MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clm0 24233
Description: The zero of the scalar ring of a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
clm0.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
clm0 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g𝐹))

Proof of Theorem clm0
StepHypRef Expression
1 clm0.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2740 . . . 4 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
31, 2clmsubrg 24227 . . 3 (𝑊 ∈ ℂMod → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld))
4 eqid 2740 . . . 4 (ℂflds (Base‘𝐹)) = (ℂflds (Base‘𝐹))
5 cnfld0 20620 . . . 4 0 = (0g‘ℂfld)
64, 5subrg0 20029 . . 3 ((Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂflds (Base‘𝐹))))
73, 6syl 17 . 2 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(ℂflds (Base‘𝐹))))
81, 2clmsca 24226 . . 3 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)))
98fveq2d 6775 . 2 (𝑊 ∈ ℂMod → (0g𝐹) = (0g‘(ℂflds (Base‘𝐹))))
107, 9eqtr4d 2783 1 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2110  cfv 6432  (class class class)co 7271  0cc0 10872  Basecbs 16910  s cress 16939  Scalarcsca 16963  0gc0g 17148  SubRingcsubrg 20018  fldccnfld 20595  ℂModcclm 24223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-addf 10951  ax-mulf 10952
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-grp 18578  df-subg 18750  df-cmn 19386  df-mgp 19719  df-ring 19783  df-cring 19784  df-subrg 20020  df-cnfld 20596  df-clm 24224
This theorem is referenced by:  clm0vs  24256  clmopfne  24257  cvsunit  24292  cphorthcom  24363  cphip0l  24364  cphip0r  24365  cphipeq0  24366  ipcau2  24396  tcphcph  24399  csscld  24411  clsocv  24412  pjthlem2  24600
  Copyright terms: Public domain W3C validator