Theorem ply1crng 22477

Description: The ring of univariate polynomials is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1crng	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)

Proof of Theorem ply1crng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1crng 22466	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (PwSer1‘𝑅) ∈ CRing)
3		ply1val.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5	3, 4	ply1bas 22474	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6		crngring 20433	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
7	3, 1, 4	ply1subrg 22476	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
9	5, 8	eqeltrrid 2865	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
10	3, 1	ply1val 22473	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
11	10	subrgcrng 20788	. 2 ⊢ (((PwSer1‘𝑅) ∈ CRing ∧ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅))) → 𝑃 ∈ CRing)
12	2, 9, 11	syl2anc 596	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  1_oc1o 8447  Basecbs 17348  Ringcrg 20420  CRingccrg 20421  SubRingcsubrg 20782   mPoly cmpl 22175  PwSer₁cps1 22454  Poly₁cpl1 22456

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-hash 14442  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-prds 17579  df-pws 17581  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-mulg 19239  df-subg 19294  df-ghm 19389  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-psr 22178  df-mpl 22180  df-opsr 22182  df-psr1 22459  df-ply1 22461

This theorem is used by:  ply1chr  22585  lply1binom  22589  ply1fermltlchr  22591  evls1gsummul  22604  evl1gsummul  22639  evls1maprhm  22655  pmatassa  22973  pmatcollpwfi  23061  pm2mp  23104  chpmatply1  23111  chpmat1d  23115  chpdmat  23120  chpscmat  23121  chp0mat  23125  chpidmat  23126  chfacfscmulcl  23136  chfacfscmul0  23137  chfacfscmulgsum  23139  cpmadurid  23146  cpmadugsumlemB  23153  cpmadugsumlemC  23154  cpmadugsumlemF  23155  cpmadugsumfi  23156  cpmidgsum2  23158  ply1idom  26404  fta1glem1  26447  ply1mulrtss  34047  vietalem  34144  irngss  34252  minplyirred  34276  algextdeglem4  34285  aks6d1c1p2  43079  aks6d1c1p3  43080  aks6d1c1p4  43081  aks6d1c1  43086  evl1gprodd  43087  aks6d1c2lem4  43097  aks6d1c5lem0  43105  aks6d1c5lem3  43107  aks6d1c5lem2  43108  aks6d1c5  43109  deg1gprod  43110  aks6d1c6lem3  43142  aks5lem2  43157  aks5lem3a  43159  aks5lem5a  43161