MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphreccllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphreccllem 25122
Description: Lemma for cphreccl 25125. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsubrglem.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
cphsubrglem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐴))
cphsubrglem.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
cphreccllem ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ (1 / 𝑋) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphreccllem
StepHypRef Expression
1 cphsubrglem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
2 cphsubrglem.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐴))
3 cphsubrglem.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
41, 2, 3cphsubrglem 25121 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ β„‚) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))
54simp3d 1141 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
653ad2ant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
7 cnfldbas 21285 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
87subrgss 20513 . . . . 5 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
96, 8syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
10 simp2 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
119, 10sseldd 3973 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
12 simp3 1135 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ 𝑋 β‰  0)
13 cnfldinv 21332 . . 3 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜π‘‹) = (1 / 𝑋))
1411, 12, 13syl2anc 582 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜π‘‹) = (1 / 𝑋))
15 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
16 cnfld0 21322 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
1715, 16subrg0 20520 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
186, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
194simp1d 1139 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
20193ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
2120fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
2218, 21eqtr4d 2768 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ 0 = (0gβ€˜πΉ))
2312, 22neeqtrd 3000 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜πΉ))
24 eldifsn 4786 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜πΉ)))
2510, 23, 24sylanbrc 581 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ 𝑋 ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}))
2633ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
27 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Unitβ€˜πΉ) = (Unitβ€˜πΉ)
28 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
291, 27, 28isdrng 20630 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ DivRing ↔ (𝐹 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜πΉ) = (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)})))
3029simprbi 495 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ DivRing β†’ (Unitβ€˜πΉ) = (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}))
3126, 30syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ (Unitβ€˜πΉ) = (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}))
3220fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ (Unitβ€˜πΉ) = (Unitβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
3331, 32eqtr3d 2767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) = (Unitβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
3425, 33eleqtrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
35 eqid 2725 . . . . . 6 (Unitβ€˜β„‚fld) = (Unitβ€˜β„‚fld)
36 eqid 2725 . . . . . 6 (Unitβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = (Unitβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
37 eqid 2725 . . . . . 6 (invrβ€˜β„‚fld) = (invrβ€˜β„‚fld)
3815, 35, 36, 37subrgunit 20531 . . . . 5 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ (𝑋 ∈ (Unitβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ↔ (𝑋 ∈ (Unitβ€˜β„‚fld) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜π‘‹) ∈ 𝐾)))
396, 38syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ (𝑋 ∈ (Unitβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ↔ (𝑋 ∈ (Unitβ€˜β„‚fld) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜π‘‹) ∈ 𝐾)))
4034, 39mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ (𝑋 ∈ (Unitβ€˜β„‚fld) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜π‘‹) ∈ 𝐾))
4140simp3d 1141 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜π‘‹) ∈ 𝐾)
4214, 41eqeltrrd 2826 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 β‰  0) β†’ (1 / 𝑋) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βˆ– cdif 3937   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  {csn 4624  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  0cc0 11136  1c1 11137   / cdiv 11899  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  0gc0g 17418  Ringcrg 20175  Unitcui 20296  invrcinvr 20328  SubRingcsubrg 20508  DivRingcdr 20626  β„‚fldccnfld 21281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-seq 13997  df-exp 14057  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-subg 19080  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-subrg 20510  df-drng 20628  df-cnfld 21282
This theorem is referenced by:  cphreccl  25125  ipcau2  25178
  Copyright terms: Public domain W3C validator