Theorem usgrexmpl1lem 48497

Description: Lemma for usgrexmpl1 48498. (Contributed by AV, 2-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl1.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl1.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl1lem	⊢ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}

Distinct variable group:   𝑒,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑒)

Proof of Theorem usgrexmpl1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5380	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ∈ V
2		prex 5380	. . . . 5 ⊢ {0, 2} ∈ V
3		prex 5380	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ V
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1341	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
5		prex 5380	. . . 4 ⊢ {0, 3} ∈ V
6		prex 5380	. . . . 5 ⊢ {3, 4} ∈ V
7		prex 5380	. . . . 5 ⊢ {3, 5} ∈ V
8		prex 5380	. . . . 5 ⊢ {4, 5} ∈ V
9	6, 7, 8	3pm3.2i 1341	. . . 4 ⊢ ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V)
10	4, 5, 9	3pm3.2i 1341	. . 3 ⊢ (({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ {0, 3} ∈ V ∧ ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V))
11		0nn0 12452	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		1nn0 12453	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
13	11, 12	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0)
14		2nn0 12454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15	11, 14	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0)
16	13, 15	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0))
17		ax-1ne0 11107	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
18		1ne2 12384	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 2
19	17, 18	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 2)
20	19	olci 867	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 2))
21		prneimg 4797	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 2)) → {0, 1} ≠ {0, 2}))
22	16, 20, 21	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} ≠ {0, 2}
23	12, 14	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0)
24	13, 23	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0))
25		0ne1 12252	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 1
26		0ne2 12383	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 2
27	25, 26	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2)
28	27	orci 866	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2))
29		prneimg 4797	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2)) → {0, 1} ≠ {1, 2}))
30	24, 28, 29	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} ≠ {1, 2}
31		3nn0 12455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	11, 31	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)
33	13, 32	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0))
34		1re 11144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
35		1lt3 12349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 3
36	34, 35	ltneii 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 3
37	17, 36	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)
38	37	olci 867	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3))
39		prneimg 4797	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)) → {0, 1} ≠ {0, 3}))
40	33, 38, 39	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} ≠ {0, 3}
41	22, 30, 40	3pm3.2i 1341	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3})
42		4nn0 12456	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
43	31, 42	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0)
44	13, 43	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0))
45		0re 11146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
46		3pos 12286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
47	45, 46	ltneii 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 3
48		4pos 12288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
49	45, 48	ltneii 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 4
50	47, 49	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4)
51	50	orci 866	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4))
52		prneimg 4797	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4)) → {0, 1} ≠ {3, 4}))
53	44, 51, 52	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} ≠ {3, 4}
54		5nn0 12457	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ0
55	31, 54	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)
56	13, 55	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
57		5pos 12290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 5
58	45, 57	ltneii 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 5
59	47, 58	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 5)
60	59	orci 866	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 5))
61		prneimg 4797	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 5)) → {0, 1} ≠ {3, 5}))
62	56, 60, 61	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} ≠ {3, 5}
63	42, 54	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)
64	13, 63	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
65	49, 58	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5)
66	65	orci 866	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5))
67		prneimg 4797	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5)) → {0, 1} ≠ {4, 5}))
68	64, 66, 67	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} ≠ {4, 5}
69	53, 62, 68	3pm3.2i 1341	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})
70	41, 69	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5}))
71	15, 23	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0))
72	27	orci 866	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (2 ≠ 1 ∧ 2 ≠ 2))
73		prneimg 4797	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (2 ≠ 1 ∧ 2 ≠ 2)) → {0, 2} ≠ {1, 2}))
74	71, 72, 73	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ {0, 2} ≠ {1, 2}
75	15, 32	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0))
76		2ne0 12285	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
77		2re 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
78		2lt3 12348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
