angmgmaddov2lem - Metamath Proof Explorer

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Theorem angmgmaddov2lem 29417

Description: Lemma for angmgmaddov2 29419. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
angmgmadd.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmgmadd.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑_m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmgmadd.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
angmgmadd.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
angmgmadd.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmgmadd.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
angmgmadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
angmgmaddov.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
angmgmaddeu.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
angmgmaddeu.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊)
angmgmaddeu.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
angmgmaddeu.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
angmgmaddov2lem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))

**Assertion**
Ref	Expression
angmgmaddov2lem	⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))

Distinct variable groups: − ,𝑠 ∼ ,𝑠 𝐺,𝑠 𝐼,𝑠 𝐿,𝑠 𝑃,𝑑 𝑃,𝑠 𝑈,𝑑 𝑈,𝑠 𝑉,𝑑 𝑉,𝑠 𝑊,𝑑 𝑊,𝑠 𝑋,𝑑 𝑋,𝑠 𝑌,𝑑 𝑌,𝑠 𝑍,𝑑 𝑍,𝑠 𝜑,𝑠 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑑) 𝐴(𝑠, 𝑑) ∼ (𝑑) 𝐺(𝑑) 𝐼(𝑑) 𝐿(𝑑) − (𝑑)

**Proof of Theorem angmgmaddov2lem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmgmadd.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		angmgmadd.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑_m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
3		angmgmadd.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		angmgmadd.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		angmgmadd.c	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
6		angmgmadd.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		angmgmadd.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		angmgmaddov.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
10	9	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		angmgmaddov.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
12	11	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑌 ∈ 𝑃)
13		angmgmaddov.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
14	13	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑍 ∈ 𝑃)
15		angmgmaddov.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
16	15	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑈 ∈ 𝑃)
17		angmgmaddov.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
18	17	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑉 ∈ 𝑃)
19		angmgmaddov.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
20	19	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑊 ∈ 𝑃)
21		angmgmaddeu.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
22	21	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑋 ≠ 𝑌)
23		angmgmaddeu.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
24	23	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑌 ≠ 𝑍)
25		angmgmaddeu.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
26	25	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑈 ≠ 𝑉)
27		angmgmaddeu.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊)
28	27	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑉 ≠ 𝑊)
29		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊)
30		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍)
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 30	angmgmaddeu4 29412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
32	31	adantlr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
33	7	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
34	9	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
35	11	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
36	13	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
37	15	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
38	17	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
39	19	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
40	21	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
41	23	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
42	25	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
43	27	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
44		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈))
45	1, 4, 3, 33, 39, 38, 37, 44	tgbtwncom 28981	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ∈ (𝑈𝐼𝑊))
46		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍)
47	1, 2, 3, 4, 5, 6, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46	angmgmaddeu6 29414	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
48	47	adantlr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
49		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
50	19	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
51	17	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
52	15	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
53	7	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
54	9	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
55	27	necomd 3014	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑉)
56	55	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑊 ≠ 𝑉)
57		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊))
58	1, 3, 6, 53, 50, 51, 52, 56, 57	lncom 29120	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ (𝑊𝐿𝑉))
59	1, 3, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 6, 58	lnhl 29111	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → (𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊 ∨ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)))
60	32, 48, 59	mpjaodan 973	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
61	7	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
62	9	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
63	11	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
64	13	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
65	15	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
66	17	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
67	19	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
68	21	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
69	23	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
70	25	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
71	27	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
72		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊))
73		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍)
74	1, 2, 3, 4, 5, 6, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73	angmgmaddeu2 29410	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅))
75		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅) → ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
76		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅) → (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋))
77	75, 76	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅) → (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
78	77	3anasss 1381	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅)) → (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
79		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
80		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋))
81	61	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
82	66	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
83	67	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
84		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑠 ∈ 𝑃)
85	71	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
86	62	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
87	63	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
88	64	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
89	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → ∼ = (cgrA‘𝐺))
90	89, 79	breqdi 5121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
91	1, 3, 81, 49, 83, 82, 84, 86, 87, 88, 90	cgracom 29359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩)
92	73	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍)
93	1, 3, 4, 81, 86, 87, 88, 83, 82, 84, 91, 49, 92	cgrahl 29365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑊((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑠)
94	1, 3, 49, 83, 84, 82, 81, 6, 93	hlln 29103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑊 ∈ (𝑠𝐿𝑉))
95	80	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → (𝑌 − 𝑋) = (𝑉 − 𝑠))
96	21	necomd 3014	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
97	96	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑌 ≠ 𝑋)
98	1, 4, 3, 81, 87, 86, 82, 84, 95, 97	tgcgrneq 28975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑉 ≠ 𝑠)
99	98	necomd 3014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑠 ≠ 𝑉)
100	1, 3, 6, 81, 82, 83, 84, 85, 94, 99	lnrot1 29121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑠 ∈ (𝑉𝐿𝑊))
101	65	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
102	1, 4, 3, 81, 84, 101	tgbtwntriv1 28984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑠 ∈ (𝑠𝐼𝑈))
103	100, 102	elind 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑠 ∈ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)))
104	103	ne0d 4291	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅)
105	79, 80, 104	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅))
106	105	anasss 472	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋))) → (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅))
107	78, 106	impbida 813	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) → ((⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅) ↔ (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋))))
108	107	reubidva 3383	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → (∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅) ↔ ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋))))
