Theorem upgrimspths 48703

Description: Graph isomorphisms between simple pseudographs map simple paths onto simple paths. (Contributed by AV, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimspths.s	⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimspths	⊢ (𝜑 → 𝐸(SPaths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimspths

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimspths.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
8		spthispth 30084	. . . 4 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
9		pthistrl 30083	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10	7, 8, 9	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	upgrimtrls 48699	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))
12		isspth 30082	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
13	12	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → Fun ◡𝑃)
14	7, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑃)
15		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
16		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
17	15, 16	grimf1o 48677	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
18		dff1o3 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) ↔ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–onto→(Vtx‘𝐻) ∧ Fun ◡𝑁))
19	18	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → Fun ◡𝑁)
20	5, 17, 19	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑁)
21		funco 6576	. . . 4 ⊢ ((Fun ◡𝑃 ∧ Fun ◡𝑁) → Fun (◡𝑃 ∘ ◡𝑁))
22	14, 20, 21	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (◡𝑃 ∘ ◡𝑁))
23		cnvco 5874	. . . 4 ⊢ ◡(𝑁 ∘ 𝑃) = (◡𝑃 ∘ ◡𝑁)
24	23	funeqi 6557	. . 3 ⊢ (Fun ◡(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ Fun (◡𝑃 ∘ ◡𝑁))
25	22, 24	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑁 ∘ 𝑃))
26		isspth 30082	. 2 ⊢ (𝐸(SPaths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ∧ Fun ◡(𝑁 ∘ 𝑃)))
27	11, 25, 26	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸(SPaths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5659  dom cdm 5660   “ cima 5663   ∘ ccom 5664  Fun wfun 6530  –onto→wfo 6534  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Vtxcvtx 29357  iEdgciedg 29358  USPGraphcuspgr 29509  Trailsctrls 30049  Pathscpths 30070  SPathscspths 30071   GraphIso cgrim 48668

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1078  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-hash 14374  df-word 14558  df-edg 29409  df-uhgr 29419  df-upgr 29443  df-uspgr 29511  df-wlks 29960  df-trls 30051  df-pths 30074  df-spths 30075  df-grim 48671

This theorem is used by: (None)