Theorem evls1gsummul 22450

Description: Univariate polynomial evaluation maps (multiplicative) group sums to group sums. (Contributed by AV, 14-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1gsummul.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1gsummul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1gsummul.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1gsummul.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evls1gsummul.1	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
evls1gsummul.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1gsummul.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
evls1gsummul.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
evls1gsummul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1gsummul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1gsummul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1gsummul.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evls1gsummul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evls1gsummul.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 1 )

Assertion

Ref	Expression
evls1gsummul	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   1 (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem evls1gsummul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1gsummul.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
2		evls1gsummul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	mgpbas 20217	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		evls1gsummul.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
5	1, 4	ringidval 20261	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
6		evls1gsummul.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7		evls1gsummul.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		evls1gsummul.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
9	8	subrgcrng 20656	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
10	6, 7, 9	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
11		evls1gsummul.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
12	11	ply1crng 22323	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CRing → 𝑊 ∈ CRing)
13	1	crngmgp 20319	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
14	10, 12, 13	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
15		crngring 20323	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
16	6, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
17		evls1gsummul.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
18	17	fvexi 6893	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
19	16, 18	jctir 529	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V))
20		evls1gsummul.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
21	20	pwsring 20401	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
22		evls1gsummul.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
23	22	ringmgp 20317	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
24	19, 21, 23	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
25		nn0ex 12506	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
27		evls1gsummul.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
28	26, 27	ssexd 5292	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
29		evls1gsummul.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
30	29, 17, 20, 8, 11	evls1rhm 22447	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
31	6, 7, 30	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
32	1, 22	rhmmhm 20557	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
33	31, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
34		evls1gsummul.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
35		evls1gsummul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 1 )
36	3, 5, 14, 24, 28, 33, 34, 35	gsummptmhm 20006	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))) = (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
37	36	eqcomd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   finSupp cfsupp 9317  ℕ₀cn0 12500  Basecbs 17265   ↾_s cress 17286   Σ_g cgsu 17489   ↑_s cpws 17495  Mndcmnd 18788   MndHom cmhm 18835  CMndccmn 19846  mulGrpcmgp 20212  1_rcur 20259  Ringcrg 20311  CRingccrg 20312   RingHom crh 20547  SubRingcsubrg 20650  Poly₁cpl1 22302   evalSub₁ ces1 22438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-prds 17496  df-pws 17498  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-ghm 19280  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-srg 20265  df-ring 20313  df-cring 20314  df-rhm 20550  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-assa 21968  df-asp 21969  df-ascl 21970  df-psr 22024  df-mvr 22025  df-mpl 22026  df-opsr 22028  df-evls 22190  df-psr1 22305  df-ply1 22307  df-evls1 22440

This theorem is referenced by: (None)