MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsdomd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsdomd 18506
Description: In an algebraic closure system, if 𝑆 and 𝑇 have the same closure and 𝑆 is infinite independent, then 𝑇 dominates 𝑆. This follows from applying acsinfd 18505 and then applying unirnfdomd 10558 to the map given in acsmap2d 18504. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmap2d.1 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsmap2d.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsmap2d.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsmap2d.4 (𝜑𝑆𝐼)
acsmap2d.5 (𝜑𝑇𝑋)
acsmap2d.6 (𝜑 → (𝑁𝑆) = (𝑁𝑇))
acsinfd.7 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
acsdomd (𝜑𝑆𝑇)

Proof of Theorem acsdomd
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmap2d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2 acsmap2d.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3 acsmap2d.3 . . 3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4 acsmap2d.4 . . 3 (𝜑𝑆𝐼)
5 acsmap2d.5 . . 3 (𝜑𝑇𝑋)
6 acsmap2d.6 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑆) = (𝑁𝑇))
71, 2, 3, 4, 5, 6acsmap2d 18504 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓))
8 simprr 771 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) → 𝑆 = ran 𝑓)
9 simprl 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
10 inss2 4228 . . . . 5 (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ Fin
11 fss 6731 . . . . 5 ((𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ Fin) → 𝑓:𝑇⟶Fin)
129, 10, 11sylancl 586 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) → 𝑓:𝑇⟶Fin)
13 acsinfd.7 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13acsinfd 18505 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑇 ∈ Fin)
1514adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) → ¬ 𝑇 ∈ Fin)
161adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
1716elfvexd 6927 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) → 𝑋 ∈ V)
185adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) → 𝑇𝑋)
1917, 18ssexd 5323 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) → 𝑇 ∈ V)
2012, 15, 19unirnfdomd 10558 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) → ran 𝑓𝑇)
218, 20eqbrtrd 5169 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ran 𝑓)) → 𝑆𝑇)
227, 21exlimddv 1938 1 (𝜑𝑆𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3474  cin 3946  wss 3947  𝒫 cpw 4601   cuni 4907   class class class wbr 5147  ran crn 5676  wf 6536  cfv 6540  cdom 8933  Fincfn 8935  mrClscmrc 17523  mrIndcmri 17524  ACScacs 17525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-reg 9583  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-oi 9501  df-r1 9755  df-rank 9756  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ocomp 17214  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-mri 17528  df-acs 17529  df-proset 18244  df-drs 18245  df-poset 18262  df-ipo 18477
This theorem is referenced by:  acsinfdimd  18507
  Copyright terms: Public domain W3C validator