79	77, 78	ltneii 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 3
80	76, 79	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)
81	80	olci 867	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3))
82		prneimg 4797	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)) → {0, 2} ≠ {0, 3}))
83	75, 81, 82	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ {0, 2} ≠ {0, 3}
84	74, 83	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3})
85	15, 43	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0))
86	50	orci 866	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4))
87		prneimg 4797	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4)) → {0, 2} ≠ {3, 4}))
88	85, 86, 87	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ {0, 2} ≠ {3, 4}
89	15, 55	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
90	59	orci 866	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 5))
91		prneimg 4797	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 5)) → {0, 2} ≠ {3, 5}))
92	89, 90, 91	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ {0, 2} ≠ {3, 5}
93	15, 63	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
94	65	orci 866	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5))
95		prneimg 4797	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5)) → {0, 2} ≠ {4, 5}))
96	93, 94, 95	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ {0, 2} ≠ {4, 5}
97	88, 92, 96	3pm3.2i 1341	. . . . . 6 ⊢ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})
98	84, 97	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5}))
99	23, 32	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0))
100	37	orci 866	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3))
101		prneimg 4797	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)) → {1, 2} ≠ {0, 3}))
102	99, 100, 101	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ {1, 2} ≠ {0, 3}
103	23, 43	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0))
104		1lt4 12352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 4
105	34, 104	ltneii 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 4
106	36, 105	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4)
107	106	orci 866	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4))
108		prneimg 4797	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4)) → {1, 2} ≠ {3, 4}))
109	103, 107, 108	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ {1, 2} ≠ {3, 4}
110	23, 55	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
111		1lt5 12356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 5
112	34, 111	ltneii 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 5
113	36, 112	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 5)
114	113	orci 866	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 5))
115		prneimg 4797	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 5)) → {1, 2} ≠ {3, 5}))
116	110, 114, 115	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ {1, 2} ≠ {3, 5}
117	23, 63	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
118	105, 112	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5)
119	118	orci 866	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5))
120		prneimg 4797	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5)) → {1, 2} ≠ {4, 5}))
121	117, 119, 120	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ {1, 2} ≠ {4, 5}
122	109, 116, 121	3pm3.2i 1341	. . . . . 6 ⊢ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5})
123	102, 122	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))
124	70, 98, 123	3pm3.2i 1341	. . . 4 ⊢ ((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5})))
125	32, 43	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0))
126	50	orci 866	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (3 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 4))
127		prneimg 4797	. . . . . . 7 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (3 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 4)) → {0, 3} ≠ {3, 4}))
128	125, 126, 127	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ {0, 3} ≠ {3, 4}
129	32, 55	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
130	59	orci 866	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (3 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 5))
131		prneimg 4797	. . . . . . 7 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (3 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 5)) → {0, 3} ≠ {3, 5}))
132	129, 130, 131	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ {0, 3} ≠ {3, 5}
133	32, 63	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
134	65	orci 866	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5))
135		prneimg 4797	. . . . . . 7 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5)) → {0, 3} ≠ {4, 5}))
136	133, 134, 135	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ {0, 3} ≠ {4, 5}
137	128, 132, 136	3pm3.2i 1341	. . . . 5 ⊢ ({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5})
138	43, 55	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
139		3re 12261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
140		3lt4 12350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 < 4
141	139, 140	ltneii 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 4
142	141	necomi 2986	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 3
143		4re 12265	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
144		4lt5 12353	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 < 5
145	143, 144	ltneii 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 5
146	142, 145	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ≠ 3 ∧ 4 ≠ 5)
147	146	olci 867	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 5) ∨ (4 ≠ 3 ∧ 4 ≠ 5))
148		prneimg 4797	. . . . . . 7 ⊢ (((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((3 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 5) ∨ (4 ≠ 3 ∧ 4 ≠ 5)) → {3, 4} ≠ {3, 5}))
149	138, 147, 148	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ {3, 4} ≠ {3, 5}
150	43, 63	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
151		3lt5 12354	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 5
152	139, 151	ltneii 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 5
