Theorem evls1vsca 33246

Description: Univariate polynomial evaluation of a scalar product of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1vsca.1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evls1vsca.2	⊢ · = (.r‘𝑆)
evls1vsca.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1vsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1vsca.m	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
evls1vsca.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1vsca.y	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1vsca	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1vsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		evls1vsca.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		evls1vsca.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
4		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
5		ressply1evl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6		ressply1evl.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
7		ressply1evl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
8		evls1vsca.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ressply1vsca 22144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
11	1, 2, 3, 10	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12		evls1vsca.1	. . . . . 6 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13	12	oveqi 7428	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × 𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝑁)
14	7	fvexi 6906	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆)) = ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))
16	9, 15	ressvsca 17319	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆)) = ( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆)) = ( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	17	oveqi 7428	. . . . 5 ⊢ (𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁)
19	11, 13, 18	3eqtr4g 2793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
20	19	fveq2d 6896	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
21	20	fveq1d 6894	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
22		ressply1evl.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
23		ressply1evl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
24		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
25		evls1vsca.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
26	22, 23, 6, 5, 7, 24, 25, 8	ressply1evl 33242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
27	26	fveq1d 6894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × 𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝐴 × 𝑁)))
28	5	subrgcrng 20508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
29	25, 8, 28	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
30		crngring 20179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ CRing → 𝑈 ∈ Ring)
31	6	ply1lmod 22164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
33	23	subrgss 20505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
34	8, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
35	5, 23	ressbas2 17212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐾 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
37	5	ovexi 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ V
38	6	ply1sca 22165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
39	37, 38	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
40	39	fveq2d 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
41	36, 40	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
42	2, 41	eleqtrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
43		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
44		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
45	7, 43, 12, 44	lmodvscl 20755	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝐴 × 𝑁) ∈ 𝐵)
46	32, 42, 3, 45	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝑁) ∈ 𝐵)
47	46	fvresd 6912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝐴 × 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁)))
48	27, 47	eqtr2d 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁)) = (𝑄‘(𝐴 × 𝑁)))
49	48	fveq1d 6894	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶))
50		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
51		evls1vsca.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
52		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
53		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
54	4, 5, 6, 7, 8, 52, 53, 50	ressply1bas2 22140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
55		inss2 4226	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
56	54, 55	eqsstrdi 4033	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
57	56, 3	sseldd 3980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
58	26	fveq1d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
59	3	fvresd 6912	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
60	58, 59	eqtr2d 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
61	60	fveq1d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
62	57, 61	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
63	34, 2	sseldd 3980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
64		evls1vsca.2	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑆)
65	24, 4, 23, 50, 25, 51, 62, 63, 15, 64	evl1vsd 22257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
66	65	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
67	21, 49, 66	3eqtr3d 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470   ∩ cin 3944   ⊆ wss 3945   ↾ cres 5675  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174   ↾_s cress 17203  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  Ringcrg 20167  CRingccrg 20168  SubRingcsubrg 20500  LModclmod 20737  PwSer₁cps1 22088  Poly₁cpl1 22090   evalSub₁ ces1 22226  eval₁ce1 22227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-mulg 19018  df-subg 19072  df-ghm 19162  df-cntz 19262  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-srg 20121  df-ring 20169  df-cring 20170  df-rhm 20405  df-subrng 20477  df-subrg 20502  df-lmod 20739  df-lss 20810  df-lsp 20850  df-assa 21781  df-asp 21782  df-ascl 21783  df-psr 21836  df-mvr 21837  df-mpl 21838  df-opsr 21840  df-evls 22012  df-evl 22013  df-psr1 22093  df-vr1 22094  df-ply1 22095  df-coe1 22096  df-evls1 22228  df-evl1 22229

This theorem is referenced by:  evls1maplmhm  33365