Theorem clm0 25043

Description: The zero of the scalar ring of a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
clm0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clm0	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘𝐹))

Proof of Theorem clm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clm0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3	1, 2	clmsubrg 25037	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld))
4		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)) = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹))
5		cnfld0 21337	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
6	4, 5	subrg0 20530	. . 3 ⊢ ((Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (Base‘𝐹))))
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (Base‘𝐹))))
8	1, 2	clmsca 25036	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)))
9	8	fveq2d 6900	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (0g‘𝐹) = (0g‘(ℂfld ↾s (Base‘𝐹))))
10	7, 9	eqtr4d 2768	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140  Basecbs 17183   ↾_s cress 17212  Scalarcsca 17239  0_gc0g 17424  SubRingcsubrg 20518  ℂ_fldccnfld 21296  ℂModcclm 25033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-addf 11219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-subg 19086  df-cmn 19749  df-mgp 20087  df-ring 20187  df-cring 20188  df-subrg 20520  df-cnfld 21297  df-clm 25034

This theorem is referenced by:  clm0vs  25066  clmopfne  25067  cvsunit  25102  cphorthcom  25173  cphip0l  25174  cphip0r  25175  cphipeq0  25176  ipcau2  25206  tcphcph  25209  csscld  25221  clsocv  25222  pjthlem2  25410