153	141, 152	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5)
154	153	orci 866	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5) ∨ (4 ≠ 4 ∧ 4 ≠ 5))
155		prneimg 4797	. . . . . . 7 ⊢ (((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5) ∨ (4 ≠ 4 ∧ 4 ≠ 5)) → {3, 4} ≠ {4, 5}))
156	150, 154, 155	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ {3, 4} ≠ {4, 5}
157	55, 63	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
158	153	orci 866	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5) ∨ (5 ≠ 4 ∧ 5 ≠ 5))
159		prneimg 4797	. . . . . . 7 ⊢ (((3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5) ∨ (5 ≠ 4 ∧ 5 ≠ 5)) → {3, 5} ≠ {4, 5}))
160	157, 158, 159	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ {3, 5} ≠ {4, 5}
161	149, 156, 160	3pm3.2i 1341	. . . . 5 ⊢ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5})
162	137, 161	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5}))
163	124, 162	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))) ∧ (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5})))
164	10, 163	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ {0, 3} ∈ V ∧ ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))) ∧ (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5}))))
165		usgrexmpl1.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
166		s7f1o 14928	. . . . . . 7 ⊢ (((({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ {0, 3} ∈ V ∧ ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))) ∧ (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5})))) → (𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩ → 𝐸:(0..^7)–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
167	166	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ {0, 3} ∈ V ∧ ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))) ∧ (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5})))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩) → 𝐸:(0..^7)–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
168		s7len 14864	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩) = 7
169	168	oveq2i 7378	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩)) = (0..^7)
170		f1oeq2 6769	. . . . . . 7 ⊢ ((0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩)) = (0..^7) → (𝐸:(0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩))–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ 𝐸:(0..^7)–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
171	169, 170	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐸:(0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩))–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ 𝐸:(0..^7)–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
172	167, 171	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((((({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ {0, 3} ∈ V ∧ ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))) ∧ (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5})))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩) → 𝐸:(0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩))–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
173	165	dmeqi 5859	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐸 = dom ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
174		s7cli 14847	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩ ∈ Word V
175		wrddm 14483	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩ ∈ Word V → dom ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩ = (0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩)))
176	174, 175	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩ = (0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩))
177	173, 176	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐸 = (0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩))
178		f1oeq2 6769	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐸 = (0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩)) → (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ 𝐸:(0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩))–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
179	177, 178	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ 𝐸:(0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩))–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
180	172, 179	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((((({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ {0, 3} ∈ V ∧ ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))) ∧ (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5})))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
181		f1of1 6779	. . . 4 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) → 𝐸:dom 𝐸–1-1→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
182	180, 181	syl 17	. . 3 ⊢ ((((({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ {0, 3} ∈ V ∧ ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))) ∧ (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5})))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩) → 𝐸:dom 𝐸–1-1→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
183		0elfz 13578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...5))
184	54, 183	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0...5)
185		5re 12268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℝ
186	34, 185, 111	ltleii 11269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≤ 5
187		elfz2nn0 13572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (0...5) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 5))
188	12, 54, 186, 187	mpbir3an 1343	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0...5)
189		prssi 4764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ (0...5) ∧ 1 ∈ (0...5)) → {0, 1} ⊆ (0...5))
190	184, 188, 189	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ {0, 1} ⊆ (0...5)
191		2lt5 12355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 5
192	77, 185, 191	ltleii 11269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≤ 5
193		elfz2nn0 13572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ (0...5) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 5))
