Theorem evls1vsca 22260

Description: Univariate polynomial evaluation of a scalar product of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1vsca.1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evls1vsca.2	⊢ · = (.r‘𝑆)
evls1vsca.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1vsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1vsca.m	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
evls1vsca.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1vsca.y	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1vsca	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1vsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		evls1vsca.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		evls1vsca.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
5		ressply1evl2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6		ressply1evl2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
7		ressply1evl2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
8		evls1vsca.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ressply1vsca 22116	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
11	1, 2, 3, 10	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12		evls1vsca.1	. . . . . 6 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13	12	oveqi 7400	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × 𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝑁)
14	7	fvexi 6872	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆)) = ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))
16	9, 15	ressvsca 17307	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆)) = ( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆)) = ( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	17	oveqi 7400	. . . . 5 ⊢ (𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁)
19	11, 13, 18	3eqtr4g 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
20	19	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
21	20	fveq1d 6860	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
22		ressply1evl2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
23		ressply1evl2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
24		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
25		evls1vsca.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
26	22, 23, 6, 5, 7, 24, 25, 8	ressply1evl 22257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
27	26	fveq1d 6860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × 𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝐴 × 𝑁)))
28	5	subrgcrng 20484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
29	25, 8, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
30		crngring 20154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ CRing → 𝑈 ∈ Ring)
31	6	ply1lmod 22136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
33	23	subrgss 20481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
34	8, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
35	5, 23	ressbas2 17208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐾 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
37	5	ovexi 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ V
38	6	ply1sca 22137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
39	37, 38	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
40	39	fveq2d 6862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
41	36, 40	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
42	2, 41	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
43		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
44		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
45	7, 43, 12, 44	lmodvscl 20784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝐴 × 𝑁) ∈ 𝐵)
46	32, 42, 3, 45	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝑁) ∈ 𝐵)
47	46	fvresd 6878	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝐴 × 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁)))
48	27, 47	eqtr2d 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁)) = (𝑄‘(𝐴 × 𝑁)))
49	48	fveq1d 6860	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶))
50		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
51		evls1vsca.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
52		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
53		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
54	4, 5, 6, 7, 8, 52, 53, 50	ressply1bas2 22112	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
55		inss2 4201	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
56	54, 55	eqsstrdi 3991	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
57	56, 3	sseldd 3947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
58	26	fveq1d 6860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
59	3	fvresd 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
60	58, 59	eqtr2d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
61	60	fveq1d 6860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
62	57, 61	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
63	34, 2	sseldd 3947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
64		evls1vsca.2	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑆)
65	24, 4, 23, 50, 25, 51, 62, 63, 15, 64	evl1vsd 22231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
66	65	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
67	21, 49, 66	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914   ↾ cres 5640  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  Ringcrg 20142  CRingccrg 20143  SubRingcsubrg 20478  LModclmod 20766  PwSer₁cps1 22059  Poly₁cpl1 22061   evalSub₁ ces1 22200  eval₁ce1 22201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-srg 20096  df-ring 20144  df-cring 20145  df-rhm 20381  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-assa 21762  df-asp 21763  df-ascl 21764  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-evls 21981  df-evl 21982  df-psr1 22064  df-vr1 22065  df-ply1 22066  df-coe1 22067  df-evls1 22202  df-evl1 22203

This theorem is referenced by:  evls1maplmhm  22264