Theorem symgcom2 33145

Description: Two permutations 𝑋 and 𝑌 commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgcom.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgcom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
symgcom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
symgcom2.1	⊢ (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
symgcom2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝑌) = (𝑌 ∘ 𝑋))

Proof of Theorem symgcom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgcom.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symgcom.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		symgcom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		symgcom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5	1, 2	symgbasf 19351	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋:𝐴⟶𝐴)
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐴⟶𝐴)
7	6	ffnd 6669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐴)
8		fnresi 6627	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
10		difssd 4077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
11		ssidd 3945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )))
12		nfpconfp 32705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 Fn 𝐴 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ I ))
13	7, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ I ))
14		inres 5962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴)
15		reli 5782	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel I
16		relin2 5769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Rel I → Rel (𝑋 ∩ I ))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑋 ∩ I )
18	13, 10	eqsstrrd 3957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∩ I ) ⊆ 𝐴)
19		relssres 5987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel (𝑋 ∩ I ) ∧ dom (𝑋 ∩ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑋 ∩ I ))
20	17, 18, 19	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑋 ∩ I ))
21	14, 20	eqtrid 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑋 ∩ I ))
22	21	dmeqd 5860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = dom (𝑋 ∩ I ))
23	13, 22	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
24	11, 23	sseqtrd 3958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
25		fnreseql 7000	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) ↔ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴))))
26	25	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((𝑋 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴))) → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
27	7, 9, 10, 24, 26	syl31anc 1376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
28	10	resabs1d 5973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = ( I ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
29	27, 28	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = ( I ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
30	1, 2	symgbasf 19351	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌:𝐴⟶𝐴)
31	4, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐴⟶𝐴)
32	31	ffnd 6669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝐴)
33		difss 4076	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝑋
34		dmss 5857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝑋 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom 𝑋)
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom 𝑋
36		fdm 6677	. . . . . 6 ⊢ (𝑋:𝐴⟶𝐴 → dom 𝑋 = 𝐴)
37	3, 5, 36	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑋 = 𝐴)
38	35, 37	sseqtrid 3964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴)
39		symgcom2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅)
40		reldisj 4393	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 → ((dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅ ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I ))))
41	38, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅ ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I ))))
42	39, 41	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )))
43		nfpconfp 32705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 Fn 𝐴 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) = dom (𝑌 ∩ I ))
44	32, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) = dom (𝑌 ∩ I ))
45	42, 44	sseqtrd 3958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ I ))
46		inres 5962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴)
47		relin2 5769	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel I → Rel (𝑌 ∩ I ))
48	15, 47	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (𝑌 ∩ I )
49		difssd 4077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
50	44, 49	eqsstrrd 3957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑌 ∩ I ) ⊆ 𝐴)
51		relssres 5987	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel (𝑌 ∩ I ) ∧ dom (𝑌 ∩ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑌 ∩ I ))
52	48, 50, 51	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑌 ∩ I ))
53	46, 52	eqtrid 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑌 ∩ I ))
54	53	dmeqd 5860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = dom (𝑌 ∩ I ))
55	45, 54	sseqtrrd 3959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
56		fnreseql 7000	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )) ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴))))
57	56	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((𝑌 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴) ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴))) → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
58	32, 9, 38, 55, 57	syl31anc 1376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
59	38	resabs1d 5973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = ( I ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
60	58, 59	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = ( I ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
61		difin2 4241	. . . 4 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )))
62	38, 61	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )))
63		difid 4316	. . 3 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ∅
64	62, 63	eqtr3di 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )) = ∅)
65		undif1 4416	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I ))
66		ssequn2 4129	. . . 4 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
67	38, 66	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
68	65, 67	eqtrid 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
69	1, 2, 3, 4, 29, 60, 64, 68	symgcom 33144	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝑌) = (𝑌 ∘ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273   I cid 5525  dom cdm 5631   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  Rel wrel 5636   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  SymGrpcsymg 19344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-efmnd 18837  df-symg 19345

This theorem is referenced by:  symgcntz  33146