Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symgcom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgcom2 33104
Description: Two permutations 𝑋 and 𝑌 commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
symgcom.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgcom.x (𝜑𝑋𝐵)
symgcom.y (𝜑𝑌𝐵)
symgcom2.1 (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅)
Assertion
Ref Expression
symgcom2 (𝜑 → (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋))

Proof of Theorem symgcom2
StepHypRef Expression
1 symgcom.g . 2 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 symgcom.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 symgcom.x . 2 (𝜑𝑋𝐵)
4 symgcom.y . 2 (𝜑𝑌𝐵)
51, 2symgbasf 19393 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝑋:𝐴𝐴)
63, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋:𝐴𝐴)
76ffnd 6737 . . . 4 (𝜑𝑋 Fn 𝐴)
8 fnresi 6697 . . . . 5 ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
10 difssd 4137 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
11 ssidd 4007 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )))
12 nfpconfp 32642 . . . . . . 7 (𝑋 Fn 𝐴 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ I ))
137, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ I ))
14 inres 6015 . . . . . . . 8 (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴)
15 reli 5836 . . . . . . . . . 10 Rel I
16 relin2 5823 . . . . . . . . . 10 (Rel I → Rel (𝑋 ∩ I ))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Rel (𝑋 ∩ I )
1813, 10eqsstrrd 4019 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑋 ∩ I ) ⊆ 𝐴)
19 relssres 6040 . . . . . . . . 9 ((Rel (𝑋 ∩ I ) ∧ dom (𝑋 ∩ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑋 ∩ I ))
2017, 18, 19sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑋 ∩ I ))
2114, 20eqtrid 2789 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑋 ∩ I ))
2221dmeqd 5916 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = dom (𝑋 ∩ I ))
2313, 22eqtr4d 2780 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
2411, 23sseqtrd 4020 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
25 fnreseql 7068 . . . . 5 ((𝑋 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) ↔ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴))))
2625biimpar 477 . . . 4 (((𝑋 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴))) → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
277, 9, 10, 24, 26syl31anc 1375 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
2810resabs1d 6026 . . 3 (𝜑 → (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = ( I ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
2927, 28eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = ( I ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
301, 2symgbasf 19393 . . . . . 6 (𝑌𝐵𝑌:𝐴𝐴)
314, 30syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌:𝐴𝐴)
3231ffnd 6737 . . . 4 (𝜑𝑌 Fn 𝐴)
33 difss 4136 . . . . . 6 (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝑋
34 dmss 5913 . . . . . 6 ((𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝑋 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom 𝑋)
3533, 34ax-mp 5 . . . . 5 dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom 𝑋
36 fdm 6745 . . . . . 6 (𝑋:𝐴𝐴 → dom 𝑋 = 𝐴)
373, 5, 363syl 18 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑋 = 𝐴)
3835, 37sseqtrid 4026 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴)
39 symgcom2.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅)
40 reldisj 4453 . . . . . . . 8 (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 → ((dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅ ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I ))))
4138, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅ ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I ))))
4239, 41mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )))
43 nfpconfp 32642 . . . . . . 7 (𝑌 Fn 𝐴 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) = dom (𝑌 ∩ I ))
4432, 43syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) = dom (𝑌 ∩ I ))
4542, 44sseqtrd 4020 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ I ))
46 inres 6015 . . . . . . 7 (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴)
47 relin2 5823 . . . . . . . . 9 (Rel I → Rel (𝑌 ∩ I ))
4815, 47ax-mp 5 . . . . . . . 8 Rel (𝑌 ∩ I )
49 difssd 4137 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
5044, 49eqsstrrd 4019 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑌 ∩ I ) ⊆ 𝐴)
51 relssres 6040 . . . . . . . 8 ((Rel (𝑌 ∩ I ) ∧ dom (𝑌 ∩ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑌 ∩ I ))
5248, 50, 51sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑌 ∩ I ))
5346, 52eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑌 ∩ I ))
5453dmeqd 5916 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = dom (𝑌 ∩ I ))
5545, 54sseqtrrd 4021 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
56 fnreseql 7068 . . . . 5 ((𝑌 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )) ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴))))
5756biimpar 477 . . . 4 (((𝑌 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴) ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴))) → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
5832, 9, 38, 55, 57syl31anc 1375 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
5938resabs1d 6026 . . 3 (𝜑 → (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = ( I ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
6058, 59eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = ( I ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
61 difin2 4301 . . . 4 (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )))
6238, 61syl 17 . . 3 (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )))
63 difid 4376 . . 3 (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ∅
6462, 63eqtr3di 2792 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )) = ∅)
65 undif1 4476 . . 3 ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I ))
66 ssequn2 4189 . . . 4 (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
6738, 66sylib 218 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
6865, 67eqtrid 2789 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
691, 2, 3, 4, 29, 60, 64, 68symgcom 33103 1 (𝜑 → (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333   I cid 5577  dom cdm 5685  cres 5687  ccom 5689  Rel wrel 5690   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  Basecbs 17247  SymGrpcsymg 19386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-efmnd 18882  df-symg 19387
This theorem is referenced by:  symgcntz  33105
  Copyright terms: Public domain W3C validator