Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symgcom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgcom2 31984
Description: Two permutations 𝑋 and 𝑌 commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
symgcom.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgcom.x (𝜑𝑋𝐵)
symgcom.y (𝜑𝑌𝐵)
symgcom2.1 (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅)
Assertion
Ref Expression
symgcom2 (𝜑 → (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋))

Proof of Theorem symgcom2
StepHypRef Expression
1 symgcom.g . 2 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 symgcom.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 symgcom.x . 2 (𝜑𝑋𝐵)
4 symgcom.y . 2 (𝜑𝑌𝐵)
51, 2symgbasf 19162 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝑋:𝐴𝐴)
63, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋:𝐴𝐴)
76ffnd 6670 . . . 4 (𝜑𝑋 Fn 𝐴)
8 fnresi 6631 . . . . 5 ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
10 difssd 4093 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
11 ssidd 3968 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )))
12 nfpconfp 31592 . . . . . . 7 (𝑋 Fn 𝐴 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ I ))
137, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ I ))
14 inres 5956 . . . . . . . 8 (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴)
15 reli 5783 . . . . . . . . . 10 Rel I
16 relin2 5770 . . . . . . . . . 10 (Rel I → Rel (𝑋 ∩ I ))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Rel (𝑋 ∩ I )
1813, 10eqsstrrd 3984 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑋 ∩ I ) ⊆ 𝐴)
19 relssres 5979 . . . . . . . . 9 ((Rel (𝑋 ∩ I ) ∧ dom (𝑋 ∩ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑋 ∩ I ))
2017, 18, 19sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑋 ∩ I ))
2114, 20eqtrid 2785 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑋 ∩ I ))
2221dmeqd 5862 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = dom (𝑋 ∩ I ))
2313, 22eqtr4d 2776 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
2411, 23sseqtrd 3985 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
25 fnreseql 6999 . . . . 5 ((𝑋 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) ↔ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴))))
2625biimpar 479 . . . 4 (((𝑋 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ⊆ dom (𝑋 ∩ ( I ↾ 𝐴))) → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
277, 9, 10, 24, 26syl31anc 1374 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
2810resabs1d 5969 . . 3 (𝜑 → (( I ↾ 𝐴) ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = ( I ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
2927, 28eqtrd 2773 . 2 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))) = ( I ↾ (𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I ))))
301, 2symgbasf 19162 . . . . . 6 (𝑌𝐵𝑌:𝐴𝐴)
314, 30syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌:𝐴𝐴)
3231ffnd 6670 . . . 4 (𝜑𝑌 Fn 𝐴)
33 difss 4092 . . . . . 6 (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝑋
34 dmss 5859 . . . . . 6 ((𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝑋 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom 𝑋)
3533, 34ax-mp 5 . . . . 5 dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom 𝑋
36 fdm 6678 . . . . . 6 (𝑋:𝐴𝐴 → dom 𝑋 = 𝐴)
373, 5, 363syl 18 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑋 = 𝐴)
3835, 37sseqtrid 3997 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴)
39 symgcom2.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅)
40 reldisj 4412 . . . . . . . 8 (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 → ((dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅ ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I ))))
4138, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((dom (𝑋 ∖ I ) ∩ dom (𝑌 ∖ I )) = ∅ ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I ))))
4239, 41mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )))
43 nfpconfp 31592 . . . . . . 7 (𝑌 Fn 𝐴 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) = dom (𝑌 ∩ I ))
4432, 43syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) = dom (𝑌 ∩ I ))
4542, 44sseqtrd 3985 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ I ))
46 inres 5956 . . . . . . 7 (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴)
47 relin2 5770 . . . . . . . . 9 (Rel I → Rel (𝑌 ∩ I ))
4815, 47ax-mp 5 . . . . . . . 8 Rel (𝑌 ∩ I )
49 difssd 4093 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∖ dom (𝑌 ∖ I )) ⊆ 𝐴)
5044, 49eqsstrrd 3984 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑌 ∩ I ) ⊆ 𝐴)
51 relssres 5979 . . . . . . . 8 ((Rel (𝑌 ∩ I ) ∧ dom (𝑌 ∩ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑌 ∩ I ))
5248, 50, 51sylancr 588 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 ∩ I ) ↾ 𝐴) = (𝑌 ∩ I ))
5346, 52eqtrid 2785 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑌 ∩ I ))
5453dmeqd 5862 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = dom (𝑌 ∩ I ))
5545, 54sseqtrrd 3986 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
56 fnreseql 6999 . . . . 5 ((𝑌 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )) ↔ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴))))
5756biimpar 479 . . . 4 (((𝑌 Fn 𝐴 ∧ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴) ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ dom (𝑌 ∩ ( I ↾ 𝐴))) → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
5832, 9, 38, 55, 57syl31anc 1374 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
5938resabs1d 5969 . . 3 (𝜑 → (( I ↾ 𝐴) ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = ( I ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
6058, 59eqtrd 2773 . 2 (𝜑 → (𝑌 ↾ dom (𝑋 ∖ I )) = ( I ↾ dom (𝑋 ∖ I )))
61 difin2 4252 . . . 4 (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )))
6238, 61syl 17 . . 3 (𝜑 → (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )))
63 difid 4331 . . 3 (dom (𝑋 ∖ I ) ∖ dom (𝑋 ∖ I )) = ∅
6462, 63eqtr3di 2788 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∩ dom (𝑋 ∖ I )) = ∅)
65 undif1 4436 . . 3 ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I ))
66 ssequn2 4144 . . . 4 (dom (𝑋 ∖ I ) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
6738, 66sylib 217 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
6865, 67eqtrid 2785 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∖ dom (𝑋 ∖ I )) ∪ dom (𝑋 ∖ I )) = 𝐴)
691, 2, 3, 4, 29, 60, 64, 68symgcom 31983 1 (𝜑 → (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cdif 3908  cun 3909  cin 3910  wss 3911  c0 4283   I cid 5531  dom cdm 5634  cres 5636  ccom 5638  Rel wrel 5639   Fn wfn 6492  wf 6493  cfv 6497  Basecbs 17088  SymGrpcsymg 19153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-tset 17157  df-efmnd 18684  df-symg 19154
This theorem is referenced by:  symgcntz  31985
  Copyright terms: Public domain W3C validator