MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  met2ndc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem met2ndc 24450
Description: A metric space is second-countable iff it is separable (has a countable dense subset). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
met2ndc (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑋

Proof of Theorem met2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
212ndcsep 23381 . . 3 (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝐽))
3 methaus.1 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
43mopnuni 24365 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
54pweqd 4621 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝒫 𝑋 = 𝒫 βˆͺ 𝐽)
64eqeq2d 2738 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋 ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝐽))
76anbi2d 628 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋) ↔ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝐽)))
85, 7rexeqbidv 3339 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝐽)))
92, 8imbitrrid 245 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋)))
10 elpwi 4611 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
113met2ndci 24449 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)
12113exp2 1351 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑋 β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋 β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰))))
1312imp4a 421 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑋 β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)))
1410, 13syl5 34 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)))
1514rexlimdv 3149 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰))
169, 15impbid 211 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3066   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4604  βˆͺ cuni 4910   class class class wbr 5150  β€˜cfv 6551  Ο‰com 7874   β‰Ό cdom 8966  βˆžMetcxmet 21269  MetOpencmopn 21274  clsccl 22940  2ndΟ‰c2ndc 23360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cc 10464  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-acn 9971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-topgen 17430  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-2ndc 23362
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator