Theorem evls1vsca 22276

Description: Univariate polynomial evaluation of a scalar product of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1vsca.1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evls1vsca.2	⊢ · = (.r‘𝑆)
evls1vsca.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1vsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1vsca.m	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
evls1vsca.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1vsca.y	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1vsca	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1vsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		evls1vsca.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		evls1vsca.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
5		ressply1evl2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6		ressply1evl2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
7		ressply1evl2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
8		evls1vsca.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ressply1vsca 22132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
11	1, 2, 3, 10	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12		evls1vsca.1	. . . . . 6 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13	12	oveqi 7366	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × 𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝑁)
14	7	fvexi 6840	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆)) = ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))
16	9, 15	ressvsca 17266	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆)) = ( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆)) = ( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	17	oveqi 7366	. . . . 5 ⊢ (𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁)
19	11, 13, 18	3eqtr4g 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
20	19	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
21	20	fveq1d 6828	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
22		ressply1evl2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
23		ressply1evl2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
24		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
25		evls1vsca.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
26	22, 23, 6, 5, 7, 24, 25, 8	ressply1evl 22273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
27	26	fveq1d 6828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × 𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝐴 × 𝑁)))
28	5	subrgcrng 20478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
29	25, 8, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
30		crngring 20148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ CRing → 𝑈 ∈ Ring)
31	6	ply1lmod 22152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
33	23	subrgss 20475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
34	8, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
35	5, 23	ressbas2 17167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐾 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
37	5	ovexi 7387	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ V
38	6	ply1sca 22153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
39	37, 38	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
40	39	fveq2d 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
41	36, 40	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
42	2, 41	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
43		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
44		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
45	7, 43, 12, 44	lmodvscl 20799	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝐴 × 𝑁) ∈ 𝐵)
46	32, 42, 3, 45	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝑁) ∈ 𝐵)
47	46	fvresd 6846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝐴 × 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁)))
48	27, 47	eqtr2d 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁)) = (𝑄‘(𝐴 × 𝑁)))
49	48	fveq1d 6828	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶))
50		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
51		evls1vsca.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
52		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
53		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
54	4, 5, 6, 7, 8, 52, 53, 50	ressply1bas2 22128	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
55		inss2 4191	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
56	54, 55	eqsstrdi 3982	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
57	56, 3	sseldd 3938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
58	26	fveq1d 6828	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
59	3	fvresd 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
60	58, 59	eqtr2d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
61	60	fveq1d 6828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
62	57, 61	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
63	34, 2	sseldd 3938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
64		evls1vsca.2	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑆)
65	24, 4, 23, 50, 25, 51, 62, 63, 15, 64	evl1vsd 22247	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
66	65	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
67	21, 49, 66	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905   ↾ cres 5625  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  ._rcmulr 17180  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137  SubRingcsubrg 20472  LModclmod 20781  PwSer₁cps1 22075  Poly₁cpl1 22077   evalSub₁ ces1 22216  eval₁ce1 22217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-rhm 20375  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-assa 21778  df-asp 21779  df-ascl 21780  df-psr 21834  df-mvr 21835  df-mpl 21836  df-opsr 21838  df-evls 21997  df-evl 21998  df-psr1 22080  df-vr1 22081  df-ply1 22082  df-coe1 22083  df-evls1 22218  df-evl1 22219

This theorem is referenced by:  evls1maplmhm  22280