Theorem cphreccllem 23305

Description: Lemma for cphreccl 23308. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsubrglem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphsubrglem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
cphsubrglem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
cphreccllem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / 𝑋) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphreccllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsubrglem.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
2		cphsubrglem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
3		cphsubrglem.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
4	1, 2, 3	cphsubrglem 23304	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))
5	4	simp3d 1175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
6	5	3ad2ant1 1164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
7		cnfldbas 20072	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
8	7	subrgss 19099	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝐾 ⊆ ℂ)
10		simp2 1168	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ 𝐾)
11	9, 10	sseldd 3799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
12		simp3 1169	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
13		cnfldinv 20099	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))
14	11, 12, 13	syl2anc 580	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))
15		eqid 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
16		cnfld0 20092	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
17	15, 16	subrg0 19105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
18	6, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
19	4	simp1d 1173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
20	19	3ad2ant1 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
21	20	fveq2d 6415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (0g‘𝐹) = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
22	18, 21	eqtr4d 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 0 = (0g‘𝐹))
23	12, 22	neeqtrd 3040	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ (0g‘𝐹))
24		eldifsn 4506	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝐹)))
25	10, 23, 24	sylanbrc 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
26	3	3ad2ant1 1164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝐹 ∈ DivRing)
27		eqid 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝐹) = (Unit‘𝐹)
28		eqid 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
29	1, 27, 28	isdrng 19069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing ↔ (𝐹 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)})))
30	29	simprbi 491	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
31	26, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
32	20	fveq2d 6415	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (Unit‘𝐹) = (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
33	31, 32	eqtr3d 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}) = (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
34	25, 33	eleqtrd 2880	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
35		eqid 2799	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘ℂfld) = (Unit‘ℂfld)
36		eqid 2799	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾))
37		eqid 2799	. . . . . 6 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
38	15, 35, 36, 37	subrgunit 19116	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑋 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)) ↔ (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)))
39	6, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)) ↔ (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)))
40	34, 39	mpbid 224	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾))
41	40	simp3d 1175	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)
42	14, 41	eqeltrrd 2879	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / 𝑋) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971   ∖ cdif 3766   ∩ cin 3768   ⊆ wss 3769  {csn 4368  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ℂcc 10222  0cc0 10224  1c1 10225   / cdiv 10976  Basecbs 16184   ↾_s cress 16185  0_gc0g 16415  Ringcrg 18863  Unitcui 18955  inv_rcinvr 18987  DivRingcdr 19065  SubRingcsubrg 19094  ℂ_fldccnfld 20068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-addf 10303  ax-mulf 10304

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-seq 13056  df-exp 13115  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-subg 17904  df-cmn 18510  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-invr 18988  df-dvr 18999  df-drng 19067  df-subrg 19096  df-cnfld 20069

This theorem is referenced by:  cphreccl  23308  ipcau2  23360