Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressdeg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressdeg1 33140
Description: The degree of a univariate polynomial in a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ressdeg1.h 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
ressdeg1.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
ressdeg1.u π‘ˆ = (Poly1β€˜π»)
ressdeg1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
ressdeg1.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
ressdeg1.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
ressdeg1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘ƒ) = (( deg1 β€˜π»)β€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem ressdeg1
StepHypRef Expression
1 ressdeg1.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
2 ressdeg1.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
3 eqid 2724 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
42, 3subrg0 20477 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π»))
51, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π»))
65oveq2d 7418 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π‘…)) = ((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π»)))
76supeq1d 9438 . 2 (πœ‘ β†’ sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ) = sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π»)), ℝ*, < ))
8 ressdeg1.p . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
9 eqid 2724 . . . . . 6 (Poly1β€˜π‘…) = (Poly1β€˜π‘…)
10 ressdeg1.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Poly1β€˜π»)
11 ressdeg1.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
12 eqid 2724 . . . . . 6 (PwSer1β€˜π») = (PwSer1β€˜π»)
13 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜(PwSer1β€˜π»)) = (Baseβ€˜(PwSer1β€˜π»))
14 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))
159, 2, 10, 11, 1, 12, 13, 14ressply1bas2 22090 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜(PwSer1β€˜π»)) ∩ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))))
168, 15eleqtrd 2827 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ((Baseβ€˜(PwSer1β€˜π»)) ∩ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))))
1716elin2d 4192 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)))
18 ressdeg1.d . . . 4 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
19 eqid 2724 . . . 4 (coe1β€˜π‘ƒ) = (coe1β€˜π‘ƒ)
2018, 9, 14, 3, 19deg1val 25976 . . 3 (𝑃 ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) β†’ (π·β€˜π‘ƒ) = sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
2117, 20syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘ƒ) = sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
22 eqid 2724 . . . 4 ( deg1 β€˜π») = ( deg1 β€˜π»)
23 eqid 2724 . . . 4 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
2422, 10, 11, 23, 19deg1val 25976 . . 3 (𝑃 ∈ 𝐡 β†’ (( deg1 β€˜π»)β€˜π‘ƒ) = sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π»)), ℝ*, < ))
258, 24syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π»)β€˜π‘ƒ) = sup(((coe1β€˜π‘ƒ) supp (0gβ€˜π»)), ℝ*, < ))
267, 21, 253eqtr4d 2774 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘ƒ) = (( deg1 β€˜π»)β€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3940  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   supp csupp 8141  supcsup 9432  β„*cxr 11246   < clt 11247  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  0gc0g 17390  SubRingcsubrg 20465  PwSer1cps1 22038  Poly1cpl1 22040  coe1cco1 22041   deg1 cdg1 25931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-cnfld 21235  df-psr 21792  df-mpl 21794  df-opsr 21796  df-psr1 22043  df-ply1 22045  df-coe1 22046  df-mdeg 25932  df-deg1 25933
This theorem is referenced by:  ressply1mon1p  33142  algextdeglem7  33290  algextdeglem8  33291
  Copyright terms: Public domain W3C validator