Theorem met2ndc 23785

Description: A metric space is second-countable iff it is separable (has a countable dense subset). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
methaus.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
met2ndc	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋

Proof of Theorem met2ndc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	2ndcsep 22716	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → ∃𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = ∪ 𝐽))
3		methaus.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopnuni 23700	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	4	pweqd 4569	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝒫 𝑋 = 𝒫 ∪ 𝐽)
6	4	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋 ↔ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = ∪ 𝐽))
7	6	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) ↔ (𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = ∪ 𝐽)))
8	5, 7	rexeqbidv 3317	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = ∪ 𝐽)))
9	2, 8	syl5ibr 246	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐽 ∈ 2ndω → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋)))
10		elpwi 4559	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑥 ⊆ 𝑋)
11	3	met2ndci 23784	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋)) → 𝐽 ∈ 2ndω)
12	11	3exp2 1354	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑥 ≼ ω → (((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋 → 𝐽 ∈ 2ndω))))
13	12	imp4a 424	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ⊆ 𝑋 → ((𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) → 𝐽 ∈ 2ndω)))
14	10, 13	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → ((𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) → 𝐽 ∈ 2ndω)))
15	14	rexlimdv 3147	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) → 𝐽 ∈ 2ndω))
16	9, 15	impbid 211	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4552  ∪ cuni 4857   class class class wbr 5097  ‘cfv 6484  ωcom 7785   ≼ cdom 8807  ∞Metcxmet 20688  MetOpencmopn 20693  clsccl 22275  2^ndωc2ndc 22695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-inf2 9503  ax-cc 10297  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-map 8693  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-sup 9304  df-inf 9305  df-oi 9372  df-card 9801  df-acn 9804  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-q 12795  df-rp 12837  df-xneg 12954  df-xadd 12955  df-xmul 12956  df-topgen 17252  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-top 22149  df-topon 22166  df-bases 22202  df-cld 22276  df-ntr 22277  df-cls 22278  df-2ndc 22697

This theorem is referenced by: (None)