Theorem symgcom2 30728

Description: Two permutations 𝑋 and 𝑌 commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgcom.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgcom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
symgcom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
symgcom2.1	⊢ (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
symgcom2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝑌) = (𝑌 ∘ 𝑋))

Proof of Theorem symgcom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgcom.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symgcom.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		symgcom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		symgcom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5	1, 2	symgbasf 18504	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋:𝐴⟶𝐴)
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐴⟶𝐴)
7	6	ffnd 6515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐴)
8		fnresi 6476	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
10		difssd 4109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
11		ssidd 3990	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )))
12		nfpconfp 30377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 Fn 𝐴 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ I ))
13	7, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ I ))
14		inres 5871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴)
15		reli 5698	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel I
16		relin2 5686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Rel I → Rel (𝑋 ∩ I ))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑋 ∩ I )
18	13, 10	eqsstrrd 4006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∩ I ) ⊆ 𝐴)
19		relssres 5893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel (𝑋 ∩ I ) ∧ dom (𝑋 ∩ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑋 ∩ I ))
20	17, 18, 19	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑋 ∩ I ))
21	14, 20	syl5eq 2868	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑋 ∩ I ))
22	21	dmeqd 5774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = dom (𝑋 ∩ I ))
23	13, 22	eqtr4d 2859	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
24	11, 23	sseqtrd 4007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
25		fnreseql 6818	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) ↔ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴))))
26	25	biimpar 480	. . . 4 ⊢ (((𝑋 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴))) → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
27	7, 9, 10, 24, 26	syl31anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
28	10	resabs1d 5884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = ( I ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
29	27, 28	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = ( I ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
30	1, 2	symgbasf 18504	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌:𝐴⟶𝐴)
31	4, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐴⟶𝐴)
32	31	ffnd 6515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝐴)
33		difss 4108	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝑋
34		dmss 5771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝑋 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom 𝑋)
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom 𝑋
36		fdm 6522	. . . . . 6 ⊢ (𝑋:𝐴⟶𝐴 → dom 𝑋 = 𝐴)
37	3, 5, 36	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑋 = 𝐴)
38	35, 37	sseqtrid 4019	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴)
39		symgcom2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅)
40		reldisj 4402	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 → ((dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅ ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I ))))
41	38, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅ ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I ))))
42	39, 41	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )))
43		nfpconfp 30377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 Fn 𝐴 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) = dom (𝑌 ∩ I ))
44	32, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) = dom (𝑌 ∩ I ))
45	42, 44	sseqtrd 4007	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ I ))
46		inres 5871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴)
47		relin2 5686	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel I → Rel (𝑌 ∩ I ))
48	15, 47	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (𝑌 ∩ I )
49		difssd 4109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
50	44, 49	eqsstrrd 4006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑌 ∩ I ) ⊆ 𝐴)
51		relssres 5893	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel (𝑌 ∩ I ) ∧ dom (𝑌 ∩ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑌 ∩ I ))
52	48, 50, 51	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑌 ∩ I ))
53	46, 52	syl5eq 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑌 ∩ I ))
54	53	dmeqd 5774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = dom (𝑌 ∩ I ))
55	45, 54	sseqtrrd 4008	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
56		fnreseql 6818	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )) ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴))))
57	56	biimpar 480	. . . 4 ⊢ (((𝑌 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴) ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴))) → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
58	32, 9, 38, 55, 57	syl31anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
59	38	resabs1d 5884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = ( I ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
60	58, 59	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = ( I ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
61		difid 4330	. . 3 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ∅
62		difin2 4266	. . . 4 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )))
63	38, 62	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )))
64	61, 63	syl5reqr 2871	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )) = ∅)
65		undif1 4424	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I ))
66		ssequn2 4159	. . . 4 ⊢ (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
67	38, 66	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
68	65, 67	syl5eq 2868	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
69	1, 2, 3, 4, 29, 60, 64, 68	symgcom 30727	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝑌) = (𝑌 ∘ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3933   ∪ cun 3934   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291   I cid 5459  dom cdm 5555   ↾ cres 5557   ∘ ccom 5559  Rel wrel 5560   Fn wfn 6350  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  Basecbs 16483  SymGrpcsymg 18495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-tset 16584  df-efmnd 18034  df-symg 18496

This theorem is referenced by:  symgcntz  30729