Theorem evls1gsummul 22260

Description: Univariate polynomial evaluation maps (multiplicative) group sums to group sums. (Contributed by AV, 14-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1gsummul.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1gsummul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1gsummul.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1gsummul.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evls1gsummul.1	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
evls1gsummul.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1gsummul.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
evls1gsummul.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
evls1gsummul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1gsummul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1gsummul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1gsummul.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evls1gsummul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evls1gsummul.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 1 )

Assertion

Ref	Expression
evls1gsummul	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   1 (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem evls1gsummul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1gsummul.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
2		evls1gsummul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	mgpbas 20071	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		evls1gsummul.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
5	1, 4	ringidval 20109	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
6		evls1gsummul.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7		evls1gsummul.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		evls1gsummul.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
9	8	subrgcrng 20499	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
10	6, 7, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
11		evls1gsummul.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
12	11	ply1crng 22130	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CRing → 𝑊 ∈ CRing)
13	1	crngmgp 20167	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
14	10, 12, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
15		crngring 20171	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
16	6, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
17		evls1gsummul.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
18	17	fvexi 6845	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
19	16, 18	jctir 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V))
20		evls1gsummul.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
21	20	pwsring 20250	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
22		evls1gsummul.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
23	22	ringmgp 20165	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
24	19, 21, 23	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
25		nn0ex 12398	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
27		evls1gsummul.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
28	26, 27	ssexd 5266	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
29		evls1gsummul.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
30	29, 17, 20, 8, 11	evls1rhm 22257	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
31	6, 7, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
32	1, 22	rhmmhm 20406	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
34		evls1gsummul.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
35		evls1gsummul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 1 )
36	3, 5, 14, 24, 28, 33, 34, 35	gsummptmhm 19860	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))) = (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
37	36	eqcomd 2739	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   finSupp cfsupp 9256  ℕ₀cn0 12392  Basecbs 17127   ↾_s cress 17148   Σ_g cgsu 17351   ↑_s cpws 17357  Mndcmnd 18650   MndHom cmhm 18697  CMndccmn 19700  mulGrpcmgp 20066  1_rcur 20107  Ringcrg 20159  CRingccrg 20160   RingHom crh 20396  SubRingcsubrg 20493  Poly₁cpl1 22108   evalSub₁ ces1 22248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-ofr 7620  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-sup 9337  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-hash 14245  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-hom 17192  df-cco 17193  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-mulg 18989  df-subg 19044  df-ghm 19133  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-srg 20113  df-ring 20161  df-cring 20162  df-rhm 20399  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-assa 21799  df-asp 21800  df-ascl 21801  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-evls 22020  df-psr1 22111  df-ply1 22113  df-evls1 22250

This theorem is referenced by: (None)