Theorem cphreccllem 25138

Description: Lemma for cphreccl 25141. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsubrglem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphsubrglem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
cphsubrglem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
cphreccllem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / 𝑋) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphreccllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsubrglem.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
2		cphsubrglem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
3		cphsubrglem.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
4	1, 2, 3	cphsubrglem 25137	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))
5	4	simp3d 1145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
6	5	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
7		cnfldbas 21317	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
8	7	subrgss 20509	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝐾 ⊆ ℂ)
10		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ 𝐾)
11	9, 10	sseldd 3935	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
12		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
13		cnfldinv 21361	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))
14	11, 12, 13	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))
15		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
16		cnfld0 21351	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
17	15, 16	subrg0 20516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
18	6, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
19	4	simp1d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
20	19	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
21	20	fveq2d 6839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (0g‘𝐹) = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
22	18, 21	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 0 = (0g‘𝐹))
23	12, 22	neeqtrd 3002	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ (0g‘𝐹))
24		eldifsn 4743	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝐹)))
25	10, 23, 24	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
26	3	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝐹 ∈ DivRing)
27		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝐹) = (Unit‘𝐹)
28		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
29	1, 27, 28	isdrng 20670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing ↔ (𝐹 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)})))
30	29	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
31	26, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
32	20	fveq2d 6839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (Unit‘𝐹) = (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
33	31, 32	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}) = (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
34	25, 33	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
35		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘ℂfld) = (Unit‘ℂfld)
36		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾))
37		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
38	15, 35, 36, 37	subrgunit 20527	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑋 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)) ↔ (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)))
39	6, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)) ↔ (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)))
40	34, 39	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾))
41	40	simp3d 1145	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)
42	14, 41	eqeltrrd 2838	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / 𝑋) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  {csn 4581  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030  1c1 11031   / cdiv 11798  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161  0_gc0g 17363  Ringcrg 20172  Unitcui 20295  inv_rcinvr 20327  SubRingcsubrg 20506  DivRingcdr 20666  ℂ_fldccnfld 21313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-seq 13929  df-exp 13989  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-subg 19057  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-dvr 20341  df-subrg 20507  df-drng 20668  df-cnfld 21314

This theorem is referenced by:  cphreccl  25141  ipcau2  25194