MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphreccllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphreccllem 25025
Description: Lemma for cphreccl 25028. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsubrglem.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphsubrglem.1 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐴))
cphsubrglem.2 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
cphreccllem ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (1 / 𝑋) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphreccllem
StepHypRef Expression
1 cphsubrglem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
2 cphsubrglem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐴))
3 cphsubrglem.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
41, 2, 3cphsubrglem 25024 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))
54simp3d 1143 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
653ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
7 cnfldbas 21236 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
87subrgss 20470 . . . . 5 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
96, 8syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝐾 ⊆ ℂ)
10 simp2 1136 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋𝐾)
119, 10sseldd 3983 . . 3 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
12 simp3 1137 . . 3 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
13 cnfldinv 21264 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))
1411, 12, 13syl2anc 583 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))
15 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
16 cnfld0 21257 . . . . . . . . . 10 0 = (0g‘ℂfld)
1715, 16subrg0 20477 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
186, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 0 = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
194simp1d 1141 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
20193ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
2120fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (0g𝐹) = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
2218, 21eqtr4d 2774 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 0 = (0g𝐹))
2312, 22neeqtrd 3009 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ (0g𝐹))
24 eldifsn 4790 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝐹)}) ↔ (𝑋𝐾𝑋 ≠ (0g𝐹)))
2510, 23, 24sylanbrc 582 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝐹)}))
2633ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝐹 ∈ DivRing)
27 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Unit‘𝐹) = (Unit‘𝐹)
28 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (0g𝐹) = (0g𝐹)
291, 27, 28isdrng 20587 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ DivRing ↔ (𝐹 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g𝐹)})))
3029simprbi 496 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ DivRing → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g𝐹)}))
3126, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g𝐹)}))
3220fveq2d 6895 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (Unit‘𝐹) = (Unit‘(ℂflds 𝐾)))
3331, 32eqtr3d 2773 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (𝐾 ∖ {(0g𝐹)}) = (Unit‘(ℂflds 𝐾)))
3425, 33eleqtrd 2834 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ (Unit‘(ℂflds 𝐾)))
35 eqid 2731 . . . . . 6 (Unit‘ℂfld) = (Unit‘ℂfld)
36 eqid 2731 . . . . . 6 (Unit‘(ℂflds 𝐾)) = (Unit‘(ℂflds 𝐾))
37 eqid 2731 . . . . . 6 (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
3815, 35, 36, 37subrgunit 20488 . . . . 5 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑋 ∈ (Unit‘(ℂflds 𝐾)) ↔ (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)))
396, 38syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (𝑋 ∈ (Unit‘(ℂflds 𝐾)) ↔ (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)))
4034, 39mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾))
4140simp3d 1143 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)
4214, 41eqeltrrd 2833 1 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (1 / 𝑋) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  cdif 3945  cin 3947  wss 3948  {csn 4628  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  0cc0 11116  1c1 11117   / cdiv 11878  Basecbs 17151  s cress 17180  0gc0g 17392  Ringcrg 20134  Unitcui 20253  invrcinvr 20285  SubRingcsubrg 20465  DivRingcdr 20583  fldccnfld 21232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-cnfld 21233
This theorem is referenced by:  cphreccl  25028  ipcau2  25081
  Copyright terms: Public domain W3C validator