194	14, 54, 192, 193	mpbir3an 1343	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (0...5)
195		prssi 4764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ (0...5) ∧ 2 ∈ (0...5)) → {0, 2} ⊆ (0...5))
196	184, 194, 195	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ {0, 2} ⊆ (0...5)
197		prssi 4764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ (0...5) ∧ 2 ∈ (0...5)) → {1, 2} ⊆ (0...5))
198	188, 194, 197	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ {1, 2} ⊆ (0...5)
199		sseq1 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {0, 1} ⊆ (0...5)))
200		sseq1 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = {0, 2} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {0, 2} ⊆ (0...5)))
201		sseq1 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = {1, 2} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {1, 2} ⊆ (0...5)))
202	199, 200, 201	raltpg 4642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) → (∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}𝑒 ⊆ (0...5) ↔ ({0, 1} ⊆ (0...5) ∧ {0, 2} ⊆ (0...5) ∧ {1, 2} ⊆ (0...5))))
203	4, 202	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}𝑒 ⊆ (0...5) ↔ ({0, 1} ⊆ (0...5) ∧ {0, 2} ⊆ (0...5) ∧ {1, 2} ⊆ (0...5)))
204	190, 196, 198, 203	mpbir3an 1343	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}𝑒 ⊆ (0...5)
205	139, 185, 151	ltleii 11269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≤ 5
206		elfz2nn0 13572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ (0...5) ↔ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0 ∧ 3 ≤ 5))
207	31, 54, 205, 206	mpbir3an 1343	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ (0...5)
208		prssi 4764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ (0...5) ∧ 3 ∈ (0...5)) → {0, 3} ⊆ (0...5))
209	184, 207, 208	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ {0, 3} ⊆ (0...5)
210		sseq1 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {0, 3} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {0, 3} ⊆ (0...5)))
211	5, 210	ralsn 4625	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑒 ∈ {{0, 3}}𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {0, 3} ⊆ (0...5))
212	209, 211	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑒 ∈ {{0, 3}}𝑒 ⊆ (0...5)
213		ralunb 4137	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑒 ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}})𝑒 ⊆ (0...5) ↔ (∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}𝑒 ⊆ (0...5) ∧ ∀𝑒 ∈ {{0, 3}}𝑒 ⊆ (0...5)))
214	204, 212, 213	mpbir2an 712	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑒 ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}})𝑒 ⊆ (0...5)
215	143, 185, 144	ltleii 11269	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≤ 5
216		elfz2nn0 13572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ (0...5) ↔ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0 ∧ 4 ≤ 5))
217	42, 54, 215, 216	mpbir3an 1343	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ (0...5)
218		prssi 4764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ (0...5) ∧ 4 ∈ (0...5)) → {3, 4} ⊆ (0...5))
219	207, 217, 218	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ {3, 4} ⊆ (0...5)
220		nn0fz0 13579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 ∈ ℕ0 ↔ 5 ∈ (0...5))
221	54, 220	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ (0...5)
222		prssi 4764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ (0...5) ∧ 5 ∈ (0...5)) → {3, 5} ⊆ (0...5))
223	207, 221, 222	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ {3, 5} ⊆ (0...5)
224		prssi 4764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ (0...5) ∧ 5 ∈ (0...5)) → {4, 5} ⊆ (0...5))
225	217, 221, 224	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ {4, 5} ⊆ (0...5)
226		sseq1 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {3, 4} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {3, 4} ⊆ (0...5)))
227		sseq1 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {3, 5} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {3, 5} ⊆ (0...5)))
228		sseq1 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {4, 5} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {4, 5} ⊆ (0...5)))
229	226, 227, 228	raltpg 4642	. . . . . . . . 9 ⊢ (({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V) → (∀𝑒 ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}𝑒 ⊆ (0...5) ↔ ({3, 4} ⊆ (0...5) ∧ {3, 5} ⊆ (0...5) ∧ {4, 5} ⊆ (0...5))))
230	9, 229	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑒 ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}𝑒 ⊆ (0...5) ↔ ({3, 4} ⊆ (0...5) ∧ {3, 5} ⊆ (0...5) ∧ {4, 5} ⊆ (0...5)))
231	219, 223, 225, 230	mpbir3an 1343	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑒 ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}𝑒 ⊆ (0...5)
232		ralunb 4137	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑒 ∈ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})𝑒 ⊆ (0...5) ↔ (∀𝑒 ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}})𝑒 ⊆ (0...5) ∧ ∀𝑒 ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}𝑒 ⊆ (0...5)))
233	214, 231, 232	mpbir2an 712	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑒 ∈ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})𝑒 ⊆ (0...5)
234		pwssb 5043	. . . . . 6 ⊢ ((({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ⊆ 𝒫 (0...5) ↔ ∀𝑒 ∈ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})𝑒 ⊆ (0...5))
235	233, 234	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ⊆ 𝒫 (0...5)
236		usgrexmpl1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (0...5)
237	236	pweqi 4557	. . . . 5 ⊢ 𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...5)
238	235, 237	sseqtrri 3971	. . . 4 ⊢ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ⊆ 𝒫 𝑉
239		prhash2ex 14361	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
240		c0ex 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
241		2ex 12258	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ V
242	240, 241, 26	3pm3.2i 1341	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 0 ≠ 2)
243		hashprb 14359	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 0 ≠ 2) ↔ (♯‘{0, 2}) = 2)
244	242, 243	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘{0, 2}) = 2
245		1ex 11140	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
246	245, 241, 18	3pm3.2i 1341	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
247		hashprb 14359	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) ↔ (♯‘{1, 2}) = 2)
248	246, 247	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘{1, 2}) = 2
249		fveqeq2 6849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{0, 1}) = 2))
250		fveqeq2 6849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {0, 2} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{0, 2}) = 2))
251		fveqeq2 6849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {1, 2} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{1, 2}) = 2))
252	249, 250, 251	raltpg 4642	. . . . . . . 8 ⊢ (({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) → (∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} (♯‘𝑒) = 2 ↔ ((♯‘{0, 1}) = 2 ∧ (♯‘{0, 2}) = 2 ∧ (♯‘{1, 2}) = 2)))
253	4, 252	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} (♯‘𝑒) = 2 ↔ ((♯‘{0, 1}) = 2 ∧ (♯‘{0, 2}) = 2 ∧ (♯‘{1, 2}) = 2))
254	239, 244, 248, 253	mpbir3an 1343	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} (♯‘𝑒) = 2
255		3ex 12263	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ V
256	240, 255, 47	3pm3.2i 1341	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V ∧ 0 ≠ 3)
257		hashprb 14359	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 3 ∈ V ∧ 0 ≠ 3) ↔ (♯‘{0, 3}) = 2)
258	256, 257	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘{0, 3}) = 2
259		fveqeq2 6849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {0, 3} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{0, 3}) = 2))
260	5, 259	ralsn 4625	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑒 ∈ {{0, 3}} (♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{0, 3}) = 2)
261	258, 260	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑒 ∈ {{0, 3}} (♯‘𝑒) = 2
262		ralunb 4137	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑒 ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}})(♯‘𝑒) = 2 ↔ (∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} (♯‘𝑒) = 2 ∧ ∀𝑒 ∈ {{0, 3}} (♯‘𝑒) = 2))
263	254, 261, 262	mpbir2an 712	. . . . 5 ⊢ ∀𝑒 ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}})(♯‘𝑒) = 2
264	143	elexi 3452	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ V
265	255, 264, 141	3pm3.2i 1341	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ V ∧ 3 ≠ 4)
266		hashprb 14359	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ V ∧ 4 ∈ V ∧ 3 ≠ 4) ↔ (♯‘{3, 4}) = 2)
267	265, 266	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{3, 4}) = 2
268	185	elexi 3452	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ V
269	255, 268, 152	3pm3.2i 1341	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ V ∧ 5 ∈ V ∧ 3 ≠ 5)
270		hashprb 14359	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ V ∧ 5 ∈ V ∧ 3 ≠ 5) ↔ (♯‘{3, 5}) = 2)
271	269, 270	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{3, 5}) = 2
272	264, 268, 145	3pm3.2i 1341	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ V ∧ 5 ∈ V ∧ 4 ≠ 5)
273		hashprb 14359	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ V ∧ 5 ∈ V ∧ 4 ≠ 5) ↔ (♯‘{4, 5}) = 2)
274	272, 273	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{4, 5}) = 2
275		fveqeq2 6849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {3, 4} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{3, 4}) = 2))
276		fveqeq2 6849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {3, 5} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{3, 5}) = 2))
277		fveqeq2 6849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {4, 5} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{4, 5}) = 2))
278	275, 276, 277	raltpg 4642	. . . . . . 7 ⊢ (({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V) → (∀𝑒 ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}} (♯‘𝑒) = 2 ↔ ((♯‘{3, 4}) = 2 ∧ (♯‘{3, 5}) = 2 ∧ (♯‘{4, 5}) = 2)))
279	9, 278	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑒 ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}} (♯‘𝑒) = 2 ↔ ((♯‘{3, 4}) = 2 ∧ (♯‘{3, 5}) = 2 ∧ (♯‘{4, 5}) = 2))
280	267, 271, 274, 279	mpbir3an 1343	. . . . 5 ⊢ ∀𝑒 ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}} (♯‘𝑒) = 2
281		ralunb 4137	. . . . 5 ⊢ (∀𝑒 ∈ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})(♯‘𝑒) = 2 ↔ (∀𝑒 ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}})(♯‘𝑒) = 2 ∧ ∀𝑒 ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}} (♯‘𝑒) = 2))
282	263, 280, 281	mpbir2an 712	. . . 4 ⊢ ∀𝑒 ∈ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})(♯‘𝑒) = 2
283		ssrab 4011	. . . 4 ⊢ ((({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2} ↔ ((({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ⊆ 𝒫 𝑉 ∧ ∀𝑒 ∈ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})(♯‘𝑒) = 2))
284	238, 282, 283	mpbir2an 712	. . 3 ⊢ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
285		f1ss 6741	. . 3 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ∧ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}) → 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
286	182, 284, 285	sylancl 587	. 2 ⊢ ((((({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ {0, 3} ∈ V ∧ ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))) ∧ (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5})))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩) → 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
287	164, 165, 286	mp2an 693	1 ⊢ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {crab 3389  Vcvv 3429   ∪ cun 3887   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  {csn 4567  {cpr 4569  {ctp 4571   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  –1-1→wf1 6495  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   ≤ cle 11180  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  7c7 12241  ℕ₀cn0 12437  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475  ⟨“cs7 14808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-s2 14810  df-s3 14811  df-s4 14812  df-s5 14813  df-s6 14814  df-s7 14815

This theorem is referenced by:  usgrexmpl1  48498