Theorem evls1gsummul 22269

Description: Univariate polynomial evaluation maps (multiplicative) group sums to group sums. (Contributed by AV, 14-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1gsummul.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1gsummul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1gsummul.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1gsummul.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evls1gsummul.1	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
evls1gsummul.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1gsummul.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
evls1gsummul.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
evls1gsummul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1gsummul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1gsummul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1gsummul.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evls1gsummul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evls1gsummul.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 1 )

Assertion

Ref	Expression
evls1gsummul	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   1 (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem evls1gsummul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1gsummul.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
2		evls1gsummul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	mgpbas 20092	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		evls1gsummul.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
5	1, 4	ringidval 20135	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
6		evls1gsummul.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7		evls1gsummul.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		evls1gsummul.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
9	8	subrgcrng 20526	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
10	6, 7, 9	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
11		evls1gsummul.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
12	11	ply1crng 22141	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CRing → 𝑊 ∈ CRing)
13	1	crngmgp 20193	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
14	10, 12, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
15		crngring 20197	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
16	6, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
17		evls1gsummul.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
18	17	fvexi 6910	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
19	16, 18	jctir 519	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V))
20		evls1gsummul.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
21	20	pwsring 20272	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
22		evls1gsummul.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
23	22	ringmgp 20191	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
24	19, 21, 23	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
25		nn0ex 12511	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
27		evls1gsummul.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
28	26, 27	ssexd 5325	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
29		evls1gsummul.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
30	29, 17, 20, 8, 11	evls1rhm 22266	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
31	6, 7, 30	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
32	1, 22	rhmmhm 20430	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
34		evls1gsummul.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
35		evls1gsummul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 1 )
36	3, 5, 14, 24, 28, 33, 34, 35	gsummptmhm 19907	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))) = (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
37	36	eqcomd 2731	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   finSupp cfsupp 9387  ℕ₀cn0 12505  Basecbs 17183   ↾_s cress 17212   Σ_g cgsu 17425   ↑_s cpws 17431  Mndcmnd 18697   MndHom cmhm 18741  CMndccmn 19747  mulGrpcmgp 20086  1_rcur 20133  Ringcrg 20185  CRingccrg 20186   RingHom crh 20420  SubRingcsubrg 20518  Poly₁cpl1 22119   evalSub₁ ces1 22257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-srg 20139  df-ring 20187  df-cring 20188  df-rhm 20423  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-assa 21804  df-asp 21805  df-ascl 21806  df-psr 21859  df-mvr 21860  df-mpl 21861  df-opsr 21863  df-evls 22040  df-psr1 22122  df-ply1 22124  df-evls1 22259

This theorem is referenced by: (None)