Theorem upgrimspths 47914

Description: Graph isomorphisms between simple pseudographs map simple paths onto simple paths. (Contributed by AV, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimspths.s	⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimspths	⊢ (𝜑 → 𝐸(SPaths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimspths

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimspths.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
8		spthispth 29661	. . . 4 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
9		pthistrl 29660	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	upgrimtrls 47910	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))
12		isspth 29659	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
13	12	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → Fun ◡𝑃)
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑃)
15		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
16		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
17	15, 16	grimf1o 47888	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
18		dff1o3 6809	. . . . . 6 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) ↔ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–onto→(Vtx‘𝐻) ∧ Fun ◡𝑁))
19	18	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → Fun ◡𝑁)
20	5, 17, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑁)
21		funco 6559	. . . 4 ⊢ ((Fun ◡𝑃 ∧ Fun ◡𝑁) → Fun (◡𝑃 ∘ ◡𝑁))
22	14, 20, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (◡𝑃 ∘ ◡𝑁))
23		cnvco 5852	. . . 4 ⊢ ◡(𝑁 ∘ 𝑃) = (◡𝑃 ∘ ◡𝑁)
24	23	funeqi 6540	. . 3 ⊢ (Fun ◡(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ Fun (◡𝑃 ∘ ◡𝑁))
25	22, 24	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑁 ∘ 𝑃))
26		isspth 29659	. 2 ⊢ (𝐸(SPaths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ∧ Fun ◡(𝑁 ∘ 𝑃)))
27	11, 25, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸(SPaths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5640  dom cdm 5641   “ cima 5644   ∘ ccom 5645  Fun wfun 6508  –onto→wfo 6512  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Vtxcvtx 28930  iEdgciedg 28931  USPGraphcuspgr 29082  Trailsctrls 29625  Pathscpths 29647  SPathscspths 29648   GraphIso cgrim 47879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-edg 28982  df-uhgr 28992  df-upgr 29016  df-uspgr 29084  df-wlks 29534  df-trls 29627  df-pths 29651  df-spths 29652  df-grim 47882

This theorem is referenced by: (None)