109	74, 108	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
110		exmidd 909	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) → (𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊) ∨ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)))
111	60, 109, 110	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
112	7	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝐺 ∈ TarskiG)
113	9	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑋 ∈ 𝑃)
114	11	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑌 ∈ 𝑃)
115	13	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑍 ∈ 𝑃)
116	15	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑈 ∈ 𝑃)
117	17	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑉 ∈ 𝑃)
118	19	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑊 ∈ 𝑃)
119	21	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑋 ≠ 𝑌)
120	23	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑌 ≠ 𝑍)
121	25	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑈 ≠ 𝑉)
122	27	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑉 ≠ 𝑊)
123		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊)
124		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))
125	1, 4, 3, 112, 115, 114, 113, 124	tgbtwncom 28981	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
126	1, 2, 3, 4, 5, 6, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 125	angmgmaddeu5 29413	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
127	126	adantlr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
128	7	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
129	9	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
130	11	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
131	13	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
132	15	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
133	17	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
134	19	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
135	21	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
136	23	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
137	25	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
138	27	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
139		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈))
140	1, 4, 3, 128, 134, 133, 132, 139	tgbtwncom 28981	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ∈ (𝑈𝐼𝑊))
141		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))
142	1, 4, 3, 128, 131, 130, 129, 141	tgbtwncom 28981	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
143	1, 2, 3, 4, 5, 6, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 140, 142	angmgmaddeu7 29415	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
144	143	adantlr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
145	19	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
146	17	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
147	15	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
148	7	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
149	9	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
150	55	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑊 ≠ 𝑉)
151		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊))
152	1, 3, 6, 148, 145, 146, 147, 150, 151	lncom 29120	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ (𝑊𝐿𝑉))
153	1, 3, 49, 145, 146, 147, 148, 149, 6, 152	lnhl 29111	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → (𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊 ∨ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)))
154	127, 144, 153	mpjaodan 973	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
155	7	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
156	9	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
157	11	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
158	13	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
159	15	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
160	17	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
161	19	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
162	21	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
163	23	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
164	25	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
165	27	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
166		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊))
167		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))
168	1, 4, 3, 155, 158, 157, 156, 167	tgbtwncom 28981	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
169	1, 2, 3, 4, 5, 6, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 168	angmgmaddeu3 29411	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅))
170		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅) → ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
171		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅) → (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋))
172	170, 171	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅) → (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
173	172	3anasss 1381	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅)) → (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
174		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
175		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋))
176	155	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
177	160	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
178	161	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
179		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑠 ∈ 𝑃)
180	165	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
181	55	neneqd 2964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 = 𝑉)
182	181	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → ¬ 𝑊 = 𝑉)
183	176	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) ∧ 𝑊 = 𝑠) → 𝐺 ∈ TarskiG)
184	178	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) ∧ 𝑊 = 𝑠) → 𝑊 ∈ 𝑃)
185	177	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) ∧ 𝑊 = 𝑠) → 𝑉 ∈ 𝑃)
186	156	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
187	157	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
188	158	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
189	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → ∼ = (cgrA‘𝐺))
190	189, 174	breqdi 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
191	1, 3, 176, 49, 178, 177, 179, 186, 187, 188, 190	cgracom 29359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩)
192	168	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
193	1, 3, 4, 176, 186, 187, 188, 178, 177, 179, 191, 192	cgrabtwn 29364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑠))
194	193	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) ∧ 𝑊 = 𝑠) → 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑠))
195		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) ∧ 𝑊 = 𝑠) → 𝑊 = 𝑠)
196	195	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) ∧ 𝑊 = 𝑠) → (𝑊𝐼𝑊) = (𝑊𝐼𝑠))
197	194, 196	eleqtrrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) ∧ 𝑊 = 𝑠) → 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑊))
198	1, 4, 3, 183, 184, 185, 197	axtgbtwnid 28958	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) ∧ 𝑊 = 𝑠) → 𝑊 = 𝑉)
199	182, 198	mtand 828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → ¬ 𝑊 = 𝑠)
200	199	neqned 2966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑊 ≠ 𝑠)
201	1, 3, 6, 176, 178, 179, 177, 200, 193	btwnlng1 29117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑉 ∈ (𝑊𝐿𝑠))
202	1, 3, 6, 176, 177, 178, 179, 180, 201, 200	lnrot2 29122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑠 ∈ (𝑉𝐿𝑊))
203	159	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
204	1, 4, 3, 176, 179, 203	tgbtwntriv1 28984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑠 ∈ (𝑠𝐼𝑈))
205	202, 204	elind 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → 𝑠 ∈ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)))
206	205	ne0d 4291	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅)
207	174, 175, 206	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩) ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)) → (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅))
208	207	anasss 472	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋))) → (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅))
209	173, 208	impbida 813	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) → ((⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅) ↔ (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋))))
210	209	reubidva 3383	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → (∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋) ∧ ((𝑉𝐿𝑊) ∩ (𝑠𝐼𝑈)) ≠ ∅) ↔ ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋))))
211	169, 210	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
212		exmidd 909	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → (𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊) ∨ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)))
213	154, 211, 212	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))
214	23	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
215		angmgmaddov2lem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
216	1, 3, 6, 7, 13, 11, 9, 214, 215	lncom 29120	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
217	1, 3, 49, 13, 11, 9, 7, 9, 6, 216	lnhl 29111	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)))
218	111, 213, 217	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑊𝑉𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ (𝑉 − 𝑠) = (𝑌 − 𝑋)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ≠ wne 2959 ∃!wreu 3367 {crab 3416 ∩ cin 4092 ∅c0 4281 class class class wbr 5106 ‘cfv 6558 (class class class)co 7443 ↑_m cmap 8875 0cc0 11227 1c1 11228 2c2 12424 3c3 12425 ..^cfzo 13815 ⟨“cs3 15021 Basecbs 17416 distcds 17466 TarskiGcstrkg 28919 Itvcitv 28925 LineGclng 28926 hlGchlg 29093 cgrAccgra 29344

