Theorem upgrimspths 47904

Description: Graph isomorphisms between simple pseudographs map simple paths onto simple paths. (Contributed by AV, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimspths.s	⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimspths	⊢ (𝜑 → 𝐸(SPaths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimspths

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimspths.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
8		spthispth 29669	. . . 4 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
9		pthistrl 29668	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	upgrimtrls 47900	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))
12		isspth 29667	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
13	12	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → Fun ◡𝑃)
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑃)
15		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
16		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
17	15, 16	grimf1o 47878	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
18		dff1o3 6770	. . . . . 6 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) ↔ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–onto→(Vtx‘𝐻) ∧ Fun ◡𝑁))
19	18	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → Fun ◡𝑁)
20	5, 17, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑁)
21		funco 6522	. . . 4 ⊢ ((Fun ◡𝑃 ∧ Fun ◡𝑁) → Fun (◡𝑃 ∘ ◡𝑁))
22	14, 20, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (◡𝑃 ∘ ◡𝑁))
23		cnvco 5828	. . . 4 ⊢ ◡(𝑁 ∘ 𝑃) = (◡𝑃 ∘ ◡𝑁)
24	23	funeqi 6503	. . 3 ⊢ (Fun ◡(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ Fun (◡𝑃 ∘ ◡𝑁))
25	22, 24	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑁 ∘ 𝑃))
26		isspth 29667	. 2 ⊢ (𝐸(SPaths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ∧ Fun ◡(𝑁 ∘ 𝑃)))
27	11, 25, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸(SPaths‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619   “ cima 5622   ∘ ccom 5623  Fun wfun 6476  –onto→wfo 6480  –1-1-onto→wf1o 6481  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Vtxcvtx 28941  iEdgciedg 28942  USPGraphcuspgr 29093  Trailsctrls 29634  Pathscpths 29655  SPathscspths 29656   GraphIso cgrim 47869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-edg 28993  df-uhgr 29003  df-upgr 29027  df-uspgr 29095  df-wlks 29545  df-trls 29636  df-pths 29659  df-spths 29660  df-grim 47872

This theorem is referenced by: (None)