Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressdeg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressdeg1 33591
Description: The degree of a univariate polynomial in a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ressdeg1.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
ressdeg1.d 𝐷 = (deg1𝑅)
ressdeg1.u 𝑈 = (Poly1𝐻)
ressdeg1.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressdeg1.p (𝜑𝑃𝐵)
ressdeg1.t (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
ressdeg1 (𝜑 → (𝐷𝑃) = ((deg1𝐻)‘𝑃))

Proof of Theorem ressdeg1
StepHypRef Expression
1 ressdeg1.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
2 ressdeg1.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
3 eqid 2737 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
42, 3subrg0 20579 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g𝑅) = (0g𝐻))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝐻))
65oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝑃) supp (0g𝑅)) = ((coe1𝑃) supp (0g𝐻)))
76supeq1d 9486 . 2 (𝜑 → sup(((coe1𝑃) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ) = sup(((coe1𝑃) supp (0g𝐻)), ℝ*, < ))
8 ressdeg1.p . . . . 5 (𝜑𝑃𝐵)
9 eqid 2737 . . . . . 6 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
10 ressdeg1.u . . . . . 6 𝑈 = (Poly1𝐻)
11 ressdeg1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑈)
12 eqid 2737 . . . . . 6 (PwSer1𝐻) = (PwSer1𝐻)
13 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘(PwSer1𝐻)) = (Base‘(PwSer1𝐻))
14 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
159, 2, 10, 11, 1, 12, 13, 14ressply1bas2 22229 . . . . 5 (𝜑𝐵 = ((Base‘(PwSer1𝐻)) ∩ (Base‘(Poly1𝑅))))
168, 15eleqtrd 2843 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ((Base‘(PwSer1𝐻)) ∩ (Base‘(Poly1𝑅))))
1716elin2d 4205 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
18 ressdeg1.d . . . 4 𝐷 = (deg1𝑅)
19 eqid 2737 . . . 4 (coe1𝑃) = (coe1𝑃)
2018, 9, 14, 3, 19deg1val 26135 . . 3 (𝑃 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) → (𝐷𝑃) = sup(((coe1𝑃) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
2117, 20syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷𝑃) = sup(((coe1𝑃) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
22 eqid 2737 . . . 4 (deg1𝐻) = (deg1𝐻)
23 eqid 2737 . . . 4 (0g𝐻) = (0g𝐻)
2422, 10, 11, 23, 19deg1val 26135 . . 3 (𝑃𝐵 → ((deg1𝐻)‘𝑃) = sup(((coe1𝑃) supp (0g𝐻)), ℝ*, < ))
258, 24syl 17 . 2 (𝜑 → ((deg1𝐻)‘𝑃) = sup(((coe1𝑃) supp (0g𝐻)), ℝ*, < ))
267, 21, 253eqtr4d 2787 1 (𝜑 → (𝐷𝑃) = ((deg1𝐻)‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185  supcsup 9480  *cxr 11294   < clt 11295  Basecbs 17247  s cress 17274  0gc0g 17484  SubRingcsubrg 20569  PwSer1cps1 22176  Poly1cpl1 22178  coe1cco1 22179  deg1cdg1 26093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-cnfld 21365  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mdeg 26094  df-deg1 26095
This theorem is referenced by:  ressply1mon1p  33593  algextdeglem7  33764  algextdeglem8  33765  rtelextdg2lem  33767
  Copyright terms: Public domain W3C validator