Theorem ressdeg1 33570

Description: The degree of a univariate polynomial in a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressdeg1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressdeg1.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ressdeg1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressdeg1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressdeg1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
ressdeg1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ressdeg1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑃) = ((deg1‘𝐻)‘𝑃))

Proof of Theorem ressdeg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressdeg1.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		ressdeg1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	2, 3	subrg0 20595	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
6	5	oveq2d 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑃) supp (0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝑃) supp (0g‘𝐻)))
7	6	supeq1d 9483	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(((coe1‘𝑃) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ) = sup(((coe1‘𝑃) supp (0g‘𝐻)), ℝ*, < ))
8		ressdeg1.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
10		ressdeg1.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
11		ressdeg1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
12		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (PwSer1‘𝐻) = (PwSer1‘𝐻)
13		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝐻)) = (Base‘(PwSer1‘𝐻))
14		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
15	9, 2, 10, 11, 1, 12, 13, 14	ressply1bas2 22244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝐻)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑅))))
16	8, 15	eleqtrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((Base‘(PwSer1‘𝐻)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑅))))
17	16	elin2d 4214	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
18		ressdeg1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
19		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (coe1‘𝑃) = (coe1‘𝑃)
20	18, 9, 14, 3, 19	deg1val 26149	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) → (𝐷‘𝑃) = sup(((coe1‘𝑃) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
21	17, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑃) = sup(((coe1‘𝑃) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
22		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝐻) = (deg1‘𝐻)
23		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
24	22, 10, 11, 23, 19	deg1val 26149	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → ((deg1‘𝐻)‘𝑃) = sup(((coe1‘𝑃) supp (0g‘𝐻)), ℝ*, < ))
25	8, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐻)‘𝑃) = sup(((coe1‘𝑃) supp (0g‘𝐻)), ℝ*, < ))
26	7, 21, 25	3eqtr4d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑃) = ((deg1‘𝐻)‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3961  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   supp csupp 8183  supcsup 9477  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292  Basecbs 17244   ↾_s cress 17273  0_gc0g 17485  SubRingcsubrg 20585  PwSer₁cps1 22191  Poly₁cpl1 22193  coe₁cco1 22194  deg₁cdg1 26107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-cnfld 21382  df-psr 21946  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-psr1 22196  df-ply1 22198  df-coe1 22199  df-mdeg 26108  df-deg1 26109

This theorem is referenced by:  ressply1mon1p  33572  algextdeglem7  33728  algextdeglem8  33729  rtelextdg2lem  33731