Theorem cphreccllem 24247

Description: Lemma for cphreccl 24250. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsubrglem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphsubrglem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
cphsubrglem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
cphreccllem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / 𝑋) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphreccllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsubrglem.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
2		cphsubrglem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
3		cphsubrglem.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
4	1, 2, 3	cphsubrglem 24246	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))
5	4	simp3d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
6	5	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
7		cnfldbas 20514	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
8	7	subrgss 19940	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝐾 ⊆ ℂ)
10		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ 𝐾)
11	9, 10	sseldd 3918	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
12		simp3 1136	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
13		cnfldinv 20541	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))
14	11, 12, 13	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))
15		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
16		cnfld0 20534	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
17	15, 16	subrg0 19946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
18	6, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
19	4	simp1d 1140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
20	19	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
21	20	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (0g‘𝐹) = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
22	18, 21	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 0 = (0g‘𝐹))
23	12, 22	neeqtrd 3012	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ (0g‘𝐹))
24		eldifsn 4717	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝐹)))
25	10, 23, 24	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
26	3	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝐹 ∈ DivRing)
27		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝐹) = (Unit‘𝐹)
28		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
29	1, 27, 28	isdrng 19910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing ↔ (𝐹 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)})))
30	29	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
31	26, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
32	20	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (Unit‘𝐹) = (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
33	31, 32	eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}) = (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
34	25, 33	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
35		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘ℂfld) = (Unit‘ℂfld)
36		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾))
37		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
38	15, 35, 36, 37	subrgunit 19957	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑋 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)) ↔ (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)))
39	6, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)) ↔ (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)))
40	34, 39	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾))
41	40	simp3d 1142	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)
42	14, 41	eqeltrrd 2840	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / 𝑋) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   / cdiv 11562  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  0_gc0g 17067  Ringcrg 19698  Unitcui 19796  inv_rcinvr 19828  DivRingcdr 19906  SubRingcsubrg 19935  ℂ_fldccnfld 20510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-subrg 19937  df-cnfld 20511

This theorem is referenced by:  cphreccl  24250  ipcau2  24303