Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgrexmpl1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrexmpl1lem 47756
Description: Lemma for usgrexmpl1 47757. (Contributed by AV, 2-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
usgrexmpl1.v 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl1.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
Assertion
Ref Expression
usgrexmpl1lem 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
Distinct variable group:   𝑒,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑒)

Proof of Theorem usgrexmpl1lem
StepHypRef Expression
1 prex 5455 . . . . 5 {0, 1} ∈ V
2 prex 5455 . . . . 5 {0, 2} ∈ V
3 prex 5455 . . . . 5 {1, 2} ∈ V
41, 2, 33pm3.2i 1339 . . . 4 ({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
5 prex 5455 . . . 4 {0, 3} ∈ V
6 prex 5455 . . . . 5 {3, 4} ∈ V
7 prex 5455 . . . . 5 {3, 5} ∈ V
8 prex 5455 . . . . 5 {4, 5} ∈ V
96, 7, 83pm3.2i 1339 . . . 4 ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V)
104, 5, 93pm3.2i 1339 . . 3 (({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ {0, 3} ∈ V ∧ ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V))
11 0nn0 12564 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
12 1nn0 12565 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
1311, 12pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0)
14 2nn0 12566 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
1511, 14pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0)
1613, 15pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0))
17 ax-1ne0 11249 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
18 1ne2 12497 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 2
1917, 18pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 2)
2019olci 865 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 2))
21 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 2)) → {0, 1} ≠ {0, 2}))
2216, 20, 21mp2 9 . . . . . . 7 {0, 1} ≠ {0, 2}
2312, 14pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0)
2413, 23pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0))
25 0ne1 12360 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 1
26 0ne2 12496 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 2
2725, 26pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2)
2827orci 864 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2))
29 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2)) → {0, 1} ≠ {1, 2}))
3024, 28, 29mp2 9 . . . . . . 7 {0, 1} ≠ {1, 2}
31 3nn0 12567 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ0
3211, 31pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)
3313, 32pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0))
34 1re 11286 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
35 1lt3 12462 . . . . . . . . . . 11 1 < 3
3634, 35ltneii 11399 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 3
3717, 36pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)
3837olci 865 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3))
39 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)) → {0, 1} ≠ {0, 3}))
4033, 38, 39mp2 9 . . . . . . 7 {0, 1} ≠ {0, 3}
4122, 30, 403pm3.2i 1339 . . . . . 6 ({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3})
42 4nn0 12568 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
4331, 42pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0)
4413, 43pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0))
45 0re 11288 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
46 3pos 12394 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
4745, 46ltneii 11399 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 3
48 4pos 12396 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
4945, 48ltneii 11399 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 4
5047, 49pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4)
5150orci 864 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4))
52 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4)) → {0, 1} ≠ {3, 4}))
5344, 51, 52mp2 9 . . . . . . 7 {0, 1} ≠ {3, 4}
54 5nn0 12569 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
5531, 54pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)
