Theorem ply1crng 22150

Description: The ring of univariate polynomials is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1crng	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)

Proof of Theorem ply1crng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1crng 22139	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (PwSer1‘𝑅) ∈ CRing)
3		ply1val.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5	3, 4	ply1bas 22147	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6		crngring 20215	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
7	3, 1, 4	ply1subrg 22149	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
9	5, 8	eqeltrrid 2840	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
10	3, 1	ply1val 22146	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
11	10	subrgcrng 20541	. 2 ⊢ (((PwSer1‘𝑅) ∈ CRing ∧ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅))) → 𝑃 ∈ CRing)
12	2, 9, 11	syl2anc 585	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  1_oc1o 8387  Basecbs 17168  Ringcrg 20203  CRingccrg 20204  SubRingcsubrg 20535   mPoly cmpl 21875  PwSer₁cps1 22127  Poly₁cpl1 22129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-sup 9344  df-oi 9414  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-hash 14282  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-hom 17233  df-cco 17234  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-ghm 19177  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-psr 21878  df-mpl 21880  df-opsr 21882  df-psr1 22132  df-ply1 22134

This theorem is referenced by:  ply1chr  22259  lply1binom  22263  ply1fermltlchr  22265  evls1gsummul  22278  evl1gsummul  22313  evls1maprhm  22329  pmatassa  22647  pmatcollpwfi  22735  pm2mp  22778  chpmatply1  22785  chpmat1d  22789  chpdmat  22794  chpscmat  22795  chp0mat  22799  chpidmat  22800  chfacfscmulcl  22810  chfacfscmul0  22811  chfacfscmulgsum  22813  cpmadurid  22820  cpmadugsumlemB  22827  cpmadugsumlemC  22828  cpmadugsumlemF  22829  cpmadugsumfi  22830  cpmidgsum2  22832  ply1idom  26078  fta1glem1  26121  ply1mulrtss  33630  r1pid2OLD  33657  vietalem  33711  irngss  33819  minplyirred  33843  algextdeglem4  33852  aks6d1c1p2  42536  aks6d1c1p3  42537  aks6d1c1p4  42538  aks6d1c1  42543  evl1gprodd  42544  aks6d1c2lem4  42554  aks6d1c5lem0  42562  aks6d1c5lem3  42564  aks6d1c5lem2  42565  aks6d1c5  42566  deg1gprod  42567  aks6d1c6lem3  42599  aks5lem2  42614  aks5lem3a  42616  aks5lem5a  42618