Theorem acsdomd 18482

Description: In an algebraic closure system, if 𝑆 and 𝑇 have the same closure and 𝑆 is infinite independent, then 𝑇 dominates 𝑆. This follows from applying acsinfd 18481 and then applying unirnfdomd 10480 to the map given in acsmap2d 18480. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsmap2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsmap2d.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsmap2d.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsmap2d.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
acsmap2d.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
acsmap2d.6	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
acsinfd.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
acsdomd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≼ 𝑇)

Proof of Theorem acsdomd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmap2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2		acsmap2d.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3		acsmap2d.3	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4		acsmap2d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
5		acsmap2d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
6		acsmap2d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	acsmap2d 18480	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓))
8		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → 𝑆 = ∪ ran 𝑓)
9		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
10		inss2 4190	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ Fin
11		fss 6678	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ Fin) → 𝑓:𝑇⟶Fin)
12	9, 10, 11	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → 𝑓:𝑇⟶Fin)
13		acsinfd.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13	acsinfd 18481	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑇 ∈ Fin)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → ¬ 𝑇 ∈ Fin)
16	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
17	16	elfvexd 6870	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → 𝑋 ∈ V)
18	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → 𝑇 ⊆ 𝑋)
19	17, 18	ssexd 5269	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → 𝑇 ∈ V)
20	12, 15, 19	unirnfdomd 10480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → ∪ ran 𝑓 ≼ 𝑇)
21	8, 20	eqbrtrd 5120	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → 𝑆 ≼ 𝑇)
22	7, 21	exlimddv 1936	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≼ 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554  ∪ cuni 4863   class class class wbr 5098  ran crn 5625  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492   ≼ cdom 8883  Fincfn 8885  mrClscmrc 17504  mrIndcmri 17505  ACScacs 17506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-reg 9499  ax-inf2 9552  ax-ac2 10375  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-oi 9417  df-r1 9678  df-rank 9679  df-card 9853  df-acn 9856  df-ac 10028  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ocomp 17200  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-mri 17509  df-acs 17510  df-proset 18219  df-drs 18220  df-poset 18238  df-ipo 18453

This theorem is referenced by:  acsinfdimd  18483