Theorem ply1crng 22424

Description: The ring of univariate polynomials is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1crng	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)

Proof of Theorem ply1crng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1crng 22413	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (PwSer1‘𝑅) ∈ CRing)
3		ply1val.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5	3, 4	ply1bas 22421	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6		crngring 20385	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
7	3, 1, 4	ply1subrg 22423	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
9	5, 8	eqeltrrid 2867	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
10	3, 1	ply1val 22420	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
11	10	subrgcrng 20738	. 2 ⊢ (((PwSer1‘𝑅) ∈ CRing ∧ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅))) → 𝑃 ∈ CRing)
12	2, 9, 11	syl2anc 596	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1_oc1o 8451  Basecbs 17305  Ringcrg 20373  CRingccrg 20374  SubRingcsubrg 20732   mPoly cmpl 22122  PwSer₁cps1 22401  Poly₁cpl1 22403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-psr 22125  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-ply1 22408

This theorem is used by:  ply1chr  22532  lply1binom  22536  ply1fermltlchr  22538  evls1gsummul  22551  evl1gsummul  22586  evls1maprhm  22602  pmatassa  22920  pmatcollpwfi  23008  pm2mp  23051  chpmatply1  23058  chpmat1d  23062  chpdmat  23067  chpscmat  23068  chp0mat  23072  chpidmat  23073  chfacfscmulcl  23083  chfacfscmul0  23084  chfacfscmulgsum  23086  cpmadurid  23093  cpmadugsumlemB  23100  cpmadugsumlemC  23101  cpmadugsumlemF  23102  cpmadugsumfi  23103  cpmidgsum2  23105  ply1idom  26352  fta1glem1  26395  ply1mulrtss  33979  vietalem  34076  irngss  34184  minplyirred  34208  algextdeglem4  34217  aks6d1c1p2  42962  aks6d1c1p3  42963  aks6d1c1p4  42964  aks6d1c1  42969  evl1gprodd  42970  aks6d1c2lem4  42980  aks6d1c5lem0  42988  aks6d1c5lem3  42990  aks6d1c5lem2  42991  aks6d1c5  42992  deg1gprod  42993  aks6d1c6lem3  43025  aks5lem2  43040  aks5lem3a  43042  aks5lem5a  43044