Theorem cphreccllem 25061

Description: Lemma for cphreccl 25064. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsubrglem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphsubrglem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
cphsubrglem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
cphreccllem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / 𝑋) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphreccllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsubrglem.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
2		cphsubrglem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
3		cphsubrglem.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
4	1, 2, 3	cphsubrglem 25060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))
5	4	simp3d 1141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
6	5	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
7		cnfldbas 21244	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
8	7	subrgss 20474	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝐾 ⊆ ℂ)
10		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ 𝐾)
11	9, 10	sseldd 3978	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
12		simp3 1135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
13		cnfldinv 21291	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))
14	11, 12, 13	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))
15		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
16		cnfld0 21281	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
17	15, 16	subrg0 20481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
18	6, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
19	4	simp1d 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
20	19	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
21	20	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (0g‘𝐹) = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
22	18, 21	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 0 = (0g‘𝐹))
23	12, 22	neeqtrd 3004	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ (0g‘𝐹))
24		eldifsn 4785	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝐹)))
25	10, 23, 24	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
26	3	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝐹 ∈ DivRing)
27		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝐹) = (Unit‘𝐹)
28		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
29	1, 27, 28	isdrng 20591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing ↔ (𝐹 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)})))
30	29	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
31	26, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
32	20	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (Unit‘𝐹) = (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
33	31, 32	eqtr3d 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}) = (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
34	25, 33	eleqtrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
35		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘ℂfld) = (Unit‘ℂfld)
36		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾))
37		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
38	15, 35, 36, 37	subrgunit 20492	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑋 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)) ↔ (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)))
39	6, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)) ↔ (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)))
40	34, 39	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾))
41	40	simp3d 1141	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)
42	14, 41	eqeltrrd 2828	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / 𝑋) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3940   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  {csn 4623  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   / cdiv 11875  Basecbs 17153   ↾_s cress 17182  0_gc0g 17394  Ringcrg 20138  Unitcui 20257  inv_rcinvr 20289  SubRingcsubrg 20469  DivRingcdr 20587  ℂ_fldccnfld 21240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-cnfld 21241

This theorem is referenced by:  cphreccl  25064  ipcau2  25117