5613, 55pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
57 5pos 12398 . . . . . . . . . . 11 0 < 5
5845, 57ltneii 11399 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 5
5947, 58pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 5)
6059orci 864 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 5))
61 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 5)) → {0, 1} ≠ {3, 5}))
6256, 60, 61mp2 9 . . . . . . 7 {0, 1} ≠ {3, 5}
6342, 54pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)
6413, 63pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
6549, 58pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5)
6665orci 864 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5))
67 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5)) → {0, 1} ≠ {4, 5}))
6864, 66, 67mp2 9 . . . . . . 7 {0, 1} ≠ {4, 5}
6953, 62, 683pm3.2i 1339 . . . . . 6 ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})
7041, 69pm3.2i 470 . . . . 5 (({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5}))
7115, 23pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0))
7227orci 864 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (2 ≠ 1 ∧ 2 ≠ 2))
73 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (2 ≠ 1 ∧ 2 ≠ 2)) → {0, 2} ≠ {1, 2}))
7471, 72, 73mp2 9 . . . . . . 7 {0, 2} ≠ {1, 2}
7515, 32pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0))
76 2ne0 12393 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
77 2re 12363 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
78 2lt3 12461 . . . . . . . . . . 11 2 < 3
7977, 78ltneii 11399 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 3
8076, 79pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)
8180olci 865 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3))
82 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)) → {0, 2} ≠ {0, 3}))
8375, 81, 82mp2 9 . . . . . . 7 {0, 2} ≠ {0, 3}
8474, 83pm3.2i 470 . . . . . 6 ({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3})
8515, 43pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0))
8650orci 864 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4))
87 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4)) → {0, 2} ≠ {3, 4}))
8885, 86, 87mp2 9 . . . . . . 7 {0, 2} ≠ {3, 4}
8915, 55pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
9059orci 864 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 5))
91 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 5)) → {0, 2} ≠ {3, 5}))
9289, 90, 91mp2 9 . . . . . . 7 {0, 2} ≠ {3, 5}
9315, 63pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
9465orci 864 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5))
95 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5)) → {0, 2} ≠ {4, 5}))
9693, 94, 95mp2 9 . . . . . . 7 {0, 2} ≠ {4, 5}
9788, 92, 963pm3.2i 1339 . . . . . 6 ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})
9884, 97pm3.2i 470 . . . . 5 (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5}))
9923, 32pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0))
10037orci 864 . . . . . . 7 ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3))
101 prneimg 4879 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)) → {1, 2} ≠ {0, 3}))
10299, 100, 101mp2 9 . . . . . 6 {1, 2} ≠ {0, 3}
10323, 43pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0))
104 1lt4 12465 . . . . . . . . . . 11 1 < 4
10534, 104ltneii 11399 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 4
10636, 105pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4)
107106orci 864 . . . . . . . 8 ((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4))
108 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4)) → {1, 2} ≠ {3, 4}))
109103, 107, 108mp2 9 . . . . . . 7 {1, 2} ≠ {3, 4}
11023, 55pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
111 1lt5 12469 . . . . . . . . . . 11 1 < 5
11234, 111ltneii 11399 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 5
11336, 112pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 5)
114113orci 864 . . . . . . . 8 ((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 5))
115 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 5)) → {1, 2} ≠ {3, 5}))
116110, 114, 115mp2 9 . . . . . . 7 {1, 2} ≠ {3, 5}
11723, 63pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
118105, 112pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5)
119118orci 864 . . . . . . . 8 ((1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5))
120 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5)) → {1, 2} ≠ {4, 5}))
121117, 119, 120mp2 9 . . . . . . 7 {1, 2} ≠ {4, 5}
122109, 116, 1213pm3.2i 1339 . . . . . 6 ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5})
123102, 122pm3.2i 470 . . . . 5 ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))
12470, 98, 1233pm3.2i 1339 . . . 4 ((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5})))
12532, 43pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0))
12650orci 864 . . . . . . 7 ((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (3 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 4))
127 prneimg 4879 . . . . . . 7 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (3 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 4)) → {0, 3} ≠ {3, 4}))
128125, 126, 127mp2 9 . . . . . 6 {0, 3} ≠ {3, 4}
12932, 55pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
13059orci 864 . . . . . . 7 ((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (3 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 5))
131 prneimg 4879 . . . . . . 7 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (3 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 5)) → {0, 3} ≠ {3, 5}))
132129, 130, 131mp2 9 . . . . . 6 {0, 3} ≠ {3, 5}
13332, 63pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
13465orci 864 . . . . . . 7 ((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5))
135 prneimg 4879 . . . . . . 7 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5)) → {0, 3} ≠ {4, 5}))
136133, 134, 135mp2 9 . . . . . 6 {0, 3} ≠ {4, 5}
137128, 132, 1363pm3.2i 1339 . . . . 5 ({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5})
13843, 55pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
139 3re 12369 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
140 3lt4 12463 . . . . . . . . . . 11 3 < 4
141139, 140ltneii 11399 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 4
142141necomi 2997 . . . . . . . . 9 4 ≠ 3
143 4re 12373 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
144 4lt5 12466 . . . . . . . . . 10 4 < 5
145143, 144ltneii 11399 . . . . . . . . 9 4 ≠ 5
146142, 145pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (4 ≠ 3 ∧ 4 ≠ 5)
147146olci 865 . . . . . . 7 ((3 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 5) ∨ (4 ≠ 3 ∧ 4 ≠ 5))
148 prneimg 4879 . . . . . . 7 (((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((3 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 5) ∨ (4 ≠ 3 ∧ 4 ≠ 5)) → {3, 4} ≠ {3, 5}))
149138, 147, 148mp2 9 . . . . . 6 {3, 4} ≠ {3, 5}
15043, 63pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
151 3lt5 12467 . . . . . . . . . 10 3 < 5
152139, 151ltneii 11399 . . . . . . . . 9 3 ≠ 5
153141, 152pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5)
154153orci 864 . . . . . . 7 ((3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5) ∨ (4 ≠ 4 ∧ 4 ≠ 5))
155 prneimg 4879 . . . . . . 7 (((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5) ∨ (4 ≠ 4 ∧ 4 ≠ 5)) → {3, 4} ≠ {4, 5}))
156150, 154, 155mp2 9 . . . . . 6 {3, 4} ≠ {4, 5}
15755, 63pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
158153orci 864 . . . . . . 7 ((3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5) ∨ (5 ≠ 4 ∧ 5 ≠ 5))
159 prneimg 4879 . . . . . . 7 (((3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5) ∨ (5 ≠ 4 ∧ 5 ≠ 5)) → {3, 5} ≠ {4, 5}))
160157, 158, 159mp2 9 . . . . . 6 {3, 5} ≠ {4, 5}
161149, 156, 1603pm3.2i 1339 . . . . 5 ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5})
162137, 161pm3.2i 470 . . . 4 (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5}))
163124, 162pm3.2i 470 . . 3 (((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))) ∧ (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5})))
16410, 163pm3.2i 470 . 2 ((({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ {0, 3} ∈ V ∧ ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))) ∧ (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5}))))
