Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressdeg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressdeg1 33251
Description: The degree of a univariate polynomial in a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ressdeg1.h 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
ressdeg1.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
ressdeg1.u π‘ˆ = (Poly1β€˜π»)
ressdeg1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
ressdeg1.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
ressdeg1.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
ressdeg1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘ƒ) = (( deg1 β€˜π»)β€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem ressdeg1
StepHypRef Expression
1 ressdeg1.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
2 ressdeg1.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
3 eqid 2728 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
42, 3subrg0 20518 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π»))
51, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π»))
65oveq2d 7436 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π‘…)) = ((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π»)))
76supeq1d 9470 . 2 (πœ‘ β†’ sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ) = sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π»)), ℝ*, < ))
8 ressdeg1.p . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
9 eqid 2728 . . . . . 6 (Poly1β€˜π‘…) = (Poly1β€˜π‘…)
10 ressdeg1.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Poly1β€˜π»)
11 ressdeg1.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
12 eqid 2728 . . . . . 6 (PwSer1β€˜π») = (PwSer1β€˜π»)
13 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜(PwSer1β€˜π»)) = (Baseβ€˜(PwSer1β€˜π»))
14 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))
159, 2, 10, 11, 1, 12, 13, 14ressply1bas2 22146 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜(PwSer1β€˜π»)) ∩ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))))
168, 15eleqtrd 2831 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ((Baseβ€˜(PwSer1β€˜π»)) ∩ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))))
1716elin2d 4199 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)))
18 ressdeg1.d . . . 4 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
19 eqid 2728 . . . 4 (coe1β€˜π‘ƒ) = (coe1β€˜π‘ƒ)
2018, 9, 14, 3, 19deg1val 26045 . . 3 (𝑃 ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) β†’ (π·β€˜π‘ƒ) = sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
2117, 20syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘ƒ) = sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
22 eqid 2728 . . . 4 ( deg1 β€˜π») = ( deg1 β€˜π»)
23 eqid 2728 . . . 4 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
2422, 10, 11, 23, 19deg1val 26045 . . 3 (𝑃 ∈ 𝐡 β†’ (( deg1 β€˜π»)β€˜π‘ƒ) = sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π»)), ℝ*, < ))
258, 24syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π»)β€˜π‘ƒ) = sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π»)), ℝ*, < ))
267, 21, 253eqtr4d 2778 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘ƒ) = (( deg1 β€˜π»)β€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3946  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   supp csupp 8165  supcsup 9464  β„*cxr 11278   < clt 11279  Basecbs 17180   β†Ύs cress 17209  0gc0g 17421  SubRingcsubrg 20506  PwSer1cps1 22094  Poly1cpl1 22096  coe1cco1 22097   deg1 cdg1 26000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-cnfld 21280  df-psr 21842  df-mpl 21844  df-opsr 21846  df-psr1 22099  df-ply1 22101  df-coe1 22102  df-mdeg 26001  df-deg1 26002
This theorem is referenced by:  ressply1mon1p  33253  algextdeglem7  33391  algextdeglem8  33392
  Copyright terms: Public domain W3C validator