Theorem met2ndc 24479

Description: A metric space is second-countable iff it is separable (has a countable dense subset). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
methaus.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
met2ndc	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋

Proof of Theorem met2ndc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	2ndcsep 23415	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → ∃𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = ∪ 𝐽))
3		methaus.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopnuni 24397	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	4	pweqd 4573	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝒫 𝑋 = 𝒫 ∪ 𝐽)
6	4	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋 ↔ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = ∪ 𝐽))
7	6	anbi2d 631	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) ↔ (𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = ∪ 𝐽)))
8	5, 7	rexeqbidv 3319	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = ∪ 𝐽)))
9	2, 8	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐽 ∈ 2ndω → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋)))
10		elpwi 4563	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑥 ⊆ 𝑋)
11	3	met2ndci 24478	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋)) → 𝐽 ∈ 2ndω)
12	11	3exp2 1356	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑥 ≼ ω → (((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋 → 𝐽 ∈ 2ndω))))
13	12	imp4a 422	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ⊆ 𝑋 → ((𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) → 𝐽 ∈ 2ndω)))
14	10, 13	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → ((𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) → 𝐽 ∈ 2ndω)))
15	14	rexlimdv 3137	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) → 𝐽 ∈ 2ndω))
16	9, 15	impbid 212	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  ωcom 7818   ≼ cdom 8893  ∞Metcxmet 21306  MetOpencmopn 21311  clsccl 22974  2^ndωc2ndc 23394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-2ndc 23396

This theorem is referenced by: (None)