165 usgrexmpl1.e . 2 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
166 s7f1o 15011 . . . . . . 7 (((({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ {0, 3} ∈ V ∧ ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))) ∧ (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5})))) → (𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩ → 𝐸:(0..^7)–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
167166imp 406 . . . . . 6 ((((({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ {0, 3} ∈ V ∧ ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))) ∧ (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5})))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩) → 𝐸:(0..^7)–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
168 s7len 14947 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩) = 7
169168oveq2i 7456 . . . . . . 7 (0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩)) = (0..^7)
170 f1oeq2 6850 . . . . . . 7 ((0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩)) = (0..^7) → (𝐸:(0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩))–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ 𝐸:(0..^7)–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
171169, 170ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐸:(0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩))–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ 𝐸:(0..^7)–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
172167, 171sylibr 234 . . . . 5 ((((({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ {0, 3} ∈ V ∧ ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))) ∧ (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5})))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩) → 𝐸:(0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩))–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
173165dmeqi 5928 . . . . . . 7 dom 𝐸 = dom ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
174 s7cli 14930 . . . . . . . 8 ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩ ∈ Word V
175 wrddm 14565 . . . . . . . 8 (⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩ ∈ Word V → dom ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩ = (0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩)))
176174, 175ax-mp 5 . . . . . . 7 dom ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩ = (0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩))
177173, 176eqtri 2762 . . . . . 6 dom 𝐸 = (0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩))
178 f1oeq2 6850 . . . . . 6 (dom 𝐸 = (0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩)) → (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ 𝐸:(0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩))–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})))
179177, 178ax-mp 5 . . . . 5 (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ↔ 𝐸:(0..^(♯‘⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩))–1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
180172, 179sylibr 234 . . . 4 ((((({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ {0, 3} ∈ V ∧ ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))) ∧ (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5})))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
181 f1of1 6860 . . . 4 (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) → 𝐸:dom 𝐸1-1→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
182180, 181syl 17 . . 3 ((((({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ {0, 3} ∈ V ∧ ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))) ∧ (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5})))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩) → 𝐸:dom 𝐸1-1→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}))
183 0elfz 13677 . . . . . . . . . . 11 (5 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...5))
18454, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0...5)
185 5re 12376 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℝ
18634, 185, 111ltleii 11409 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 5
187 elfz2nn0 13671 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (0...5) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 5))
