Theorem symgcom2 30883

Description: Two permutations 𝑋 and 𝑌 commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgcom.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgcom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
symgcom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
symgcom2.1	⊢ (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
symgcom2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝑌) = (𝑌 ∘ 𝑋))

Proof of Theorem symgcom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgcom.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symgcom.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		symgcom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		symgcom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5	1, 2	symgbasf 18576	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋:𝐴⟶𝐴)
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐴⟶𝐴)
7	6	ffnd 6503	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐴)
8		fnresi 6463	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
10		difssd 4040	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
11		ssidd 3917	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )))
12		nfpconfp 30494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 Fn 𝐴 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ I ))
13	7, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ I ))
14		inres 5845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴)
15		reli 5672	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel I
16		relin2 5659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Rel I → Rel (𝑋 ∩ I ))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑋 ∩ I )
18	13, 10	eqsstrrd 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∩ I ) ⊆ 𝐴)
19		relssres 5868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel (𝑋 ∩ I ) ∧ dom (𝑋 ∩ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑋 ∩ I ))
20	17, 18, 19	sylancr 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑋 ∩ I ))
21	14, 20	syl5eq 2805	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑋 ∩ I ))
22	21	dmeqd 5750	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = dom (𝑋 ∩ I ))
23	13, 22	eqtr4d 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
24	11, 23	sseqtrd 3934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
25		fnreseql 6813	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) ↔ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴))))
26	25	biimpar 481	. . . 4 ⊢ (((𝑋 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴))) → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
27	7, 9, 10, 24, 26	syl31anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
28	10	resabs1d 5858	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = ( I ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
29	27, 28	eqtrd 2793	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = ( I ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
30	1, 2	symgbasf 18576	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌:𝐴⟶𝐴)
31	4, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐴⟶𝐴)
32	31	ffnd 6503	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝐴)
33		difss 4039	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝑋
34		dmss 5747	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝑋 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom 𝑋)
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom 𝑋
36		fdm 6510	. . . . . 6 ⊢ (𝑋:𝐴⟶𝐴 → dom 𝑋 = 𝐴)
37	3, 5, 36	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑋 = 𝐴)
38	35, 37	sseqtrid 3946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴)
39		symgcom2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅)
40		reldisj 4351	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 → ((dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅ ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I ))))
41	38, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅ ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I ))))
42	39, 41	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )))
43		nfpconfp 30494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 Fn 𝐴 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) = dom (𝑌 ∩ I ))
44	32, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) = dom (𝑌 ∩ I ))
45	42, 44	sseqtrd 3934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ I ))
46		inres 5845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴)
47		relin2 5659	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel I → Rel (𝑌 ∩ I ))
48	15, 47	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (𝑌 ∩ I )
49		difssd 4040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
50	44, 49	eqsstrrd 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑌 ∩ I ) ⊆ 𝐴)
51		relssres 5868	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel (𝑌 ∩ I ) ∧ dom (𝑌 ∩ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑌 ∩ I ))
52	48, 50, 51	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑌 ∩ I ))
53	46, 52	syl5eq 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑌 ∩ I ))
54	53	dmeqd 5750	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = dom (𝑌 ∩ I ))
55	45, 54	sseqtrrd 3935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
56		fnreseql 6813	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )) ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴))))
57	56	biimpar 481	. . . 4 ⊢ (((𝑌 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴) ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴))) → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
58	32, 9, 38, 55, 57	syl31anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
59	38	resabs1d 5858	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = ( I ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
60	58, 59	eqtrd 2793	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = ( I ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
61		difid 4271	. . 3 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ∅
62		difin2 4198	. . . 4 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )))
63	38, 62	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )))
64	61, 63	syl5reqr 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )) = ∅)
65		undif1 4375	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I ))
66		ssequn2 4090	. . . 4 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
67	38, 66	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
68	65, 67	syl5eq 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
69	1, 2, 3, 4, 29, 60, 64, 68	symgcom 30882	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝑌) = (𝑌 ∘ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3857   ∪ cun 3858   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227   I cid 5432  dom cdm 5527   ↾ cres 5529   ∘ ccom 5531  Rel wrel 5532   Fn wfn 6334  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  Basecbs 16546  SymGrpcsymg 18567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-tset 16647  df-efmnd 18105  df-symg 18568

This theorem is referenced by:  symgcntz  30884