Theorem evls1gsummul 21489

Description: Univariate polynomial evaluation maps (multiplicative) group sums to group sums. (Contributed by AV, 14-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1gsummul.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1gsummul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1gsummul.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1gsummul.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evls1gsummul.1	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
evls1gsummul.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1gsummul.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
evls1gsummul.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
evls1gsummul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1gsummul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1gsummul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1gsummul.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evls1gsummul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evls1gsummul.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 1 )

Assertion

Ref	Expression
evls1gsummul	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   1 (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem evls1gsummul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1gsummul.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
2		evls1gsummul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	mgpbas 19724	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		evls1gsummul.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
5	1, 4	ringidval 19737	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
6		evls1gsummul.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7		evls1gsummul.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		evls1gsummul.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
9	8	subrgcrng 20026	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
10	6, 7, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
11		evls1gsummul.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
12	11	ply1crng 21367	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CRing → 𝑊 ∈ CRing)
13	1	crngmgp 19789	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
14	10, 12, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
15		crngring 19793	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
16	6, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
17		evls1gsummul.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
18	17	fvexi 6785	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
19	16, 18	jctir 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V))
20		evls1gsummul.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
21	20	pwsring 19852	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
22		evls1gsummul.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
23	22	ringmgp 19787	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
24	19, 21, 23	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
25		nn0ex 12239	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
27		evls1gsummul.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
28	26, 27	ssexd 5252	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
29		evls1gsummul.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
30	29, 17, 20, 8, 11	evls1rhm 21486	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
31	6, 7, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
32	1, 22	rhmmhm 19964	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
34		evls1gsummul.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
35		evls1gsummul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 1 )
36	3, 5, 14, 24, 28, 33, 34, 35	gsummptmhm 19539	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))) = (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
37	36	eqcomd 2746	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5162  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271   finSupp cfsupp 9106  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16910   ↾_s cress 16939   Σ_g cgsu 17149   ↑_s cpws 17155  Mndcmnd 18383   MndHom cmhm 18426  CMndccmn 19384  mulGrpcmgp 19718  1_rcur 19735  Ringcrg 19781  CRingccrg 19782   RingHom crh 19954  SubRingcsubrg 20018  Poly₁cpl1 21346   evalSub₁ ces1 21477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-ofr 7528  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-sup 9179  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-hash 14043  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-hom 16984  df-cco 16985  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-prds 17156  df-pws 17158  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-ghm 18830  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-srg 19740  df-ring 19783  df-cring 19784  df-rnghom 19957  df-subrg 20020  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-lsp 20232  df-assa 21058  df-asp 21059  df-ascl 21060  df-psr 21110  df-mvr 21111  df-mpl 21112  df-opsr 21114  df-evls 21280  df-psr1 21349  df-ply1 21351  df-evls1 21479

This theorem is referenced by: (None)