18812, 54, 186, 187mpbir3an 1341 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0...5)
189 prssi 4846 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ (0...5) ∧ 1 ∈ (0...5)) → {0, 1} ⊆ (0...5))
190184, 188, 189mp2an 691 . . . . . . . . 9 {0, 1} ⊆ (0...5)
191 2lt5 12468 . . . . . . . . . . . 12 2 < 5
19277, 185, 191ltleii 11409 . . . . . . . . . . 11 2 ≤ 5
193 elfz2nn0 13671 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ (0...5) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 5))
19414, 54, 192, 193mpbir3an 1341 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (0...5)
195 prssi 4846 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ (0...5) ∧ 2 ∈ (0...5)) → {0, 2} ⊆ (0...5))
196184, 194, 195mp2an 691 . . . . . . . . 9 {0, 2} ⊆ (0...5)
197 prssi 4846 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ (0...5) ∧ 2 ∈ (0...5)) → {1, 2} ⊆ (0...5))
198188, 194, 197mp2an 691 . . . . . . . . 9 {1, 2} ⊆ (0...5)
199 sseq1 4028 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {0, 1} ⊆ (0...5)))
200 sseq1 4028 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = {0, 2} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {0, 2} ⊆ (0...5)))
201 sseq1 4028 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = {1, 2} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {1, 2} ⊆ (0...5)))
202199, 200, 201raltpg 4723 . . . . . . . . . 10 (({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) → (∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}𝑒 ⊆ (0...5) ↔ ({0, 1} ⊆ (0...5) ∧ {0, 2} ⊆ (0...5) ∧ {1, 2} ⊆ (0...5))))
2034, 202ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}𝑒 ⊆ (0...5) ↔ ({0, 1} ⊆ (0...5) ∧ {0, 2} ⊆ (0...5) ∧ {1, 2} ⊆ (0...5)))
204190, 196, 198, 203mpbir3an 1341 . . . . . . . 8 𝑒 ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}𝑒 ⊆ (0...5)
205139, 185, 151ltleii 11409 . . . . . . . . . . 11 3 ≤ 5
206 elfz2nn0 13671 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ (0...5) ↔ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0 ∧ 3 ≤ 5))
20731, 54, 205, 206mpbir3an 1341 . . . . . . . . . 10 3 ∈ (0...5)
208 prssi 4846 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ (0...5) ∧ 3 ∈ (0...5)) → {0, 3} ⊆ (0...5))
209184, 207, 208mp2an 691 . . . . . . . . 9 {0, 3} ⊆ (0...5)
210 sseq1 4028 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = {0, 3} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {0, 3} ⊆ (0...5)))
2115, 210ralsn 4705 . . . . . . . . 9 (∀𝑒 ∈ {{0, 3}}𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {0, 3} ⊆ (0...5))
212209, 211mpbir 231 . . . . . . . 8 𝑒 ∈ {{0, 3}}𝑒 ⊆ (0...5)
213 ralunb 4214 . . . . . . . 8 (∀𝑒 ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}})𝑒 ⊆ (0...5) ↔ (∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}𝑒 ⊆ (0...5) ∧ ∀𝑒 ∈ {{0, 3}}𝑒 ⊆ (0...5)))
214204, 212, 213mpbir2an 710 . . . . . . 7 𝑒 ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}})𝑒 ⊆ (0...5)
215143, 185, 144ltleii 11409 . . . . . . . . . 10 4 ≤ 5
216 elfz2nn0 13671 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ (0...5) ↔ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0 ∧ 4 ≤ 5))
21742, 54, 215, 216mpbir3an 1341 . . . . . . . . 9 4 ∈ (0...5)
218 prssi 4846 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ (0...5) ∧ 4 ∈ (0...5)) → {3, 4} ⊆ (0...5))
219207, 217, 218mp2an 691 . . . . . . . 8 {3, 4} ⊆ (0...5)
220 nn0fz0 13678 . . . . . . . . . 10 (5 ∈ ℕ0 ↔ 5 ∈ (0...5))
22154, 220mpbi 230 . . . . . . . . 9 5 ∈ (0...5)
222 prssi 4846 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ (0...5) ∧ 5 ∈ (0...5)) → {3, 5} ⊆ (0...5))
223207, 221, 222mp2an 691 . . . . . . . 8 {3, 5} ⊆ (0...5)
224 prssi 4846 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ (0...5) ∧ 5 ∈ (0...5)) → {4, 5} ⊆ (0...5))
225217, 221, 224mp2an 691 . . . . . . . 8 {4, 5} ⊆ (0...5)
226 sseq1 4028 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = {3, 4} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {3, 4} ⊆ (0...5)))
227 sseq1 4028 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = {3, 5} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {3, 5} ⊆ (0...5)))