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-rep 5235 ax-sep 5252 ax-nul 5263 ax-pow 5331 ax-pr 5395 ax-un 7775 ax-cnex 11283 ax-resscn 11284 ax-1cn 11285 ax-icn 11286 ax-addcl 11287 ax-addrcl 11288 ax-mulcl 11289 ax-mulrcl 11290 ax-mulcom 11291 ax-addass 11292 ax-mulass 11293 ax-distr 11294 ax-i2m1 11295 ax-1ne0 11296 ax-1rid 11297 ax-rnegex 11298 ax-rrecex 11299 ax-cnre 11300 ax-pre-lttri 11301 ax-pre-lttrn 11302 ax-pre-ltadd 11303 ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-tp 4593 df-op 4839 df-uni 4871 df-int 4911 df-iun 4956 df-br 5107 df-opab 5171 df-mpt 5190 df-tr 5216 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6322 df-ord 6383 df-on 6384 df-lim 6385 df-suc 6386 df-iota 6512 df-fun 6560 df-fn 6561 df-f 6562 df-f1 6563 df-fo 6564 df-f1o 6565 df-fv 6566 df-riota 7400 df-ov 7446 df-oprab 7447 df-mpo 7448 df-om 7902 df-1st 8025 df-2nd 8026 df-frecs 8327 df-wrecs 8358 df-recs 8407 df-rdg 8446 df-1o 8504 df-oadd 8508 df-er 8745 df-map 8877 df-pm 8878 df-en 9002 df-dom 9003 df-sdom 9004 df-fin 9005 df-dju 10009 df-card 10047 df-pnf 11372 df-mnf 11373 df-xr 11374 df-ltxr 11375 df-le 11376 df-sub 11570 df-neg 11571 df-nn 12363 df-2 12432 df-3 12433 df-n0 12634 df-xnn0 12707 df-z 12721 df-uz 12993 df-fz 13667 df-fzo 13816 df-hash 14502 df-word 14686 df-concat 14743 df-s1 14770 df-s2 15027 df-s3 15028 df-trkgc 28940 df-trkgb 28941 df-trkgcb 28942 df-trkg 28945 df-cgrg 29004 df-leg 29076 df-hlg 29094 df-cgra 29345

This theorem is used by: angmgmaddov2 29419 angmgmaddcpbl 29420 angmgmaddcl 29421

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