MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr3cyclex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr3cyclex 28592
Description: If there are three (different) vertices in a multigraph which are mutually connected by edges, there is a 3-cycle in the graph containing one of these vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.) (Revised by AV, 12-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uhgr3cyclex.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
uhgr3cyclex.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
umgr3cyclex ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) ∧ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ∧ {𝐢, 𝐴} ∈ 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3 ∧ (π‘β€˜0) = 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑝   𝐡,𝑓,𝑝   𝐢,𝑓,𝑝   𝑓,𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓,𝑝)   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem umgr3cyclex
StepHypRef Expression
1 umgruhgr 27519 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ 𝐺 ∈ UHGraph)
213ad2ant1 1133 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) ∧ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ∧ {𝐢, 𝐴} ∈ 𝐸)) β†’ 𝐺 ∈ UHGraph)
3 simp2 1137 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) ∧ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ∧ {𝐢, 𝐴} ∈ 𝐸)) β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉))
4 uhgr3cyclex.e . . . . . 6 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
54umgredgne 27560 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
653ad2antr1 1188 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ∧ {𝐢, 𝐴} ∈ 𝐸)) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
7 prcom 4672 . . . . . . . 8 {𝐢, 𝐴} = {𝐴, 𝐢}
87eleq1i 2827 . . . . . . 7 ({𝐢, 𝐴} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝐢} ∈ 𝐸)
98biimpi 215 . . . . . 6 ({𝐢, 𝐴} ∈ 𝐸 β†’ {𝐴, 𝐢} ∈ 𝐸)
1093ad2ant3 1135 . . . . 5 (({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ∧ {𝐢, 𝐴} ∈ 𝐸) β†’ {𝐴, 𝐢} ∈ 𝐸)
114umgredgne 27560 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐢} ∈ 𝐸) β†’ 𝐴 β‰  𝐢)
1210, 11sylan2 594 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ∧ {𝐢, 𝐴} ∈ 𝐸)) β†’ 𝐴 β‰  𝐢)
13 simp2 1137 . . . . 5 (({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ∧ {𝐢, 𝐴} ∈ 𝐸) β†’ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸)
144umgredgne 27560 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸) β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
1513, 14sylan2 594 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ∧ {𝐢, 𝐴} ∈ 𝐸)) β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
166, 12, 153jca 1128 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ∧ {𝐢, 𝐴} ∈ 𝐸)) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢))
17163adant2 1131 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) ∧ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ∧ {𝐢, 𝐴} ∈ 𝐸)) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢))
18 simp3 1138 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) ∧ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ∧ {𝐢, 𝐴} ∈ 𝐸)) β†’ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ∧ {𝐢, 𝐴} ∈ 𝐸))
19 uhgr3cyclex.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2019, 4uhgr3cyclex 28591 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ∧ {𝐢, 𝐴} ∈ 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3 ∧ (π‘β€˜0) = 𝐴))
212, 3, 17, 18, 20syl121anc 1375 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) ∧ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ∧ {𝐢, 𝐴} ∈ 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3 ∧ (π‘β€˜0) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941  {cpr 4567   class class class wbr 5081  β€˜cfv 6458  0cc0 10917  3c3 12075  β™―chash 14090  Vtxcvtx 27411  Edgcedg 27462  UHGraphcuhgr 27471  UMGraphcumgr 27496  Cyclesccycls 28198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-oadd 8332  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-dju 9703  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-hash 14091  df-word 14263  df-concat 14319  df-s1 14346  df-s2 14606  df-s3 14607  df-s4 14608  df-edg 27463  df-uhgr 27473  df-upgr 27497  df-umgr 27498  df-wlks 28011  df-trls 28105  df-pths 28129  df-cycls 28200
This theorem is referenced by:  umgr3v3e3cycl  28593  3cyclfrgr  28697  cusgr3cyclex  33143
  Copyright terms: Public domain W3C validator