Theorem evls1vsca 22329

Description: Univariate polynomial evaluation of a scalar product of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1vsca.1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evls1vsca.2	⊢ · = (.r‘𝑆)
evls1vsca.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1vsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1vsca.m	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
evls1vsca.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1vsca.y	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1vsca	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1vsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		evls1vsca.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		evls1vsca.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
5		ressply1evl2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6		ressply1evl2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
7		ressply1evl2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
8		evls1vsca.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ressply1vsca 22184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
11	1, 2, 3, 10	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12		evls1vsca.1	. . . . . 6 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13	12	oveqi 7381	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × 𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝑁)
14	7	fvexi 6856	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆)) = ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))
16	9, 15	ressvsca 17276	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆)) = ( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆)) = ( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	17	oveqi 7381	. . . . 5 ⊢ (𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁)
19	11, 13, 18	3eqtr4g 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
20	19	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
21	20	fveq1d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
22		ressply1evl2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
23		ressply1evl2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
24		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
25		evls1vsca.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
26	22, 23, 6, 5, 7, 24, 25, 8	ressply1evl 22326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
27	26	fveq1d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × 𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝐴 × 𝑁)))
28	5	subrgcrng 20520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
29	25, 8, 28	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
30		crngring 20192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ CRing → 𝑈 ∈ Ring)
31	6	ply1lmod 22204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
33	23	subrgss 20517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
34	8, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
35	5, 23	ressbas2 17177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐾 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
37	5	ovexi 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ V
38	6	ply1sca 22205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
39	37, 38	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
40	39	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
41	36, 40	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
42	2, 41	eleqtrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
43		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
44		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
45	7, 43, 12, 44	lmodvscl 20841	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝐴 × 𝑁) ∈ 𝐵)
46	32, 42, 3, 45	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝑁) ∈ 𝐵)
47	46	fvresd 6862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝐴 × 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁)))
48	27, 47	eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁)) = (𝑄‘(𝐴 × 𝑁)))
49	48	fveq1d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶))
50		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
51		evls1vsca.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
52		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
53		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
54	4, 5, 6, 7, 8, 52, 53, 50	ressply1bas2 22180	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
55		inss2 4192	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
56	54, 55	eqsstrdi 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
57	56, 3	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
58	26	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
59	3	fvresd 6862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
60	58, 59	eqtr2d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
61	60	fveq1d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
62	57, 61	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
63	34, 2	sseldd 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
64		evls1vsca.2	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑆)
65	24, 4, 23, 50, 25, 51, 62, 63, 15, 64	evl1vsd 22300	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
66	65	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
67	21, 49, 66	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  ._rcmulr 17190  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  SubRingcsubrg 20514  LModclmod 20823  PwSer₁cps1 22127  Poly₁cpl1 22129   evalSub₁ ces1 22269  eval₁ce1 22270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-assa 21820  df-asp 21821  df-ascl 21822  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-evls 22041  df-evl 22042  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134  df-coe1 22135  df-evls1 22271  df-evl1 22272

This theorem is referenced by:  evls1maplmhm  22333  evls1monply1  33671