MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  met2ndc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem met2ndc 24383
Description: A metric space is second-countable iff it is separable (has a countable dense subset). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
met2ndc (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑋

Proof of Theorem met2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
212ndcsep 23314 . . 3 (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝐽))
3 methaus.1 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
43mopnuni 24298 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
54pweqd 4614 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝒫 𝑋 = 𝒫 βˆͺ 𝐽)
64eqeq2d 2737 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋 ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝐽))
76anbi2d 628 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋) ↔ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝐽)))
85, 7rexeqbidv 3337 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝐽)))
92, 8imbitrrid 245 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋)))
10 elpwi 4604 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
113met2ndci 24382 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)
12113exp2 1351 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑋 β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰))))
1312imp4a 422 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑋 β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)))
1410, 13syl5 34 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)))
1514rexlimdv 3147 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰))
169, 15impbid 211 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  Ο‰com 7851   β‰Ό cdom 8936  βˆžMetcxmet 21221  MetOpencmopn 21226  clsccl 22873  2ndΟ‰c2ndc 23293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-topgen 17396  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-top 22747  df-topon 22764  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-2ndc 23295
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator