Theorem angmgmaddeu6 29318

Description: There exists a unique point 𝑠 satisfying the conditions of angle addition. Case where the first angle is a zero angle, and the second angle is a straight angle. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
angmgmadd.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmgmadd.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmgmadd.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
angmgmadd.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
angmgmadd.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmgmadd.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
angmgmadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
angmgmaddov.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
angmgmaddeu.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
angmgmaddeu.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊)
angmgmaddeu.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
angmgmaddeu.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
angmgmaddeu6.1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
angmgmaddeu6.2	⊢ (𝜑 → 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊)

Assertion

Ref	Expression
angmgmaddeu6	⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))

Distinct variable groups:   − ,𝑠   𝐺,𝑠   𝐼,𝑠   𝑃,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑌,𝑠   𝑍,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐴(𝑠, 𝑑)   𝑃(𝑑)   ∼ (𝑠, 𝑑)   𝑈(𝑑)   𝐺(𝑑)   𝐼(𝑑)   𝐿(𝑠, 𝑑)   − (𝑑)   𝑉(𝑑)   𝑊(𝑠, 𝑑)   𝑋(𝑠, 𝑑)   𝑌(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem angmgmaddeu6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmgmadd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		angmgmadd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
4		angmgmaddov.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
5		angmgmaddov.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
6		angmgmaddov.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
7		angmgmadd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		angmgmaddov.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
9		angmgmadd.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		angmgmaddeu.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
11	10	necomd 3010	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
12		angmgmaddeu.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
13	12	necomd 3010	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑈)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13	hlcgreu 29018	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))
15		angmgmadd.c	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
16	7	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠 ∈ 𝑃)
18	8	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
19	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
20		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍)
21	1, 2, 3, 17, 18, 19, 16, 20	hlcomd 29004	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑍((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑠)
22		angmgmaddeu6.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊)
23	22	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊)
24	5	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
25	1, 15, 3, 16, 21, 23, 19, 24	zerocgra 29265	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
26		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))
27	25, 26	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))
28	27	anasss 472	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))) → (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))
29	8	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
30		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠 ∈ 𝑃)
31	4	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
32	7	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
33	6	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
34	5	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
35		angmgmaddov.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
36	35	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
37	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → ∼ = (cgrA‘𝐺))
38		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
39	37, 38	breqdi 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
40	1, 2, 32, 3, 29, 31, 30, 33, 34, 36, 39	cgracom 29263	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩)
41	22	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊)
42	1, 2, 9, 32, 33, 34, 36, 29, 31, 30, 40, 3, 41	cgrahl 29269	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑍((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑠)
43	1, 2, 3, 29, 30, 31, 32, 42	hlcomd 29004	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍)
44		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))
45	43, 44	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → (𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))
46	45	anasss 472	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))) → (𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))
47	28, 46	impbida 813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) → ((𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ↔ (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))))
48	47	reubidva 3379	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑠 ∈ 𝑃 (𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ↔ ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))))
49	14, 48	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃!wreu 3363  {crab 3412   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8825  0cc0 11172  1c1 11173  2c2 12367  3c3 12368  ..^cfzo 13757  ⟨“cs3 14961  Basecbs 17349  distcds 17399  TarskiGcstrkg 28823  Itvcitv 28829  LineGclng 28830  hlGchlg 28997  cgrAccgra 29248

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9954  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-n0 12577  df-xnn0 12650  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-hash 14443  df-word 14627  df-concat 14684  df-s1 14711  df-s2 14967  df-s3 14968  df-trkgc 28844  df-trkgb 28845  df-trkgcb 28846  df-trkg 28849  df-cgrg 28908  df-leg 28980  df-hlg 28998  df-cgra 29249

This theorem is used by:  angmgmaddov2lem  29321