Theorem clm0 24595

Description: The zero of the scalar ring of a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
clm0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clm0	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘𝐹))

Proof of Theorem clm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clm0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3	1, 2	clmsubrg 24589	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld))
4		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)) = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹))
5		cnfld0 20975	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
6	4, 5	subrg0 20330	. . 3 ⊢ ((Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (Base‘𝐹))))
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (Base‘𝐹))))
8	1, 2	clmsca 24588	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)))
9	8	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (0g‘𝐹) = (0g‘(ℂfld ↾s (Base‘𝐹))))
10	7, 9	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  Basecbs 17146   ↾_s cress 17175  Scalarcsca 17202  0_gc0g 17387  SubRingcsubrg 20319  ℂ_fldccnfld 20950  ℂModcclm 24585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-subg 19005  df-cmn 19652  df-mgp 19990  df-ring 20060  df-cring 20061  df-subrg 20321  df-cnfld 20951  df-clm 24586

This theorem is referenced by:  clm0vs  24618  clmopfne  24619  cvsunit  24654  cphorthcom  24725  cphip0l  24726  cphip0r  24727  cphipeq0  24728  ipcau2  24758  tcphcph  24761  csscld  24773  clsocv  24774  pjthlem2  24962