Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphreccllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphreccllem 23781
 Description: Lemma for cphreccl 23784. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsubrglem.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphsubrglem.1 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐴))
cphsubrglem.2 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
cphreccllem ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (1 / 𝑋) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphreccllem
StepHypRef Expression
1 cphsubrglem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
2 cphsubrglem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐴))
3 cphsubrglem.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
41, 2, 3cphsubrglem 23780 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))
54simp3d 1141 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
653ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
7 cnfldbas 20544 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
87subrgss 19531 . . . . 5 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
96, 8syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝐾 ⊆ ℂ)
10 simp2 1134 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋𝐾)
119, 10sseldd 3954 . . 3 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
12 simp3 1135 . . 3 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
13 cnfldinv 20571 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))
1411, 12, 13syl2anc 587 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))
15 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
16 cnfld0 20564 . . . . . . . . . 10 0 = (0g‘ℂfld)
1715, 16subrg0 19537 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
186, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 0 = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
194simp1d 1139 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
20193ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
2120fveq2d 6663 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (0g𝐹) = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
2218, 21eqtr4d 2862 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 0 = (0g𝐹))
2312, 22neeqtrd 3083 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ (0g𝐹))
24 eldifsn 4704 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝐹)}) ↔ (𝑋𝐾𝑋 ≠ (0g𝐹)))
2510, 23, 24sylanbrc 586 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝐹)}))
2633ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝐹 ∈ DivRing)
27 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Unit‘𝐹) = (Unit‘𝐹)
28 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (0g𝐹) = (0g𝐹)
291, 27, 28isdrng 19501 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ DivRing ↔ (𝐹 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g𝐹)})))
3029simprbi 500 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ DivRing → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g𝐹)}))
3126, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g𝐹)}))
3220fveq2d 6663 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (Unit‘𝐹) = (Unit‘(ℂflds 𝐾)))
3331, 32eqtr3d 2861 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (𝐾 ∖ {(0g𝐹)}) = (Unit‘(ℂflds 𝐾)))
3425, 33eleqtrd 2918 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ (Unit‘(ℂflds 𝐾)))
35 eqid 2824 . . . . . 6 (Unit‘ℂfld) = (Unit‘ℂfld)
36 eqid 2824 . . . . . 6 (Unit‘(ℂflds 𝐾)) = (Unit‘(ℂflds 𝐾))
37 eqid 2824 . . . . . 6 (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
3815, 35, 36, 37subrgunit 19548 . . . . 5 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑋 ∈ (Unit‘(ℂflds 𝐾)) ↔ (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)))
396, 38syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (𝑋 ∈ (Unit‘(ℂflds 𝐾)) ↔ (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)))
4034, 39mpbid 235 . . 3 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (𝑋 ∈ (Unit‘ℂfld) ∧ 𝑋𝐾 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾))
4140simp3d 1141 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) ∈ 𝐾)
4214, 41eqeltrrd 2917 1 ((𝜑𝑋𝐾𝑋 ≠ 0) → (1 / 𝑋) ∈ 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   ∖ cdif 3916   ∩ cin 3918   ⊆ wss 3919  {csn 4550  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   / cdiv 11291  Basecbs 16481   ↾s cress 16482  0gc0g 16711  Ringcrg 19295  Unitcui 19387  invrcinvr 19419  DivRingcdr 19497  SubRingcsubrg 19526  ℂfldccnfld 20540 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-addf 10610  ax-mulf 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-fz 12893  df-seq 13372  df-exp 13433  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-0g 16713  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-subg 18274  df-cmn 18906  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-cring 19298  df-oppr 19371  df-dvdsr 19389  df-unit 19390  df-invr 19420  df-dvr 19431  df-drng 19499  df-subrg 19528  df-cnfld 20541 This theorem is referenced by:  cphreccl  23784  ipcau2  23836
 Copyright terms: Public domain W3C validator