Theorem refld 21480

Description: The real numbers form a field. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
refld	⊢ ℝfld ∈ Field

Proof of Theorem refld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubdrg 21469	. . 3 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
2	1	simpri 485	. 2 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
3		df-refld 21466	. . 3 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
4		cncrng 21250	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ CRing
5	1	simpli 483	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
6		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (ℂfld ↾s ℝ)
7	6	subrgcrng 20467	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ CRing ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s ℝ) ∈ CRing)
8	4, 5, 7	mp2an 689	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ CRing
9	3, 8	eqeltri 2821	. 2 ⊢ ℝfld ∈ CRing
10		isfld 20588	. 2 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
11	2, 9, 10	mpbir2an 708	1 ⊢ ℝfld ∈ Field

Syntax hints:   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℝcr 11105   ↾_s cress 17172  CRingccrg 20129  SubRingcsubrg 20459  DivRingcdr 20577  Fieldcfield 20578  ℂ_fldccnfld 21228  ℝ_fldcrefld 21465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-drng 20579  df-field 20580  df-cnfld 21229  df-refld 21466

This theorem is referenced by:  resrng  21482  recvs  24995  recvsOLD  24996  rrxbase  25238  rrxprds  25239  rrxip  25240  rrxcph  25242  rrxsca  25246  rrx0  25247  reofld  32925  rearchi  32927  ccfldextrr  33206  ccfldsrarelvec  33225  bj-rrdrg  36661