Theorem evls1vsca 22514

Description: Univariate polynomial evaluation of a scalar product of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1vsca.1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evls1vsca.2	⊢ · = (.r‘𝑆)
evls1vsca.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1vsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1vsca.m	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
evls1vsca.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1vsca.y	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1vsca	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1vsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		evls1vsca.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		evls1vsca.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
5		ressply1evl2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6		ressply1evl2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
7		ressply1evl2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
8		evls1vsca.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ressply1vsca 22372	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
11	1, 2, 3, 10	syl12anc 849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12		evls1vsca.1	. . . . . 6 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13	12	oveqi 7425	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × 𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝑁)
14	7	fvexi 6897	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆)) = ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))
16	9, 15	ressvsca 17398	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆)) = ( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆)) = ( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	17	oveqi 7425	. . . . 5 ⊢ (𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁)
19	11, 13, 18	3eqtr4g 2823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝑁) = (𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
20	19	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
21	20	fveq1d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
22		ressply1evl2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
23		ressply1evl2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
24		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
25		evls1vsca.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
26	22, 23, 6, 5, 7, 24, 25, 8	ressply1evl 22511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
27	26	fveq1d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × 𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝐴 × 𝑁)))
28	5	subrgcrng 20661	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
29	25, 8, 28	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
30		crngring 20328	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ CRing → 𝑈 ∈ Ring)
31	6	ply1lmod 22392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
32	29, 30, 31	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
33	23	subrgss 20658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
34	8, 33	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
35	5, 23	ressbas2 17299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐾 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
37	5	ovexi 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ V
38	6	ply1sca 22393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
39	37, 38	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
40	39	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
41	36, 40	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
42	2, 41	eleqtrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
43		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
44		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
45	7, 43, 12, 44	lmodvscl 20980	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝐴 × 𝑁) ∈ 𝐵)
46	32, 42, 3, 45	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝑁) ∈ 𝐵)
47	46	fvresd 6903	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝐴 × 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁)))
48	27, 47	eqtr2d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁)) = (𝑄‘(𝐴 × 𝑁)))
49	48	fveq1d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶))
50		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
51		evls1vsca.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
52		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
53		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
54	4, 5, 6, 7, 8, 52, 53, 50	ressply1bas2 22368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
55		inss2 4191	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
56	54, 55	eqsstrdi 3982	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
57	56, 3	sseldd 3939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
58	26	fveq1d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
59	3	fvresd 6903	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
60	58, 59	eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
61	60	fveq1d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
62	57, 61	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
63	34, 2	sseldd 3939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
64		evls1vsca.2	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑆)
65	24, 4, 23, 50, 25, 51, 62, 63, 15, 64	evl1vsd 22485	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
66	65	simprd 500	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝐴( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
67	21, 49, 66	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × 𝑁))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906   ↾ cres 5665  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  Ringcrg 20316  CRingccrg 20317  SubRingcsubrg 20655  LModclmod 20962  PwSer₁cps1 22316  Poly₁cpl1 22318   evalSub₁ ces1 22454  eval₁ce1 22455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-prds 17501  df-pws 17503  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-srg 20270  df-ring 20318  df-cring 20319  df-rhm 20555  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-assa 21984  df-asp 21985  df-ascl 21986  df-psr 22040  df-mvr 22041  df-mpl 22042  df-opsr 22044  df-evls 22206  df-evl 22207  df-psr1 22321  df-vr1 22322  df-ply1 22323  df-coe1 22324  df-evls1 22456  df-evl1 22457

This theorem is referenced by:  evls1maplmhm  22518  evls1monply1  33847