Theorem symgcom2 33041

Description: Two permutations 𝑋 and 𝑌 commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgcom.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgcom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
symgcom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
symgcom2.1	⊢ (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
symgcom2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝑌) = (𝑌 ∘ 𝑋))

Proof of Theorem symgcom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgcom.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symgcom.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		symgcom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		symgcom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5	1, 2	symgbasf 19306	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋:𝐴⟶𝐴)
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐴⟶𝐴)
7	6	ffnd 6689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐴)
8		fnresi 6647	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
10		difssd 4100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
11		ssidd 3970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )))
12		nfpconfp 32556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 Fn 𝐴 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ I ))
13	7, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ I ))
14		inres 5968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴)
15		reli 5789	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel I
16		relin2 5776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Rel I → Rel (𝑋 ∩ I ))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑋 ∩ I )
18	13, 10	eqsstrrd 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∩ I ) ⊆ 𝐴)
19		relssres 5993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel (𝑋 ∩ I ) ∧ dom (𝑋 ∩ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑋 ∩ I ))
20	17, 18, 19	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑋 ∩ I ))
21	14, 20	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑋 ∩ I ))
22	21	dmeqd 5869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = dom (𝑋 ∩ I ))
23	13, 22	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
24	11, 23	sseqtrd 3983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
25		fnreseql 7020	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) ↔ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴))))
26	25	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((𝑋 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴))) → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
27	7, 9, 10, 24, 26	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
28	10	resabs1d 5979	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = ( I ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
29	27, 28	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = ( I ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
30	1, 2	symgbasf 19306	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌:𝐴⟶𝐴)
31	4, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐴⟶𝐴)
32	31	ffnd 6689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝐴)
33		difss 4099	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝑋
34		dmss 5866	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝑋 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom 𝑋)
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom 𝑋
36		fdm 6697	. . . . . 6 ⊢ (𝑋:𝐴⟶𝐴 → dom 𝑋 = 𝐴)
37	3, 5, 36	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑋 = 𝐴)
38	35, 37	sseqtrid 3989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴)
39		symgcom2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅)
40		reldisj 4416	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 → ((dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅ ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I ))))
41	38, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅ ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I ))))
42	39, 41	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )))
43		nfpconfp 32556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 Fn 𝐴 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) = dom (𝑌 ∩ I ))
44	32, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) = dom (𝑌 ∩ I ))
45	42, 44	sseqtrd 3983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ I ))
46		inres 5968	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴)
47		relin2 5776	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel I → Rel (𝑌 ∩ I ))
48	15, 47	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (𝑌 ∩ I )
49		difssd 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
50	44, 49	eqsstrrd 3982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑌 ∩ I ) ⊆ 𝐴)
51		relssres 5993	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel (𝑌 ∩ I ) ∧ dom (𝑌 ∩ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑌 ∩ I ))
52	48, 50, 51	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑌 ∩ I ))
53	46, 52	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑌 ∩ I ))
54	53	dmeqd 5869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = dom (𝑌 ∩ I ))
55	45, 54	sseqtrrd 3984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
56		fnreseql 7020	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )) ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴))))
57	56	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((𝑌 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴) ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴))) → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
58	32, 9, 38, 55, 57	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
59	38	resabs1d 5979	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = ( I ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
60	58, 59	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = ( I ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
61		difin2 4264	. . . 4 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )))
62	38, 61	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )))
63		difid 4339	. . 3 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ∅
64	62, 63	eqtr3di 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )) = ∅)
65		undif1 4439	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I ))
66		ssequn2 4152	. . . 4 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
67	38, 66	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
68	65, 67	eqtrid 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
69	1, 2, 3, 4, 29, 60, 64, 68	symgcom 33040	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝑌) = (𝑌 ∘ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296   I cid 5532  dom cdm 5638   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  Rel wrel 5643   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  SymGrpcsymg 19299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-efmnd 18796  df-symg 19300

This theorem is referenced by:  symgcntz  33042