Theorem fucoppcffth 49901

Description: A fully faithful functor from the opposite category of functors to the category of opposite functors. (Contributed by Zhi Wang, 19-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucoppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fucoppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fucoppc.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fucoppc.r	⊢ 𝑅 = (oppCat‘𝑄)
fucoppc.s	⊢ 𝑆 = (𝑂 FuncCat 𝑃)
fucoppc.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
fucoppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)))
fucoppc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑦 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
fucoppcffth.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
fucoppcffth.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
fucoppcffth	⊢ (𝜑 → 𝐹((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆))𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑄(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fucoppcffth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (CatCat‘{𝑅, 𝑆}) = (CatCat‘{𝑅, 𝑆})
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆})) = (Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))
5		fucoppc.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
6		fucoppc.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
7		fucoppc.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
8		fucoppc.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (oppCat‘𝑄)
9		fucoppc.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑂 FuncCat 𝑃)
10		fucoppc.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
11		fucoppc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)))
12		fucoppc.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑦 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
13		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆})) = (Base‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))
14		fucoppcffth.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
15		fucoppcffth.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
16	7, 14, 15	fuccat 17931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
17	8	oppccat 17679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ Cat → 𝑅 ∈ Cat)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Cat)
19		prid1g 4692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Cat → 𝑅 ∈ {𝑅, 𝑆})
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ {𝑅, 𝑆})
21	20, 18	elind 4129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ({𝑅, 𝑆} ∩ Cat))
22		prex 5367	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑅, 𝑆} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑅, 𝑆} ∈ V)
24	1, 13, 23	catcbas 18059	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆})) = ({𝑅, 𝑆} ∩ Cat))
25	21, 24	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (Base‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆})))
26	5	oppccat 17679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
27	14, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
28	6	oppccat 17679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → 𝑃 ∈ Cat)
29	15, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Cat)
30	9, 27, 29	fuccat 17931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
31		prid2g 4693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Cat → 𝑆 ∈ {𝑅, 𝑆})
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑅, 𝑆})
33	32, 30	elind 4129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ({𝑅, 𝑆} ∩ Cat))
34	33, 24	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆})))
35	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 4, 14, 15, 25, 34	fucoppc 49900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑅(Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))𝑆)𝐺)
36		df-br 5073	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝑅(Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))𝑆)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑅(Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))𝑆))
37	35, 36	sylib 219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑅(Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))𝑆))
38	1, 2, 3, 4, 37	catcisoi 49890	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆)) ∧ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩):(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)))
39	38	simpld 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆)))
40		df-br 5073	. 2 ⊢ (𝐹((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆))𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆)))
41	39, 40	sylibr 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆))𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∩ cin 3882  {cpr 4557  ⟨cop 4561   class class class wbr 5072   I cid 5512   ↾ cres 5620  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  1^st c1st 7929  Basecbs 17170  Catccat 17621  oppCatcoppc 17668  Isociso 17704   Func cfunc 17812   Full cful 17862   Faith cfth 17863   Nat cnat 17902   FuncCat cfuc 17903  CatCatccatc 18056   oppFunc coppf 49612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-cat 17625  df-cid 17626  df-homf 17627  df-comf 17628  df-oppc 17669  df-sect 17705  df-inv 17706  df-iso 17707  df-func 17816  df-idfu 17817  df-cofu 17818  df-full 17864  df-fth 17865  df-nat 17904  df-fuc 17905  df-catc 18057  df-oppf 49613

This theorem is referenced by:  fucoppcfunc  49902  lmddu  50157