Theorem fucoppcffth 50189

Description: A fully faithful functor from the opposite category of functors to the category of opposite functors. (Contributed by Zhi Wang, 19-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucoppc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fucoppc.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fucoppc.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fucoppc.r	⊢ 𝑅 = (oppCat‘𝑄)
fucoppc.s	⊢ 𝑆 = (𝑂 FuncCat 𝑃)
fucoppc.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
fucoppc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)))
fucoppc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑦 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
fucoppcffth.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
fucoppcffth.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
fucoppcffth	⊢ (𝜑 → 𝐹((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆))𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑄(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fucoppcffth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (CatCat‘{𝑅, 𝑆}) = (CatCat‘{𝑅, 𝑆})
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆})) = (Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))
5		fucoppc.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
6		fucoppc.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
7		fucoppc.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
8		fucoppc.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (oppCat‘𝑄)
9		fucoppc.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑂 FuncCat 𝑃)
10		fucoppc.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
11		fucoppc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)))
12		fucoppc.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑦 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
13		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆})) = (Base‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))
14		fucoppcffth.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
15		fucoppcffth.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
16	7, 14, 15	fuccat 18025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
17	8	oppccat 17773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ Cat → 𝑅 ∈ Cat)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Cat)
19		prid1g 4726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Cat → 𝑅 ∈ {𝑅, 𝑆})
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ {𝑅, 𝑆})
21	20, 18	elind 4153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ({𝑅, 𝑆} ∩ Cat))
22		prex 5409	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑅, 𝑆} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑅, 𝑆} ∈ V)
24	1, 13, 23	catcbas 18153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆})) = ({𝑅, 𝑆} ∩ Cat))
25	21, 24	eleqtrrd 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (Base‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆})))
26	5	oppccat 17773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
27	14, 26	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
28	6	oppccat 17773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → 𝑃 ∈ Cat)
29	15, 28	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Cat)
30	9, 27, 29	fuccat 18025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
31		prid2g 4727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Cat → 𝑆 ∈ {𝑅, 𝑆})
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑅, 𝑆})
33	32, 30	elind 4153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ({𝑅, 𝑆} ∩ Cat))
34	33, 24	eleqtrrd 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆})))
35	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 4, 14, 15, 25, 34	fucoppc 50188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑅(Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))𝑆)𝐺)
36		df-br 5110	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝑅(Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))𝑆)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑅(Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))𝑆))
37	35, 36	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑅(Iso‘(CatCat‘{𝑅, 𝑆}))𝑆))
38	1, 2, 3, 4, 37	catcisoi 50178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆)) ∧ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩):(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)))
39	38	simpld 499	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆)))
40		df-br 5110	. 2 ⊢ (𝐹((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆))𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆)))
41	39, 40	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹((𝑅 Full 𝑆) ∩ (𝑅 Faith 𝑆))𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∩ cin 3904  {cpr 4591  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109   I cid 5555   ↾ cres 5663  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  1^st c1st 7980  Basecbs 17264  Catccat 17715  oppCatcoppc 17762  Isociso 17798   Func cfunc 17906   Full cful 17956   Faith cfth 17957   Nat cnat 17996   FuncCat cfuc 17997  CatCatccatc 18150   oppFunc coppf 49900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-hom 17329  df-cco 17330  df-cat 17719  df-cid 17720  df-homf 17721  df-comf 17722  df-oppc 17763  df-sect 17799  df-inv 17800  df-iso 17801  df-func 17910  df-idfu 17911  df-cofu 17912  df-full 17958  df-fth 17959  df-nat 17998  df-fuc 17999  df-catc 18151  df-oppf 49901

This theorem is referenced by:  fucoppcfunc  50190  lmddu  50445