Theorem acsdomd 18731

Description: In an algebraic closure system, if 𝑆 and 𝑇 have the same closure and 𝑆 is infinite independent, then 𝑇 dominates 𝑆. This follows from applying acsinfd 18730 and then applying unirnfdomd 10652 to the map given in acsmap2d 18729. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsmap2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsmap2d.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsmap2d.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsmap2d.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
acsmap2d.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
acsmap2d.6	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
acsinfd.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
acsdomd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≼ 𝑇)

Proof of Theorem acsdomd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmap2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2		acsmap2d.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3		acsmap2d.3	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4		acsmap2d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
5		acsmap2d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
6		acsmap2d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	acsmap2d 18729	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓))
8		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → 𝑆 = ∪ ran 𝑓)
9		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
10		inss2 4134	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ Fin
11		fss 6726	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ Fin) → 𝑓:𝑇⟶Fin)
12	9, 10, 11	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → 𝑓:𝑇⟶Fin)
13		acsinfd.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13	acsinfd 18730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑇 ∈ Fin)
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → ¬ 𝑇 ∈ Fin)
16	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
17	16	elfvexd 6921	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → 𝑋 ∈ V)
18	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → 𝑇 ⊆ 𝑋)
19	17, 18	ssexd 5285	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → 𝑇 ∈ V)
20	12, 15, 19	unirnfdomd 10652	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → ∪ ran 𝑓 ≼ 𝑇)
21	8, 20	eqbrtrd 5126	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → 𝑆 ≼ 𝑇)
22	7, 21	exlimddv 1967	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≼ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  ran crn 5651  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538   ≼ cdom 8971  Fincfn 8973  mrClscmrc 17753  mrIndcmri 17754  ACScacs 17755

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-reg 9586  ax-inf2 9642  ax-ac2 10541  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-oi 9504  df-r1 9768  df-rank 9769  df-scott 9929  df-card 10020  df-acn 10023  df-ac 10195  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ocomp 17449  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-mri 17758  df-acs 17759  df-proset 18468  df-drs 18469  df-poset 18487  df-ipo 18702

This theorem is used by:  acsinfdimd  18732