Theorem symgcom2 33435

Description: Two permutations 𝑋 and 𝑌 commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgcom.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgcom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
symgcom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
symgcom2.1	⊢ (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
symgcom2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝑌) = (𝑌 ∘ 𝑋))

Proof of Theorem symgcom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgcom.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symgcom.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		symgcom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		symgcom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5	1, 2	symgbasf 19477	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋:𝐴⟶𝐴)
6	3, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐴⟶𝐴)
7	6	ffnd 6713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐴)
8		fnresi 6671	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
10		difssd 4094	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
11		ssidd 3963	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )))
12		nfpconfp 33014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 Fn 𝐴 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ I ))
13	7, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ I ))
14		inres 6001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴)
15		reli 5818	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel I
16		relin2 5805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Rel I → Rel (𝑋 ∩ I ))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑋 ∩ I )
18	13, 10	eqsstrrd 3975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∩ I ) ⊆ 𝐴)
19		relssres 6026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel (𝑋 ∩ I ) ∧ dom (𝑋 ∩ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑋 ∩ I ))
20	17, 18, 19	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑋 ∩ I ))
21	14, 20	eqtrid 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑋 ∩ I ))
22	21	dmeqd 5900	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = dom (𝑋 ∩ I ))
23	13, 22	eqtr4d 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
24	11, 23	sseqtrd 3976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
25		fnreseql 7050	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) ↔ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴))))
26	25	biimpar 483	. . . 4 ⊢ (((𝑋 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴))) → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
27	7, 9, 10, 24, 26	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
28	10	resabs1d 6012	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = ( I ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
29	27, 28	eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = ( I ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
30	1, 2	symgbasf 19477	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌:𝐴⟶𝐴)
31	4, 30	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐴⟶𝐴)
32	31	ffnd 6713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝐴)
33		difss 4093	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝑋
34		dmss 5897	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝑋 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom 𝑋)
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom 𝑋
36		fdm 6722	. . . . . 6 ⊢ (𝑋:𝐴⟶𝐴 → dom 𝑋 = 𝐴)
37	3, 5, 36	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑋 = 𝐴)
38	35, 37	sseqtrid 3982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴)
39		symgcom2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅)
40		reldisj 4416	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 → ((dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅ ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I ))))
41	38, 40	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅ ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I ))))
42	39, 41	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )))
43		nfpconfp 33014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 Fn 𝐴 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) = dom (𝑌 ∩ I ))
44	32, 43	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) = dom (𝑌 ∩ I ))
45	42, 44	sseqtrd 3976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ I ))
46		inres 6001	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴)
47		relin2 5805	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel I → Rel (𝑌 ∩ I ))
48	15, 47	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (𝑌 ∩ I )
49		difssd 4094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
50	44, 49	eqsstrrd 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑌 ∩ I ) ⊆ 𝐴)
51		relssres 6026	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel (𝑌 ∩ I ) ∧ dom (𝑌 ∩ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑌 ∩ I ))
52	48, 50, 51	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑌 ∩ I ))
53	46, 52	eqtrid 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑌 ∩ I ))
54	53	dmeqd 5900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = dom (𝑌 ∩ I ))
55	45, 54	sseqtrrd 3977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
56		fnreseql 7050	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )) ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴))))
57	56	biimpar 483	. . . 4 ⊢ (((𝑌 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴) ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴))) → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
58	32, 9, 38, 55, 57	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
59	38	resabs1d 6012	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = ( I ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
60	58, 59	eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = ( I ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
61		difin2 4257	. . . 4 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )))
62	38, 61	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )))
63		difid 4335	. . 3 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ∅
64	62, 63	eqtr3di 2816	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )) = ∅)
65		undif1 4440	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I ))
66		ssequn2 4145	. . . 4 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
67	38, 66	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
68	65, 67	eqtrid 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
69	1, 2, 3, 4, 29, 60, 64, 68	symgcom 33434	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝑌) = (𝑌 ∘ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3905   ∪ cun 3906   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289   I cid 5560  dom cdm 5666   ↾ cres 5668   ∘ ccom 5670  Rel wrel 5671   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  SymGrpcsymg 19470

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-tset 17354  df-efmnd 18959  df-symg 19471

This theorem is used by:  symgcntz  33436