Theorem upgrimspths 48386

Description: Graph isomorphisms between simple pseudographs map simple paths onto simple paths. (Contributed by AV, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimspths.s	⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimspths	⊢ (𝜑 → 𝐸(SPaths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimspths

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimspths.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
8		spthispth 29792	. . . 4 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
9		pthistrl 29791	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	upgrimtrls 48382	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))
12		isspth 29790	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
13	12	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → Fun ◡𝑃)
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑃)
15		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
16		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
17	15, 16	grimf1o 48360	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
18		dff1o3 6786	. . . . . 6 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) ↔ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–onto→(Vtx‘𝐻) ∧ Fun ◡𝑁))
19	18	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → Fun ◡𝑁)
20	5, 17, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑁)
21		funco 6538	. . . 4 ⊢ ((Fun ◡𝑃 ∧ Fun ◡𝑁) → Fun (◡𝑃 ∘ ◡𝑁))
22	14, 20, 21	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (◡𝑃 ∘ ◡𝑁))
23		cnvco 5840	. . . 4 ⊢ ◡(𝑁 ∘ 𝑃) = (◡𝑃 ∘ ◡𝑁)
24	23	funeqi 6519	. . 3 ⊢ (Fun ◡(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ Fun (◡𝑃 ∘ ◡𝑁))
25	22, 24	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑁 ∘ 𝑃))
26		isspth 29790	. 2 ⊢ (𝐸(SPaths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ∧ Fun ◡(𝑁 ∘ 𝑃)))
27	11, 25, 26	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸(SPaths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   “ cima 5634   ∘ ccom 5635  Fun wfun 6492  –onto→wfo 6496  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Vtxcvtx 29065  iEdgciedg 29066  USPGraphcuspgr 29217  Trailsctrls 29757  Pathscpths 29778  SPathscspths 29779   GraphIso cgrim 48351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-edg 29117  df-uhgr 29127  df-upgr 29151  df-uspgr 29219  df-wlks 29668  df-trls 29759  df-pths 29782  df-spths 29783  df-grim 48354

This theorem is referenced by: (None)