228 sseq1 4028 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = {4, 5} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {4, 5} ⊆ (0...5)))
229226, 227, 228raltpg 4723 . . . . . . . . 9 (({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V) → (∀𝑒 ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}𝑒 ⊆ (0...5) ↔ ({3, 4} ⊆ (0...5) ∧ {3, 5} ⊆ (0...5) ∧ {4, 5} ⊆ (0...5))))
2309, 229ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∀𝑒 ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}𝑒 ⊆ (0...5) ↔ ({3, 4} ⊆ (0...5) ∧ {3, 5} ⊆ (0...5) ∧ {4, 5} ⊆ (0...5)))
231219, 223, 225, 230mpbir3an 1341 . . . . . . 7 𝑒 ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}𝑒 ⊆ (0...5)
232 ralunb 4214 . . . . . . 7 (∀𝑒 ∈ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})𝑒 ⊆ (0...5) ↔ (∀𝑒 ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}})𝑒 ⊆ (0...5) ∧ ∀𝑒 ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}𝑒 ⊆ (0...5)))
233214, 231, 232mpbir2an 710 . . . . . 6 𝑒 ∈ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})𝑒 ⊆ (0...5)
234 pwssb 5127 . . . . . 6 ((({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ⊆ 𝒫 (0...5) ↔ ∀𝑒 ∈ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})𝑒 ⊆ (0...5))
235233, 234mpbir 231 . . . . 5 (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ⊆ 𝒫 (0...5)
236 usgrexmpl1.v . . . . . 6 𝑉 = (0...5)
237236pweqi 4638 . . . . 5 𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...5)
238235, 237sseqtrri 4040 . . . 4 (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ⊆ 𝒫 𝑉
239 prhash2ex 14444 . . . . . . 7 (♯‘{0, 1}) = 2
240 c0ex 11280 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
241 2ex 12366 . . . . . . . . 9 2 ∈ V
242240, 241, 263pm3.2i 1339 . . . . . . . 8 (0 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 0 ≠ 2)
243 hashprb 14442 . . . . . . . 8 ((0 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 0 ≠ 2) ↔ (♯‘{0, 2}) = 2)
244242, 243mpbi 230 . . . . . . 7 (♯‘{0, 2}) = 2
245 1ex 11282 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
246245, 241, 183pm3.2i 1339 . . . . . . . 8 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
247 hashprb 14442 . . . . . . . 8 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) ↔ (♯‘{1, 2}) = 2)
248246, 247mpbi 230 . . . . . . 7 (♯‘{1, 2}) = 2
249 fveqeq2 6928 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {0, 1} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{0, 1}) = 2))
250 fveqeq2 6928 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {0, 2} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{0, 2}) = 2))
251 fveqeq2 6928 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {1, 2} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{1, 2}) = 2))
252249, 250, 251raltpg 4723 . . . . . . . 8 (({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) → (∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} (♯‘𝑒) = 2 ↔ ((♯‘{0, 1}) = 2 ∧ (♯‘{0, 2}) = 2 ∧ (♯‘{1, 2}) = 2)))
2534, 252ax-mp 5 . . . . . . 7 (∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} (♯‘𝑒) = 2 ↔ ((♯‘{0, 1}) = 2 ∧ (♯‘{0, 2}) = 2 ∧ (♯‘{1, 2}) = 2))
254239, 244, 248, 253mpbir3an 1341 . . . . . 6 𝑒 ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} (♯‘𝑒) = 2
255 3ex 12371 . . . . . . . . 9 3 ∈ V
256240, 255, 473pm3.2i 1339 . . . . . . . 8 (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V ∧ 0 ≠ 3)
257 hashprb 14442 . . . . . . . 8 ((0 ∈ V ∧ 3 ∈ V ∧ 0 ≠ 3) ↔ (♯‘{0, 3}) = 2)
258256, 257mpbi 230 . . . . . . 7 (♯‘{0, 3}) = 2
259 fveqeq2 6928 . . . . . . . 8 (𝑒 = {0, 3} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{0, 3}) = 2))
2605, 259ralsn 4705 . . . . . . 7 (∀𝑒 ∈ {{0, 3}} (♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{0, 3}) = 2)
261258, 260mpbir 231 . . . . . 6 𝑒 ∈ {{0, 3}} (♯‘𝑒) = 2
262 ralunb 4214 . . . . . 6 (∀𝑒 ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}})(♯‘𝑒) = 2 ↔ (∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} (♯‘𝑒) = 2 ∧ ∀𝑒 ∈ {{0, 3}} (♯‘𝑒) = 2))
263254, 261, 262mpbir2an 710 . . . . 5 𝑒 ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}})(♯‘𝑒) = 2
264143elexi 3506 . . . . . . . 8 4 ∈ V
265255, 264, 1413pm3.2i 1339 . . . . . . 7 (3 ∈ V ∧ 4 ∈ V ∧ 3 ≠ 4)
