = sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π»)), ℝ*, < ))
8 ressdeg1.p . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
9 eqid 2732 . . . . . 6 (Poly1β€˜π‘…) = (Poly1β€˜π‘…)
10 ressdeg1.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Poly1β€˜π»)
11 ressdeg1.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
12 eqid 2732 . . . . . 6 (PwSer1β€˜π») = (PwSer1β€˜π»)
13 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(PwSer1β€˜π»)) = (Baseβ€˜(PwSer1β€˜π»))
14 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))
159, 2, 10, 11, 1, 12, 13, 14ressply1bas2 21749 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜(PwSer1β€˜π»)) ∩ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))))
168, 15eleqtrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ((Baseβ€˜(PwSer1β€˜π»)) ∩ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))))
1716elin2d 4199 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)))
18 ressdeg1.d . . . 4 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
19 eqid 2732 . . . 4 (coe1β€˜π‘ƒ) = (coe1β€˜π‘ƒ)
2018, 9, 14, 3, 19deg1val 25613 . . 3 (𝑃 ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) β†’ (π·β€˜π‘ƒ) = sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
2117, 20syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘ƒ) = sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
22 eqid 2732 . . . 4 ( deg1 β€˜π») = ( deg1 β€˜π»)
23 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
2422, 10, 11, 23, 19deg1val 25613 . . 3 (𝑃 ∈ 𝐡 β†’ (( deg1 β€˜π»)β€˜π‘ƒ) = sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π»)), ℝ*, < ))
258, 24syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π»)β€˜π‘ƒ) = sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π»)), ℝ*, < ))
267, 21, 253eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘ƒ) = (( deg1 β€˜π»)β€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   supp csupp 8145  supcsup 9434  β„*cxr 11246   < clt 11247  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  0gc0g 17384  SubRingcsubrg 20314  PwSer1cps1 21698  Poly1cpl1 21700  coe1cco1 21701   deg1 cdg1 25568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-subrg 20316  df-cnfld 20944  df-psr 21461  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-psr1 21703  df-ply1 21705  df-coe1 21706  df-mdeg 25569  df-deg1 25570
This theorem is referenced by:  ressply1mon1p  32652
  Copyright terms: Public domain W3C validator