Theorem fucoppcffth 49443

Description: A fully faithful functor from the opposite category of functors to the category of opposite functors. (Contributed by Zhi Wang, 19-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucoppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fucoppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fucoppc.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fucoppc.r	⊢ 𝑅 = (oppCat‘𝑄)
fucoppc.s	⊢ 𝑆 = (𝑂 FuncCat 𝑃)
fucoppc.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
fucoppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)))
fucoppc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑦 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
fucoppcffth.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
fucoppcffth.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
fucoppcffth	⊢ (𝜑 → 𝐹((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆))𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑄(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fucoppcffth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (CatCat‘{𝑅, 𝑆}) = (CatCat‘{𝑅, 𝑆})
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆})) = (Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))
5		fucoppc.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
6		fucoppc.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
7		fucoppc.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
8		fucoppc.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (oppCat‘𝑄)
9		fucoppc.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑂 FuncCat 𝑃)
10		fucoppc.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
11		fucoppc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)))
12		fucoppc.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑦 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
13		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆})) = (Base‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))
14		fucoppcffth.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
15		fucoppcffth.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
16	7, 14, 15	fuccat 17875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
17	8	oppccat 17623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ Cat → 𝑅 ∈ Cat)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Cat)
19		prid1g 4708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Cat → 𝑅 ∈ {𝑅, 𝑆})
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ {𝑅, 𝑆})
21	20, 18	elind 4145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ({𝑅, 𝑆} ∩ Cat))
22		prex 5370	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑅, 𝑆} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑅, 𝑆} ∈ V)
24	1, 13, 23	catcbas 18003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆})) = ({𝑅, 𝑆} ∩ Cat))
25	21, 24	eleqtrrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (Base‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆})))
26	5	oppccat 17623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
27	14, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
28	6	oppccat 17623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → 𝑃 ∈ Cat)
29	15, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Cat)
30	9, 27, 29	fuccat 17875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
31		prid2g 4709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Cat → 𝑆 ∈ {𝑅, 𝑆})
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑅, 𝑆})
33	32, 30	elind 4145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ({𝑅, 𝑆} ∩ Cat))
34	33, 24	eleqtrrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆})))
35	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 4, 14, 15, 25, 34	fucoppc 49442	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑅(Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))𝑆)𝐺)
36		df-br 5087	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝑅(Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))𝑆)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑅(Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))𝑆))
37	35, 36	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑅(Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))𝑆))
38	1, 2, 3, 4, 37	catcisoi 49432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆)) ∧ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩):(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)))
39	38	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆)))
40		df-br 5087	. 2 ⊢ (𝐹((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆))𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆)))
41	39, 40	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆))𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∩ cin 3896  {cpr 4573  ⟨cop 4577   class class class wbr 5086   I cid 5505   ↾ cres 5613  –1-1-onto→wf1o 6475  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  1^st c1st 7914  Basecbs 17115  Catccat 17565  oppCatcoppc 17612  Isociso 17648   Func cfunc 17756   Full cful 17806   Faith cfth 17807   Nat cnat 17846   FuncCat cfuc 17847  CatCatccatc 18000   oppFunc coppf 49154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-hom 17180  df-cco 17181  df-cat 17569  df-cid 17570  df-homf 17571  df-comf 17572  df-oppc 17613  df-sect 17649  df-inv 17650  df-iso 17651  df-func 17760  df-idfu 17761  df-cofu 17762  df-full 17808  df-fth 17809  df-nat 17848  df-fuc 17849  df-catc 18001  df-oppf 49155

This theorem is referenced by:  fucoppcfunc  49444  lmddu  49699