266 hashprb 14442 . . . . . . 7 ((3 ∈ V ∧ 4 ∈ V ∧ 3 ≠ 4) ↔ (♯‘{3, 4}) = 2)
267265, 266mpbi 230 . . . . . 6 (♯‘{3, 4}) = 2
268185elexi 3506 . . . . . . . 8 5 ∈ V
269255, 268, 1523pm3.2i 1339 . . . . . . 7 (3 ∈ V ∧ 5 ∈ V ∧ 3 ≠ 5)
270 hashprb 14442 . . . . . . 7 ((3 ∈ V ∧ 5 ∈ V ∧ 3 ≠ 5) ↔ (♯‘{3, 5}) = 2)
271269, 270mpbi 230 . . . . . 6 (♯‘{3, 5}) = 2
272264, 268, 1453pm3.2i 1339 . . . . . . 7 (4 ∈ V ∧ 5 ∈ V ∧ 4 ≠ 5)
273 hashprb 14442 . . . . . . 7 ((4 ∈ V ∧ 5 ∈ V ∧ 4 ≠ 5) ↔ (♯‘{4, 5}) = 2)
274272, 273mpbi 230 . . . . . 6 (♯‘{4, 5}) = 2
275 fveqeq2 6928 . . . . . . . 8 (𝑒 = {3, 4} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{3, 4}) = 2))
276 fveqeq2 6928 . . . . . . . 8 (𝑒 = {3, 5} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{3, 5}) = 2))
277 fveqeq2 6928 . . . . . . . 8 (𝑒 = {4, 5} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{4, 5}) = 2))
278275, 276, 277raltpg 4723 . . . . . . 7 (({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V) → (∀𝑒 ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}} (♯‘𝑒) = 2 ↔ ((♯‘{3, 4}) = 2 ∧ (♯‘{3, 5}) = 2 ∧ (♯‘{4, 5}) = 2)))
2799, 278ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑒 ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}} (♯‘𝑒) = 2 ↔ ((♯‘{3, 4}) = 2 ∧ (♯‘{3, 5}) = 2 ∧ (♯‘{4, 5}) = 2))
280267, 271, 274, 279mpbir3an 1341 . . . . 5 𝑒 ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}} (♯‘𝑒) = 2
281 ralunb 4214 . . . . 5 (∀𝑒 ∈ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})(♯‘𝑒) = 2 ↔ (∀𝑒 ∈ ({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}})(♯‘𝑒) = 2 ∧ ∀𝑒 ∈ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}} (♯‘𝑒) = 2))
282263, 280, 281mpbir2an 710 . . . 4 𝑒 ∈ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})(♯‘𝑒) = 2
283 ssrab 4090 . . . 4 ((({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2} ↔ ((({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ⊆ 𝒫 𝑉 ∧ ∀𝑒 ∈ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}})(♯‘𝑒) = 2))
284238, 282, 283mpbir2an 710 . . 3 (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
285 f1ss 6821 . . 3 ((𝐸:dom 𝐸1-1→(({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ∧ (({{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}} ∪ {{0, 3}}) ∪ {{3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}) ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}) → 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
286182, 284, 285sylancl 585 . 2 ((((({0, 1} ∈ V ∧ {0, 2} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ {0, 3} ∈ V ∧ ({3, 4} ∈ V ∧ {3, 5} ∈ V ∧ {4, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {0, 2} ∧ {0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 1} ≠ {3, 4} ∧ {0, 1} ≠ {3, 5} ∧ {0, 1} ≠ {4, 5})) ∧ (({0, 2} ≠ {1, 2} ∧ {0, 2} ≠ {0, 3}) ∧ ({0, 2} ≠ {3, 4} ∧ {0, 2} ≠ {3, 5} ∧ {0, 2} ≠ {4, 5})) ∧ ({1, 2} ≠ {0, 3} ∧ ({1, 2} ≠ {3, 4} ∧ {1, 2} ≠ {3, 5} ∧ {1, 2} ≠ {4, 5}))) ∧ (({0, 3} ≠ {3, 4} ∧ {0, 3} ≠ {3, 5} ∧ {0, 3} ≠ {4, 5}) ∧ ({3, 4} ≠ {3, 5} ∧ {3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 5} ≠ {4, 5})))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩) → 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
287164, 165, 286mp2an 691 1 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wo 846  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  wne 2942  wral 3063  {crab 3438  Vcvv 3482  cun 3968  wss 3970  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  {cpr 4650  {ctp 4652   class class class wbr 5169  dom cdm 5699  1-1wf1 6569  1-1-ontowf1o 6571  cfv 6572  (class class class)co 7445  cr 11179  0cc0 11180  1c1 11181  cle 11321  2c2 12344  3c3 12345  4c4 12346  5c5 12347  7c7 12349  0cn0 12549  ...cfz 13563  ..^cfzo 13707  chash 14375  Word cword 14558  ⟨“cs7 14891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-oadd 8522  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-dju 9966  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-n0 12550  df-xnn0 12622  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-hash 14376  df-word 14559  df-concat 14615  df-s1 14640  df-s2 14893  df-s3 14894  df-s4 14895  df-s5 14896  df-s6 14897  df-s7 14898
This theorem is referenced by:  usgrexmpl1  47757
  Copyright terms: Public domain W3C validator