Theorem evlsgsummul 22461

Description: Polynomial evaluation maps (multiplicative) group sums to group sums. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsgsummul.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsgsummul.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsgsummul.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evlsgsummul.1	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
evlsgsummul.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsgsummul.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsgsummul.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
evlsgsummul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsgsummul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evlsgsummul.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsgsummul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsgsummul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsgsummul.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evlsgsummul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evlsgsummul.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 1 )

Assertion

Ref	Expression
evlsgsummul	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   1 (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem evlsgsummul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsgsummul.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
2		evlsgsummul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	mgpbas 20416	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		evlsgsummul.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
5	1, 4	ringidval 20460	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
6		evlsgsummul.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		evlsgsummul.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
8		evlsgsummul.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		evlsgsummul.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
10	9	subrgcrng 20878	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
11	7, 8, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
12		evlsgsummul.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
13	12	mplcrng 22383	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ CRing) → 𝑊 ∈ CRing)
14	6, 11, 13	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CRing)
15	1	crngmgp 20518	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
17		crngring 20523	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
18	7, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
19		ovex 7484	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V
20	18, 19	jctir 530	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V))
21		evlsgsummul.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
22	21	pwsring 20604	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
23		evlsgsummul.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
24	23	ringmgp 20516	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
25	20, 22, 24	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
26		nn0ex 12652	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
28		evlsgsummul.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
29	27, 28	ssexd 5293	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
30		evlsgsummul.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
31		evlsgsummul.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
32	30, 12, 9, 21, 31	evlsrhm 22452	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
33	6, 7, 8, 32	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
34	1, 23	rhmmhm 20761	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
35	33, 34	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
36		evlsgsummul.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
37		evlsgsummul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 1 )
38	3, 5, 16, 25, 29, 35, 36, 37	gsummptmhm 20205	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))) = (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
39	38	eqcomd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885   finSupp cfsupp 9391  ℕ₀cn0 12646  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452   Σ_g cgsu 17661   ↑_s cpws 17667  Mndcmnd 18973   MndHom cmhm 19026  CMndccmn 20045  mulGrpcmgp 20411  1_rcur 20458  Ringcrg 20510  CRingccrg 20511   RingHom crh 20750  SubRingcsubrg 20872   mPoly cmpl 22269   evalSub ces 22436

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-srg 20464  df-ring 20512  df-cring 20513  df-rhm 20753  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-assa 22216  df-asp 22217  df-ascl 22218  df-psr 22272  df-mvr 22273  df-mpl 22274  df-evls 22438

This theorem is used by: (None)