Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symgcom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgcom2 33087
Description: Two permutations 𝑋 and 𝑌 commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
symgcom.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgcom.x (𝜑𝑋𝐵)
symgcom.y (𝜑𝑌𝐵)
symgcom2.1 (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅)
Assertion
Ref Expression
symgcom2 (𝜑 → (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋))

Proof of Theorem symgcom2
StepHypRef Expression
1 symgcom.g . 2 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 symgcom.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 symgcom.x . 2 (𝜑𝑋𝐵)
4 symgcom.y . 2 (𝜑𝑌𝐵)
51, 2symgbasf 19408 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝑋:𝐴𝐴)
63, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋:𝐴𝐴)
76ffnd 6738 . . . 4 (𝜑𝑋 Fn 𝐴)
8 fnresi 6698 . . . . 5 ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
10 difssd 4147 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
11 ssidd 4019 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )))
12 nfpconfp 32649 . . . . . . 7 (𝑋 Fn 𝐴 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ I ))
137, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ I ))
14 inres 6018 . . . . . . . 8 (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴)
15 reli 5839 . . . . . . . . . 10 Rel I
16 relin2 5826 . . . . . . . . . 10 (Rel I → Rel (𝑋 ∩ I ))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Rel (𝑋 ∩ I )
1813, 10eqsstrrd 4035 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑋 ∩ I ) ⊆ 𝐴)
19 relssres 6042 . . . . . . . . 9 ((Rel (𝑋 ∩ I ) ∧ dom (𝑋 ∩ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑋 ∩ I ))
2017, 18, 19sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑋 ∩ I ))
2114, 20eqtrid 2787 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑋 ∩ I ))
2221dmeqd 5919 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = dom (𝑋 ∩ I ))
2313, 22eqtr4d 2778 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
2411, 23sseqtrd 4036 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
25 fnreseql 7068 . . . . 5 ((𝑋 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) ↔ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴))))
2625biimpar 477 . . . 4 (((𝑋 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴))) → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
277, 9, 10, 24, 26syl31anc 1372 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
2810resabs1d 6028 . . 3 (𝜑 → (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = ( I ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
2927, 28eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = ( I ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
301, 2symgbasf 19408 . . . . . 6 (𝑌𝐵𝑌:𝐴𝐴)
314, 30syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌:𝐴𝐴)
3231ffnd 6738 . . . 4 (𝜑𝑌 Fn 𝐴)
33 difss 4146 . . . . . 6 (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝑋
34 dmss 5916 . . . . . 6 ((𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝑋 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom 𝑋)
3533, 34ax-mp 5 . . . . 5 dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom 𝑋
36 fdm 6746 . . . . . 6 (𝑋:𝐴𝐴 → dom 𝑋 = 𝐴)
373, 5, 363syl 18 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑋 = 𝐴)
3835, 37sseqtrid 4048 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴)
39 symgcom2.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅)
40 reldisj 4459 . . . . . . . 8 (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 → ((dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅ ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I ))))
4138, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅ ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I ))))
4239, 41mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )))
43 nfpconfp 32649 . . . . . . 7 (𝑌 Fn 𝐴 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) = dom (𝑌 ∩ I ))
4432, 43syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) = dom (𝑌 ∩ I ))
4542, 44sseqtrd 4036 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ I ))
46 inres 6018 . . . . . . 7 (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴)
47 relin2 5826 . . . . . . . . 9 (Rel I → Rel (𝑌 ∩ I ))
4815, 47ax-mp 5 . . . . . . . 8 Rel (𝑌 ∩ I )
49 difssd 4147 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
5044, 49eqsstrrd 4035 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑌 ∩ I ) ⊆ 𝐴)
51 relssres 6042 . . . . . . . 8 ((Rel (𝑌 ∩ I ) ∧ dom (𝑌 ∩ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑌 ∩ I ))
5248, 50, 51sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑌 ∩ I ))
5346, 52eqtrid 2787 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑌 ∩ I ))
5453dmeqd 5919 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = dom (𝑌 ∩ I ))
5545, 54sseqtrrd 4037 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
56 fnreseql 7068 . . . . 5 ((𝑌 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )) ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴))))
5756biimpar 477 . . . 4 (((𝑌 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴) ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴))) → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
5832, 9, 38, 55, 57syl31anc 1372 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
5938resabs1d 6028 . . 3 (𝜑 → (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = ( I ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
6058, 59eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = ( I ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
61 difin2 4307 . . . 4 (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )))
6238, 61syl 17 . . 3 (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )))
63 difid 4382 . . 3 (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ∅
6462, 63eqtr3di 2790 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )) = ∅)
65 undif1 4482 . . 3 ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I ))
66 ssequn2 4199 . . . 4 (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
6738, 66sylib 218 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
6865, 67eqtrid 2787 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
691, 2, 3, 4, 29, 60, 64, 68symgcom 33086 1 (𝜑 → (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339   I cid 5582  dom cdm 5689  cres 5691  ccom 5693  Rel wrel 5694   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  Basecbs 17245  SymGrpcsymg 19401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-efmnd 18895  df-symg 19402
This theorem is referenced by:  symgcntz  33088
  Copyright terms: Public domain W3C validator